牛燚煒+周小平+錢七虎

摘要：基于隨機(jī)場理論，考慮了巖石材料屬性的空間變異性對巖石邊坡穩(wěn)定性的影響，將邊坡主滑面上的摩擦系數(shù)和粘聚力視為高斯隨機(jī)變量，確定了主滑面上的摩擦系數(shù)和粘聚力的均值、方差和協(xié)方差，獲得了兩個隨機(jī)量之間的相關(guān)系數(shù)和互相關(guān)長度。在此基礎(chǔ)上，對巖石邊坡進(jìn)行了三維穩(wěn)定性分析，確定了巖石邊坡的穩(wěn)定系數(shù)和失效概率。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，摩擦系數(shù)和粘聚力的空間變異性對邊坡穩(wěn)定性有重要影響。

關(guān)鍵詞：巖石邊坡；穩(wěn)定系數(shù)；失效概率；隨機(jī)場

中圖分類號：TU475文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：16744764（2017）03012909

Abstract：The stability of rock slopes is analyzed by considering the spatial variability of the rock materials based on theory of random fields. Both the cohesion and frictional coef cient along the main sliding surface are treated as Gaussian random elds， and the mean value， variance， covariance of the cohesion and frictional coef cient are determined. Spatial correlation lengths and the crosscorrelation between cohesion and coef cient are obtained. Threedimensional stability assessment of rock slopes is analyzed to obtain the factor of safety and probability of failure of rock slope. The numerical results show that the spatial variability of cohesion and coef cient of friction significantly affect the safety of rock slopes.

Keywords：rock slopes； factor of safety； probability of failure； random fields

邊坡失穩(wěn)已與地震、火山爆發(fā)并列成為世界三大地質(zhì)災(zāi)害（或地質(zhì)災(zāi)害源）[1]。當(dāng)邊坡巖體內(nèi)發(fā)育有層間軟弱夾層或較大的斷層、節(jié)理和裂隙時(shí)，則容易發(fā)生滑動破壞。在邊坡穩(wěn)定性分析過程中，需要考慮巖土工程是土木工程中最受不確定性主導(dǎo)的分支學(xué)科，因?yàn)樗ǔＥc高度變化的天然材料密切相關(guān)。巖性參數(shù)誤差有3個主要來源，即材料固有變異性、統(tǒng)計(jì)誤差、系統(tǒng)誤差[2]。固有變異性是指即使在各向同性巖石介質(zhì)中，巖石性質(zhì)表現(xiàn)出變異性。由于現(xiàn)場采樣和實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)的有限性，巖石屬性的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（例如均值和標(biāo)準(zhǔn)差）受（統(tǒng)計(jì)的）不確定性的影響，但是這類不確定性會隨樣品數(shù)量的增加而減少。系統(tǒng)不確定性是由于實(shí)驗(yàn)室和原位條件存在不同因素，如實(shí)驗(yàn)規(guī)模、各向異性和水飽和度等[3]。筆者重點(diǎn)研究材料的固有變異性（其在均質(zhì)材料中也會比較大）及其對失效概率的影響。

傳統(tǒng)邊坡穩(wěn)定性的評價(jià)方法主要有剛體極限平衡法、赤平投影法、有限元法以及模擬試驗(yàn)等。為了避免材料的不確定性所造成的影響，這些方法對于設(shè)計(jì)參數(shù)、穩(wěn)定系數(shù)等一般都采用偏保守的值進(jìn)行設(shè)計(jì)。為了考慮參數(shù)的變異性和不確定性，在傳統(tǒng)方法基礎(chǔ)上引入隨機(jī)場理論十分必要。一般情況下，得出隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以說是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題，并且找到精確解也有相當(dāng)困難。祁小輝等[4]采用譜表現(xiàn)法建立了表征土體空間變異性的隨機(jī)場模型，提出了考慮土體空間變異性的邊坡最危險(xiǎn)滑動面隨機(jī)分析方法。蔣水華等[5]提出了基于多重響應(yīng)面與子集模擬的邊坡可靠度分析方法。舒蘇荀等[6]提出一種能合理考慮土性參數(shù)空間變異性的邊坡模糊隨機(jī)可靠度分析方法。Einstein等[7]在巖石邊坡中采用了蒙特卡羅方法計(jì)算。唐小松等[8]研究了表征抗剪強(qiáng)度參數(shù)間相關(guān)性的Copula函數(shù)對邊坡可靠度的影響，提出了無限邊坡失效概率計(jì)算的直接積分方法。Pantelidis等[9]和Griffiths等[10]等分別用一維跟二維隨機(jī)變量考慮巖石空間變異性對邊坡穩(wěn)定性的影響。Gravanis等[11]研究了巖石材料屬性的空間變異性對巖石邊坡失效概率的影響。然而，Gravanis僅僅研究了重力作用下巖石邊坡的二維穩(wěn)定性問題。但是實(shí)際邊坡或滑坡體是三維問題，將三維問題簡化為二維問題，會帶來計(jì)算結(jié)果的較大誤差。為了合理地評價(jià)巖石邊坡的穩(wěn)定性，筆者將Gravanis的二維隨機(jī)場方法延伸為三維隨機(jī)場方法，并把底面摩擦系數(shù)和粘聚力視為高斯隨機(jī)變量，分析巖石邊坡的三維穩(wěn)定性問題。

1基于隨機(jī)場理論的巖石邊坡三維穩(wěn)

定性分析1.1高斯隨機(jī)場的幾個假定

為簡化計(jì)算模型，做如下假設(shè)：

1）高斯過程：聯(lián)合概率分布函數(shù)為多元正態(tài)隨機(jī)分布過程，其巨大的優(yōu)勢是只需均值向量和協(xié)方差矩陣就可以確定其完整分布函數(shù)。

2）平穩(wěn)性或統(tǒng)計(jì)均勻性：聯(lián)合概率分布函數(shù)的空間非獨(dú)立性，即它依賴于點(diǎn)的相對位置關(guān)系。這個假設(shè)意味著均值、協(xié)方差和高階矩是常量，且聯(lián)合概率分布函數(shù)也是恒定的，不隨時(shí)間和空間變化。

3）各向同性：在二維或更高維度的隨機(jī)場中，各向同性是指旋轉(zhuǎn)不變形。在各向同性中，兩個點(diǎn)的相關(guān)性僅跟兩點(diǎn)之間距離有關(guān)，而與方向角度無關(guān)。

在上述假設(shè)下，只需知道3個數(shù)值即可求解：隨機(jī)場的均值μ、隨機(jī)場的方差σ2、隨機(jī)場的空間變異程度。其中，隨機(jī)場的空間變異程度由隨機(jī)場的聯(lián)合分布二階矩表征，可以從協(xié)方差函數(shù)中獲得[12]。

1.2邊坡穩(wěn)定極限平衡分析方法

假定巖石邊坡的可能滑動面如圖1所示。為了簡化計(jì)算，忽略孔隙水壓力和基礎(chǔ)荷載的作用，將上部巖體視為整體。邊坡三維示意圖如圖1所示，作用在與交棱線垂直的剖面圖如圖2。

2應(yīng)用實(shí)例

2.1當(dāng)邊坡體沿三面滑動時(shí)（γ3=0°），摩擦系數(shù)對邊坡穩(wěn)定性的影響

隨機(jī)場變量為tan φ（x，y），其均值和方差分別為μ和σ。此時(shí)，粘聚力為常量。如圖4和圖5所示，z軸坐標(biāo)為pf，x和y軸坐標(biāo)分別為L1/θ1和L2/θ2。計(jì)算參數(shù)為：β=30°、γ1=0°、γ2=0°、γ3=0°、c3=40kPa、c1=40 kPa、c2=40 kPa、L1=10 m、L2=20 m、L3=1.5 m、ex=0.5 m、ey=1 m、W=1.8×105 kN。

如圖4和圖5所示，當(dāng)tan φ（x，y）的相關(guān)長度θ1和θ2分別遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于滑面的長L1和寬L2時(shí)，即（L1/θ1，L2/θ2）的值趨于0。如式（16）所示，方差s2tanφ的值趨于σ2tanφ。失效概率對于不同的摩擦系數(shù)均值趨于相應(yīng)的定值。當(dāng)相關(guān)長度θ1和θ2變小時(shí)，失效概率在穩(wěn)定系數(shù)大于1時(shí)趨于0，在穩(wěn)定系數(shù)小于1時(shí)趨于1。從圖4和圖5右半部分可知：當(dāng)方差越大時(shí)，失效概率的值偏差越大；從圖3和圖4左半部分可知：當(dāng)方差越大時(shí)，失效概率的值越向0.5靠近。圖4和圖5與Griffths等[15]的計(jì)算結(jié)果吻合。

2.2當(dāng)邊坡體沿三面滑動時(shí)（γ3=0°），摩擦系數(shù)和粘聚力對邊坡穩(wěn)定性的影響

如式（39）、（19）、（40）和（41）所示，失效概率pf與6個未知數(shù)（L1/θ1，L2/θ2）、（L1/θ1c，L2/θ2c）、（L1/θ1，c-tanφ，L2/θ2，c-tanφ）相關(guān)。在一張三維立體圖中表示失效概率與6個未知量的關(guān)系比較困難。假設(shè)：（L1/θ1=L2/θ2）、（L1/θ1c=L2/θ2c），并取L1/θ1，L2/θ2c作為2個變量，此時(shí)θ1，c-tanφ和θ2，c-tanφ取極大值，γ1（L1/θ1，c-tanφ，L2/θ2，c-tanφ）取極值為1。其他計(jì)算參數(shù)為：μtanφ=tan26.25°和μtanφ=tan30.75°、σtanφ=tan5°、μc=40 kPa、σc=20 kPa、ρc-tanφ=0.2。

如圖6所示，當(dāng)摩擦系數(shù)和粘聚力的相關(guān)長度遠(yuǎn)小于滑面的長L1和寬L2時(shí)，則L1/θ1和L2/θ2c的值相應(yīng)很大。從圖6右半部分可知：失效概率pf的值在穩(wěn)定系數(shù)F大于1時(shí)趨于0，在穩(wěn)定系數(shù)F小于1時(shí)趨于1；當(dāng)摩擦系數(shù)和粘聚力的相關(guān)長度遠(yuǎn)大于滑面的長L1和寬L2時(shí)，則L1/θ1和L2/θ2c的值相應(yīng)很小。從圖6左半部分可知：失效概率的值趨于定值。

2.3給定失效概率下的邊坡穩(wěn)定系數(shù)

對于給定的失效概率，穩(wěn)定系數(shù)的值與相關(guān)長度有關(guān)。當(dāng)σtanφ=tan5°時(shí)，pfmax分別取10%、1%、0.1%，穩(wěn)定系數(shù)與相關(guān)長度（L1/θ1，L2/θ2）的關(guān)系如圖7所示。當(dāng)（L1/θ1，L2/θ2）較小時(shí)，對不同失效概率，穩(wěn)定系數(shù)對應(yīng)于相應(yīng)的定值，且該值隨失效概率的減小而增加；當(dāng)（L1/θ1，L2/θ2）較大時(shí)，對不同失效概率，穩(wěn)定系數(shù)趨于1。

2.4不同方法下邊坡失效概率對比

表1中列出了采用蒙特卡洛方法[16]計(jì)算的失效概率。表1中均值為滑動面摩擦角的平均值。從表1可知，該方法的計(jì)算結(jié)果與蒙特卡洛方法的計(jì)算結(jié)果吻合，最大誤差為4.83%，證明了該方法的有效性。需要指出的是：本文的計(jì)算條件為相關(guān)長度（L1/θ1，L2/θ2）趨近于（0，0），由式可知s2tanφ等于σ2tanφ。

3結(jié)論

在巖質(zhì)或土質(zhì)邊坡中，滑面材料的空間變異性對邊坡的穩(wěn)定具有重要的影響。采用隨機(jī)場理論對巖質(zhì)邊坡進(jìn)行了三維穩(wěn)定性分析，建立了邊坡失效概率與相關(guān)長度之間的關(guān)系。算例表明，相關(guān)長度對邊坡失效概率具有重要的影響，不同的相關(guān)長度，導(dǎo)致不同的失效概率。同時(shí)，該方法可以退化為二維問題，其結(jié)果和Gravanis的方法一致。隨機(jī)場理論的結(jié)果，與蒙特卡洛方法計(jì)算的結(jié)果吻合，驗(yàn)證了方法的有效性。

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（編輯胡英奎）