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        構(gòu)造輔助圓解題

        2017-06-26 11:47:43沈岳夫
        初中生 2017年24期
        關(guān)鍵詞:橫坐標(biāo)圓心頂點(diǎn)

        文 /沈岳夫

        構(gòu)造輔助圓解題

        文 /沈岳夫

        責(zé)任編輯:王二喜

        在解幾何與代數(shù)的綜合題時(shí),有時(shí)遇到一些用常規(guī)方法較難解決的問(wèn)題. 這時(shí),我們可以構(gòu)造輔助圓來(lái)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題.

        例 1 (2015年威海卷)如圖1,已知AB=AC=AD,蟻CBD=2∠BDC,蟻BAC=44°,則∠CAD的度數(shù)為( )

        A.68°. B.88°. C.90°. D.112°.

        解:如圖1,∵AB=AC=AD,

        ∴ 點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心,以AB為半徑的圓上,

        ∵∠CBD=2∠BDC,蟻BAC=2∠BDC,蟻CAD=2∠CBD,∴∠CBD=∠BAC,

        ∴∠CAD=2∠BAC,而蟻BAC=44°,

        ∴∠CAD=88°. 選B.

        圖1

        點(diǎn)評(píng):該題主要考查圓周角定理及其推論的應(yīng)用.作輔助圓,將分散的條件集中,便于解題.

        例 2 在△ABC中,蟻ABC=45°,tan∠ACB=.如圖2,把△ABC的一邊BC放置在x軸上,OB=14,OC=,AC與y軸交于點(diǎn)E.

        圖2

        (1)求AC所在直線的解析式;

        (3)已知點(diǎn)F(10,0),在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P,Q,是否存在以O(shè),P,Q為頂點(diǎn)的三角形與OFP全等,且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

        所以EG=6,OG=10,

        (3)要使以O(shè),P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等,且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè),則只存在兩種情況:即OF=OQ或OF=PQ.

        ①當(dāng)OF=OQ時(shí),以O(shè)為圓心,OF長(zhǎng)為半徑畫圓,確定點(diǎn)Q的位置(如圖3、4),作∠FOQ的角平分線確定P點(diǎn).

        當(dāng)點(diǎn)Q在AC上(如圖3),由(2)知OG=10,則點(diǎn)G與點(diǎn)Q重合.

        由△OP1F≌△OP1Q1,則有P1Fx軸,

        由于點(diǎn)P1在直線AC上,

        當(dāng)x=10時(shí),

        圖3

        設(shè)OH=a,則BH=QH=14-a.

        在Rt△OQH 中,a2+(14-a)2=102,解得a1=6,a2=8,

        所以Q2(-6,8)或Q3(-8,6).

        連接QF交OP2于點(diǎn)M,則M是QF的中點(diǎn),

        當(dāng)匝3(-8,6)時(shí),則點(diǎn)1(1,3).

        設(shè)直線OP2的解析式為y=kx,把M(2,4)代入,解得k=2,

        所以y=2x.

        圖4

        圖5

        圖6

        當(dāng)M1(1,3)時(shí),同理可求得

        當(dāng)Q在BC邊上(如圖5),OQ=OF=10,點(diǎn)P4在E點(diǎn),

        ②當(dāng)OF=PQ,QP∥OF時(shí)(如圖6),顯然四邊形OFPQ是平行四邊形,

        設(shè)P的橫坐標(biāo)為x,則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x-10.

        因?yàn)閥P=yQ,又可求得直線AB的函數(shù)解析式為y=x+14,

        綜 上 所 述 , 滿 足 條 件 的 P點(diǎn) 坐 標(biāo) 為

        點(diǎn)評(píng):構(gòu)造輔助圓,可使隱性問(wèn)題顯性化,由三角形全等,確定思維方向,從而解問(wèn)題.

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