吳應山，張啟燦

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610064)

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傅里葉變換輪廓術的Matlab仿真實現

吳應山，張啟燦

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610064)

在傅里葉變換輪廓術測量方法中，測量系統從一個角度投影結構光場，系統中的成像裝置從另一個角度獲取由物體高度調制后的變形光場，并通過傅里葉變換、頻域濾波和傅里葉逆變換恢復出物體的高度信息。FTP測量方法中，關于傅里葉變換，相位展開的相關知識，涉及大量復雜的數學運算使其抽象難以理解。針對這一問題，文中設計了基于Matlab的仿真實驗。根據相應原理編寫了仿真代碼，運用Matlab的數學運算和可視化功能，模擬整個測量流程，完成了仿真實驗。這有助于學習和理解FTP測量方法原理及相關知識。

傅里葉變換輪廓術；Matlab；相位展開

隨著計算機技術的發(fā)展，三維數字化技術逐步成熟，并廣泛用于各個領域[1-3]，傅里葉變換輪廓術是1983年由M.Takeda和K.Mutoh將傅里葉變換用于三維物體的測量中而提出的三維面形測量技術[4]，只需采集一或兩幅變形條紋圖，就可以進行三維重構，實現對物體輪廓的測量。所以測量速度快、易于實現，適合測量動態(tài)物體的三維面形[5-7]。在實際應用中，可使用MFC與Opengl開發(fā)三維測量軟件[8]進行測量。Matlab是Mathworks公司推出的一款數學軟件，它集數值分析、矩陣計算、信號處理和圖形顯示于一身，是一種簡潔、高效的編程工具[9]。運用Matlab Gui設計數據分析界面[10]，可提高數據分析的效率。

1 傅里葉變換輪廓術

FTP(Fourier Transform Profilometry)測量光路如圖 1所示，投影儀和CCD的光軸相交于O點，O為參考平面的原點，建立如圖1所示的坐標軸。A和B分別是投影儀的出瞳和CCD的入瞳，d為A與B間的距離，L是B到參考平面R的距離，h為物面上H點到R的距離，光心連線AB與參考平面R平行，在FTP中，當投影正弦光柵產生的結構光場經過物體表面的反射，由成像系統得到的變形條紋可表示為

I(x,y)=a(x,y)+b(x,y)cos(2πf0x+φ(x,y))

(1)

其中，a(x,y)是背景光強；b(x,y)是條紋對比度；f0是投影光柵的頻率；j(x,y)是由物體高度分布h(x,y)引起的相位調制。為得到相對高度分布和消除系統測量誤差，對參考平面進行測量，對于物體高度h(x,y)=0的參考變形條紋可表示為

圖1 FTP光路圖

I0(x,y)=α(x,y)+b(x,y)cos(2πf0x+φ0(x,y))

(2)

在圖1中，AC投影到參考平面的位置為C，經光線CB在CCD陣列上成像，光強為I0，調制相位為φ0(x,y)，當投影在被測物體上時，對同一條光線AC而言，由于光線CB和物面產生交點H，通過CCD觀察到的H點的光強為I，相當于參考面上D點在CCD中的光強，由物體高度h(x,y)產生的調制相位為φ(x,y)，則二者的相位差為[1]

(3)

由ΔAHB與ΔDHC的相似關系與式(3)得到

(4)

為便于進行傅里葉變換，將式(1)和式(2)改寫為指數形式

I(x,y)=a(x,y)+q(x,y)ej2πf0x+q*(x,y)e-2πf0x

(5)

I0(x,y)=a(x,y)+q0(x,y)ej2πf0x+q0*(x,y)e-2πf0x

(6)

上式中,*表示取共軛。對式(5)進行二維傅里葉變換可得

F(u,v)=A(u,v)+Q(u-f0,v)+Q*(u+f0,v)

(7)

其中，A(u,v)對是a(x,y)的二維傅里葉變換，Q(u-f0,v)，Q*(u+f0,v)分別是q(x,y)和q*(x,y)的二維傅里葉變換，其頻譜示意圖如圖2所示。

圖2 傅里葉頻譜分布示意圖

圖2中虛線包圍的頻譜為包含物體高度變化的有用信息，選用適當的帶通濾波窗口將基頻分量Q(u-f0,v)濾出，再計算其傅里葉逆變換。即

(8)

其中，F-1表示二維傅里葉逆變換，同樣對參考條紋也進行二維傅里葉變換并濾波，傅里葉逆變換處理后可得

(9)

通過式(8)與式(9)得到s(x,y)與s0(x,y)進行下列運算，獲取相位差

(10)

式中，atan{·}表示反正切函數；imag[·]表示取復數虛部；real[·][11]表示取復數實部，得到的相位差通過相位展開技術，獲取連續(xù)相位，根據式(4)恢復出物體的高度信息h(x,y)。

2 相位展開方法

假定滿足抽樣定理的要求，即抽樣頻率大于最高空間頻率的2倍。則任何兩個相鄰抽樣點之間的連續(xù)相位差變化在(-π,π)內，用Matlab中的atan2函數將式(10)改寫為

(11)

經轉換后得到的二維相位呈現不連續(xù)的截斷分布，須用相位展開技術，消除相位分布中的截斷跳變展開成連續(xù)的相位，才能恢復高度信息。

1982年Itoh分析了一維相位展開問題，建立了嚴謹的數學模型，并且得到包裹相位圖的相位差分的再包裹就是實際相位圖的相位差分，相位展開實際上是對包裹相位差分再包裹值的積分過程[12-14]，此思想就是路徑跟蹤算法的基礎。在無噪聲或者其他干擾的理想情況下，只需沿著相位圖的行和列，逐點將相位展開即可。對于二維相位圖x方向展開后的相位值用up表示[15]

up(xk,y)=wp(xk,y)-2nkπ，nk∈Z

(12)

其中，wp(xk,y)是展開前的截斷相位；(xk,y)為采樣點的像素坐標，根據任何兩個相鄰抽樣點之間的連續(xù)相位變化<π，即

-π

(13)

根據式(12)與式(13)，得到式(14)

-π<[wp(xk,y)-wp(xk-1,y)]-2nkπ+2nk-1π<π

(14)

將式(14)加π,再除以2π得到

0<[wp(xk,y)-wp(xk-1,y)]/2π+0.5-nk+nk-1<1

(15)

對不等式各項同時向下取整得

nk=floor{[wp(xk,y)-wp(xk-1,y)]/2π+0.5}+nk-1

(16)

floor是Matlab中的向下取整函數，根據此分析，假定第一點截斷相位為已知的相位，則n0=0，編寫uphase1d函數，輸入不連續(xù)的截斷相位wp，輸出連續(xù)相位up。

function up = uphase1d(wp)

n= zeros(size(wp));

for i=2:length(wp)

n(i) = floor((wp(i)-wp(i-1))/(2*pi)+0.5)+n(i-1);

end

up = -2*pi*n + wp;

end

同理，上述方法對也對y方向的相位展開適用。假定二維截斷相位圖(1,1)點的相位為已知相位，由此點完成第一行的相位展開，然后再以展開的第一行各點為基準點，逐列展開，最后得到連續(xù)分布的二維相位。

function up = uphase2d(wp)

[r,c]= size(wp);

wp(1,:) = uphase1d(wp(1,:));%第一行的相位展開

for n = 1:c

wp(:,n) =uphase1d(wp(:,n));%各列的相位展開

end

up = wp;

end

3 計算機仿真實驗

3.1 FTP仿真實驗流程圖

根據傅里葉變換輪廓術的基本原理，設計仿真實驗流程圖如圖3所示。

3.2 在Matlab中仿真FTP測量方法

根據圖1所示，設置系統參數L=800 mm，d=350 mm，模擬的被測物體大小為512 pixel × 512 pixel的peaks函數，如圖4所示。

圖4 模擬物體

投影周期為p=8 pixel正弦參考條紋，當參考條紋投影到被測物體時，由于物體高度的變化，使參考條紋的相位發(fā)生變化將發(fā)生形變。分別對參考條紋與變形條紋做二維傅里葉變換，將得到它們的頻譜，用鼠標選取濾波范圍，將自動生成矩形濾波窗。根據式(10)獲取截斷相位差，如圖5所示。

圖5 截斷相位

圖6 展開后的連續(xù)相位

調用uphase2d函數將二維截斷相位展開成二維連續(xù)相位，如圖6所示。根據式(4)進行恢復物體高度信息，還原后的物體如圖7所示。

圖7 恢復后的物體

圖8 誤差分布圖

用恢復后的物體減去模擬的物體，得到其誤差的分布圖如圖8所示。其誤差分布較大，是由于用矩形濾波窗進行頻譜濾波時，會產生頻譜泄漏造成的?；謴秃笞畲笳`差為2.73 mm，平均誤差為0.154 mm。

FTP仿真實驗的Matalb代碼如下

N = 512;L = 800;d = 350;p = 8; f0=1/p; a = 127.5; b = 127.5;

x = 0:1:N-1;[X,Y] = meshgrid(x);object =5.6*peaks(length(x));

I0 = a+b*cos(2*pi*f0*X);I = a+b*cos(2*pi*f0*(X +(d/L*object)));%產生變形條紋

F0 = fftshift(fft2(I0)); F = fftshift(fft2(I)); %二維傅里葉變換

rect_window_filter= zeros(size(F));

figure,contour(abs(F),80);r = round(getrect);%用鼠標選取濾波范圍

rect_window_filter(r(2):r(4)+r(2),r(1):r(3)+r(1)) = 1; %生成矩形濾波窗

Q = rect_window_filter.*F; Q0 = F0.*rect_window_filter;%濾波

s0 = ifft2(ifftshift(Q0)); s = ifft2(ifftshift(Q));%逆傅里葉變換

Deltaphi= atan2(imag(s.*conj(s0)),real(s.*conj(s0))); %獲取相位差

up = uphase2d(Deltaphi); %截斷相位展開成連續(xù)相位

recovery_object = L*up./(2*pi*f0*d-up); %恢復物體高度

4 結束語

本文對FTP的基本原理進行了介紹、并對理想條件下相位展開方法進行了推導，文中的仿真實驗采用的是遠心光路，平行光投影方式，用鼠標選取濾波范圍生成矩形濾波窗進行濾波。在相位展開方法上，假定無噪聲無干擾、滿足抽樣定理的理想條件下，根據相鄰像素相位差為依據進行相位展開。在Matlab中恢復了模擬物體的三維形貌，完成了整個仿真實驗。

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Fourier Transform Profilometry Simulation in Matlab

WU Yingshan,ZHANG Qican

(School of Electronic Information, Sichuan University, Chengdu 610064, China)

In the method of Fourier transform profilometry (FTP), the measurement system obtains the deformation of the object height modulated light field by the imaging device, and restores the height information of the object through the Fourier transform, frequency domain filtering and Fourier inverse transformation. The Fourier transform and phase unwrapping knowledge in the FTP measurement method involves a large number of complex mathematical calculations, making it abstract and difficult to understand. In view of this situation, we design simulation experiments based on Matlab and prepare the corresponding simulation codes. The entire measurement process is simulated by using Matlab numerical calculation and visualization function, which helps to understand the principles of the FTP measurement.

Fourier transform profilometry; Matlab; phase unwrapping

2016- 08- 31

國家重大儀器專項基金(2013YQ490879)

吳應山(1985-)，男，碩士。研究方向：動態(tài)三維測量。張啟燦(1974-)，男，博士，教授，博士生導師。研究方向：三維傳感等。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.06.003

TN29

A

1007-7820(2017)06-009-04