蘆 偉,宋里宏,李耀紅

1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，宿州，234000；2.海軍航空工程學(xué)院7系，煙臺，264001

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一類時間模上的半線性脈沖方程的振蕩問題

蘆 偉1,宋里宏2,李耀紅1

1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，宿州，234000；2.海軍航空工程學(xué)院7系，煙臺，264001

本文研究了帶阻尼項的時間模上的半線性脈沖時滯動力方程:

的振蕩性問題，通過使用一個特殊的脈沖不等式和Riccati技巧，得到此類方程解的振蕩性的若干判定準(zhǔn)則，并通過例子驗證了結(jié)論的實際意義。

時間模；脈沖；半線性；時滯；振蕩性

近年來，對微分方程振蕩理論的研究與應(yīng)用幾乎滲入所有學(xué)科和應(yīng)用領(lǐng)域，尤其是時間模上的動力方程的研究廣泛出現(xiàn)在工業(yè)控制理論、生物數(shù)學(xué)模型、電磁理論、神經(jīng)系統(tǒng)理論等領(lǐng)域[1-18]。脈沖的引入為時間模上的動力方程的研究提出了新的課題[3]。本文討論如下帶阻尼項的分?jǐn)?shù)階脈沖時滯方程：

(1)

(2)

(H2)F(t),f(t):C(T→R)且uF(u)>0,uf(u)>0；

(H3)δ(t),θ(t):T→T滿足δ(t)≤t,θ(t)≤t,limt→∞δ(t)=+∞,limt→∞θ(t)=+∞；

(H4)存在正常數(shù)L,κ使得F(u)/u≥L,f(u)/u≤κ(u≠0)且φ(t)=Lp(t)-κq(t)>0；

(H6)F(t):C1(T→R)滿足對所有的不為零的變量u有F′(u)>0，對任意ab>0有F(ab)≥F(a)F(b)。

本文使用的時間模上的微積分基本概念參見文獻[1-2]。

近年來，研究時間模上動力方程的振蕩性問題已有較多的成果[4-18],而對時標(biāo)上脈沖型動力方程的研究并不深入。文獻[15]和[16]研究了非線性項帶σ(t)的特殊情況，得出了一些判定振蕩性的充分條件，本人在此基礎(chǔ)上進一步推廣振蕩問題的研究，并考慮多時滯的影響，較之文獻[18]考慮更為一般的方程，并且使用積分平均技巧和一個特殊的不等式，因此得到的結(jié)果具有一定的理論意義。

1 主要結(jié)果

下面使用積分平均技巧建立方程(1)的如下類型的振蕩定理，為此，假設(shè)在域Ω:={(t,s):t≥s≥t0}上，存在函數(shù)H,H′s∈C1(Ω,R)，滿足：

H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,H′s(t,s)≤0,t>s≥t0

(3)

則當(dāng)t≥t0時，有：

(4)

引理2[2]假設(shè)g∈R+，即g∈Crd(T，R)并且對于任意的tk,t∈[t0,+∞]T，滿足1+μ(t)g(t)>0，則初值問題yΔ(t)=g(t)y(t),y(t0)=y0∈R在[t0,+∞]T上有唯一的正解eg(t,t0)，也記為eg(·,t0)，它滿足半群性質(zhì)eg(a,b)eg(b,c)=eg(a,c)。

引理3[19]假設(shè)X和Y都是非負(fù)數(shù)，則有：

Xλ+(λ-1)Y-λXYλ-1≥0,λ>1

當(dāng)且僅當(dāng)X=Y時等式成立。

(5)

(6)

根據(jù)引理2和(6)式，對t∈(tk,tk+1]T,k=1,2,3,…，又可得到：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

則方程(1)是振蕩的。

證明 設(shè)x(t)是方程(1)在[t0,∞)T上的一個非振蕩解，不失一般性，可假設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解(x(t)是方程(1)的最終負(fù)解可類似證明)，不妨設(shè)當(dāng)t≥T≥t0時x(t)>0，由定理的條件知引理4成立。下面定義廣義的Riccati變換：

由引理4知，當(dāng)t≥T≥t0時，w(t)>0,又：

(12)

根據(jù)xΔ(t)和A(t)(xΔ(t))γ的單調(diào)性知，當(dāng)t>tk>T時：

A(t)(xΔ(t))γ≤A(σ(t))(xΔ(σ(t)))γ,x(σ(t))≥x(t)

(13)

將(13)式代入(12)式得：

(14)

使用時間模上指數(shù)函數(shù)微分的鏈?zhǔn)椒▌t[2]得：

(15)

(16)

(17)

由(16)和(17)得到：

(18)

移項并以s代替t得：

(19)

(19)式兩邊同乘以H(t,s)，并對s在t>s>tk≥t1上進行分段積分，則：

(20)

再由條件(H5)知，對t∈(tk,tk+1],k=1,2,…有：

(21)

使用分部積分法可推出對所有的t>s>tk≥t1>T都有：

(22)

將(22)帶入(20)得：

因此

(23)

從而

(24)

這與條件(11)發(fā)生矛盾，因此方程(1)是振蕩的。證畢。

定理2 假設(shè)(H1)～(H5)和(5)成立,并且假設(shè)：

(25)

這里[ψ(t)]+如定理1一樣定義，則方程(1)是振蕩的。

(26)

(27)

根據(jù)引理1可知：

(28)

取t→∞時由條件(25)知(28)式的右端小于零，這與w(t)>0相矛盾。命題得證。

接下來考慮當(dāng)f(t)=0,F′(t)>0時方程(1)的振蕩定理。

定理3 假設(shè)(H1)～(H6)和條件(5)成立，并且進一步假設(shè)：

(29)

則方程(1)的解是振蕩的。

證明 設(shè)x(t)是方程(1)的一個非振蕩解，不失一般性，假設(shè)x(t)>0最終成立，沿襲引理4的證明，可以得到x(t)>0,xΔ(t)>0,t∈(tk,tk+1]T,tk>t0,k=1,2,…，

(30)

(31)

根據(jù)(H3)(H4)(H5)可以看出：

(32)

使用引理1可得：

(31)

根據(jù)條件(29)，式(31)右端當(dāng)t→∞時為負(fù)，這與w(t)>0矛盾。命題得證。

2 例子

例1 考慮方程：

(32)

不難驗證條件(H2)(H3)(H5)滿足，取L=1易看出(H4)滿足。

所以條件(5)被滿足。又因為：

根據(jù)定理3得方程(32)是振動的。

例2 考慮方程：

(33)

3 結(jié) 論

考慮的時間模上的脈沖動力方程較以往的脈沖動力方程更加一般化，同時還考慮了雙時滯的影響和二階項系數(shù)函數(shù)的脈沖問題。定理的結(jié)果可涵蓋非時滯方程的情況并且對脈沖的影響又加以說明，因此本文的結(jié)果是對已有定理的進一步推廣,并且更加細(xì)致和新穎。脈沖振動的判定準(zhǔn)則可作為橋梁、輪船甲板等材料耐受力的檢測工具，因此本文所研究的問題又具有很好的實際應(yīng)用意義。

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(責(zé)任編輯：汪材印)

幾種常見參考文獻的著錄格式

一、專著

[序號]主要責(zé)任者.文獻題名[文獻類型標(biāo)識].出版地：出版者，出版年.起止頁碼.

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二、期刊文章

[序號]主要責(zé)任者.文獻題名[J].刊名，年，卷(期)：起止頁碼.

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三、專著或文集中析出文獻

[序號]析出文獻作者.析出文獻題名[M]//專著或文集作者.專著或文集名.出版地：出版者，出版年：起止頁碼.

例：[1]紀(jì)珊珊.傳播學(xué)視野下的微博研究[D].合肥:安徽大學(xué)新聞傳媒學(xué)院,2011:6

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[序號]主要責(zé)任者.文獻題名[文獻類型標(biāo)識].存放地：大學(xué)到系部，出版者，出版年：起止頁碼.

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五、報紙文獻

[序號]主要責(zé)任者.文獻題名[文獻類型標(biāo)識].報紙名稱，年-月-日(版序)

例：[1]辛漸.2009年全國留學(xué)人數(shù)近23萬[N].大河報，2010-06-18(3)

六、標(biāo)準(zhǔn)文獻

[序號]標(biāo)準(zhǔn)代號.標(biāo)準(zhǔn)名稱[S].出版地：出版單位，出版年七、網(wǎng)絡(luò)文獻

[序號]作者名.作品名[EB/OL].[訪問時間,0000-00-00].網(wǎng)址

例：[1]辛苑薇.2012成新浪微博失去的一年[EB/OL]．[2016-07-11].http://www.donews.com/net

10.3969/j.issn.1673-2006.2017.04.026

2017-01-21

安徽省教育廳資助項目(KJ2012A265; 2013zdjy151,2016tszy083);宿州學(xué)院資助項目(2014XJHB07；2014XJZY01；2015JB13,201610379194)。

蘆偉(1964-)，安徽宿州人，教授，研究方向：泛函微分方程。

O

A

1673-2006(2017)04-0091-07