盧聲怡

上一期，孔老師和弟子們利用手指解決了一道關(guān)于周期的難題，讓我們體會(huì)到了手指尖上的智慧。這一期，畫(huà)師給大家出了一道排列組合難題，會(huì)難倒他們嗎？來(lái)，我們看故事吧！

杏壇學(xué)校本學(xué)期的學(xué)習(xí)即將結(jié)束，我對(duì)班上的同學(xué)們提議，說(shuō)：“學(xué)期快結(jié)束了，我們請(qǐng)畫(huà)師來(lái)給全班師生畫(huà)個(gè)合影吧！上周末我回家，爸爸媽媽專(zhuān)門(mén)請(qǐng)了個(gè)畫(huà)師來(lái)畫(huà)全家福。我覺(jué)得我們班也是一個(gè)大家庭，也可以畫(huà)一張‘全家福?！?/p>

大家一聽(tīng)，都贊同，商量第二天在杏湖邊排好位置再畫(huà)，最重要的是，要把孔老師叫上。

第二天，大家都來(lái)到杏湖邊。湖邊的銀杏樹(shù)已經(jīng)落了葉，滿地金黃，藍(lán)天碧水，賞心悅目，這真是一個(gè)適合出來(lái)放松的天氣。

到場(chǎng)的共有9人，顏回、子路、我（子盧）、閔損、宰予、子貢、冉有、言偃和曾參。師母帶孔鯉去鎮(zhèn)上新開(kāi)的兒童樂(lè)園玩，而孔老師去送他們，要過(guò)會(huì)兒才到。不過(guò)，咱們9位同學(xué)一聚集，就已經(jīng)七嘴八舌，相當(dāng)熱鬧了。這也難怪，平時(shí)孔老師上課太有趣，我們都把精力全放學(xué)習(xí)上了，沒(méi)空聊學(xué)習(xí)之外的事。

今天請(qǐng)來(lái)的畫(huà)師是爸爸幫我約的，是鎮(zhèn)上最有名的吳畫(huà)師。聽(tīng)說(shuō)他的技藝非常高超，尤其擅長(zhǎng)畫(huà)陰影和立體，畫(huà)出來(lái)的人物栩栩如生。唯一的缺點(diǎn)就是——收費(fèi)太貴，所以鎮(zhèn)上的人們都舍不得畫(huà)一張單人的，而多是請(qǐng)吳畫(huà)師畫(huà)全家福。這樣一來(lái)，就發(fā)展出了一種新的畫(huà)——合影畫(huà)，而吳畫(huà)師也成了魯國(guó)這方面最知名的工匠。

吳畫(huà)師沒(méi)想到是要畫(huà)這么多人的合影，看到我們就愣住了。這也難怪，鎮(zhèn)上的人們都是請(qǐng)他畫(huà)家里人的合影，最多不過(guò)五六人。

他想了一下，對(duì)我們說(shuō)：“我呢，來(lái)得匆忙，沒(méi)想到你們這么多人，顏料不夠，現(xiàn)在我要回家取。”

子路不高興了：“你是打算把我們晾在這兒？”

“不不不，”吳畫(huà)師連忙解釋?zhuān)拔胰トゾ蛠?lái)，去去就來(lái)。對(duì)了，你們不如用我去取顏料的時(shí)間，想一想你們?cè)趺磁帕邪桑　彼蛄苛艘幌挛覀?，又說(shuō)：“你們不是9人嗎？等你們9人把所有的排列都試一遍，我就回來(lái)了。到時(shí)候，只要你們告訴我一共有多少種不同的排列方法，我就免費(fèi)幫你們畫(huà)一張合影，怎么樣？”

“太好啦?！蓖瑢W(xué)們紛紛贊成。

子路還對(duì)吳畫(huà)師說(shuō)：“那你趕緊去吧，我們還要研究研究呢?！?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2017/06/28/shub201706shub20170604-1-l.jpg" style="">

吳畫(huà)師背著他的畫(huà)具走了，我們開(kāi)始研究。

子路突然有個(gè)想法：“不如我和子貢、子盧暫且當(dāng)一下‘道具，大家先研究一下3人排列的規(guī)律吧?！?/p>

“對(duì)！實(shí)際操作能讓我們更快看出規(guī)律?！弊迂曀斓乇硎就?。

我攤攤手，說(shuō)：“這簡(jiǎn)單呀，一共6種排法。從左往右，我子路子貢、我子貢子路、子路我子貢、子路子貢我、子貢我子路、子貢子路我?！?/p>

宰予笑了起來(lái)：“你這倒有點(diǎn)像孔老師整理的‘詩(shī)三百了，不過(guò)孔老師整理的都是四字一句，你這是五字一句，還真絕?！?/p>

“我這就叫——‘五言絕句。”我得意地說(shuō)。

“你厲害，我覺(jué)得你可以算我們?nèi)酥械闹鹘牵€是你站在中間好了，這樣有幾種不同的排法呢？”

“這樣就更簡(jiǎn)單了?！蔽矣秒p手做了個(gè)交換的動(dòng)作，“我在中間不動(dòng)，你們兩人一交換，排法只有2種。”

顏回笑著指指我：“你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這種情況下，排法的數(shù)量和沒(méi)你在是一樣的。你這主角還真是‘重要呀！”

“呃?！?/p>

看到我、子路和子貢輪流變換著位置，大家都覺(jué)得很有意思，紛紛組成幾人小組，試驗(yàn)起來(lái)。有“同組人組合”，有“前后桌組合”，還有“學(xué)霸組合”“死黨組合”“愛(ài)吹牛組合”等。

經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，大家覺(jué)得對(duì)3人排列非常有把握了。3人排列最關(guān)鍵的，就是要讓其中一個(gè)人固定不動(dòng)，然后調(diào)整另外兩個(gè)人，一共有6種排法。

如果是4人，那么第一個(gè)人不動(dòng)時(shí)，其他3人有6種排法，這樣一來(lái)，4人輪流作為第一個(gè)，就有4×6=24（種）不同的排法。

“是的。第一個(gè)位置讓誰(shuí)站，有4種選擇；第一個(gè)位置站好后剩下三個(gè)人，第二個(gè)位置有3種選擇；第三個(gè)位置有2種選擇；到第四個(gè)位置，只剩一個(gè)人沒(méi)站好，只有1種選擇。”

“一共就有4×3×2×1種選擇?！?/p>

同學(xué)們七嘴八舌地互相補(bǔ)充著，似乎已經(jīng)找到了排列規(guī)律。

“我們9人一共有多少種排法呢？我們來(lái)試一試吧?！?/p>

顏回?fù)u頭，對(duì)宰予的提議補(bǔ)充：“我們要給孔老師留一個(gè)位置，等他回來(lái)，就可以加進(jìn)來(lái)了。”

“孔老師的位置嗎？好辦，我去搬來(lái)?！弊勇吩拕傉f(shuō)完，人已經(jīng)跑得沒(méi)影了。一會(huì)兒，他就面不改色心不跳地搬來(lái)了孔老師書(shū)房里的大椅子。

子路把椅子一把放在正中間，說(shuō)：“孔老師當(dāng)然是坐中間了?！?/p>

“有道理。我想挨著孔老師?！?/p>

“我也想?！?/p>

“不如我們都緊挨著孔老師吧。”

“那不就把孔老師‘包成一個(gè)球了？”

大伙兒議論紛紛，最后不知誰(shuí)說(shuō)了這么一句話，把大家都逗樂(lè)了?；仡^一看，孔老師就站在我們身后。原來(lái)，剛剛那句話是他說(shuō)的！

不過(guò)，我們看到孔老師臉上帶著微笑，看來(lái)并沒(méi)有生氣，大家吐吐舌頭，也就釋然了。

顏回把剛才吳畫(huà)師說(shuō)的話跟孔老師報(bào)告了一遍。

孔老師的笑容凝結(jié)在臉上。

“你們不知道9人排列一共有多少種排法？”

“知道呀，我們剛才研究了3人和4人的情況，發(fā)現(xiàn)排列其實(shí)是分步做的。第一步是先選出一個(gè)人站第一個(gè)位置，一共有多少人就有多少種選擇；然后選第二個(gè)人站第二個(gè)位置……計(jì)算時(shí)，把每一步的選擇數(shù)相乘就是排列方案的總數(shù)了?！?/p>

“9×8×7×6×5×4×3×2×1種?！鳖伝刈鳛榘嚅L(zhǎng)，總結(jié)了大家的說(shuō)法。

“你們算一算得數(shù)?！笨桌蠋煹脑?，讓同學(xué)們都紛紛找工具計(jì)算起來(lái)。

還真是不算不知道，一算嚇一跳，居然有362880種排法，這還只是9人的情況，或者說(shuō)是把孔老師固定在中間的大椅子上。

如果不把孔老師固定在中間，那就變成了10人排列，有3628800種。這真是一個(gè)巨大的數(shù)呀！一年最多有366天，一天排1種，要排上快10000年。如果每天排10種，也要近1000年。每天排100種，差不多要100年……

我看著吳畫(huà)師消失的方向，喃喃地說(shuō)道：“看來(lái)吳畫(huà)師是不會(huì)回來(lái)了！”

數(shù)學(xué)點(diǎn)睛：排列組合，可以稱為“搭配的學(xué)問(wèn)”，它將貫穿我們學(xué)數(shù)學(xué)的整個(gè)過(guò)程。除了要知道分步做的事情用“乘法原理”，分類(lèi)做的事情用“加法原理”之外，我們還應(yīng)當(dāng)多了解一些有趣的現(xiàn)象。例如在排列中當(dāng)把一個(gè)人固定在某個(gè)位置時(shí)，其實(shí)是不必計(jì)算的（相當(dāng)于1）。再比如從1到10的所有自然數(shù)的乘積叫10的階乘，可以用“10！”表示，這是一個(gè)很大的數(shù)喲。