吳士寶， 鄭 列， 羅幼喜

(湖北工業(yè)大學理學院， 湖北 武漢 430068)

我國城鄉(xiāng)收入差距的統(tǒng)計建模
——基于各省縱向數(shù)據(jù)的MERS模型的實證分析

吳士寶， 鄭 列， 羅幼喜

(湖北工業(yè)大學理學院， 湖北 武漢 430068)

使用回歸樣條線混合效應(yīng)(MERS)模型，基于各省份的縱向數(shù)據(jù)，對城鄉(xiāng)收入差距與經(jīng)濟增長的關(guān)系進行統(tǒng)計建模，證實無論是全國還是各省份城鄉(xiāng)收入比與對數(shù)人均GDP均存在庫茲涅茨曲線的倒U關(guān)系。對各省份樣本的庫茲涅茨曲線的拐點處的人均GDP以及到達拐點的時間的分析表明，我國各省在2010年以后均進入了庫茲涅茨曲線的下降區(qū)域，城鄉(xiāng)收入差距有望進一步縮小。

城鄉(xiāng)收入差距； 回歸樣條線混合效應(yīng)； 庫茲涅茨曲線

進入21世紀以來，我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，同時，收入差距(包括城鄉(xiāng)收入差距，區(qū)域間收入差距以及社會各階層的收入差距)也發(fā)生了較大變化，由一個收入較均衡的國家轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€城鄉(xiāng)間、區(qū)域間、各階層收入差距較大的國家[1]。城鄉(xiāng)收入差距是衡量收入差距的一個重要指標。城鄉(xiāng)收入差距問題已經(jīng)成為各省乃至全國不可忽視的社會問題[2]，這一問題是否能夠得以解決關(guān)乎社會能否和諧發(fā)展、共同富裕的目標能否得以實現(xiàn)。

經(jīng)濟學家?guī)炱澞腫3]在20世紀50年代中期，通過對歐美發(fā)達國家的經(jīng)濟發(fā)展資料的研究，提出了“庫茲涅茨曲線”假說，認為收入不平等與經(jīng)濟發(fā)展之間存在著倒U型關(guān)系，即隨著經(jīng)濟的增長，收入差距會先經(jīng)歷一個迅速擴大，然后短暫的穩(wěn)定，最后逐漸縮小的過程。這一假說無論在理論上還是在實證分析上，都引起了激烈的爭論[4]。

本文選取了2002-2012年全國31個省、自治區(qū)、直轄市的縱向數(shù)據(jù)，對我國城鄉(xiāng)收入差異的庫茲涅茨曲線進行基于MERS(回歸樣條線混合效應(yīng)模型)模型的統(tǒng)計建模。MERS模型是非參數(shù)混合效應(yīng)模型的一種.它克服了使用參數(shù)模型所受的模型設(shè)定的限制，如：對城鄉(xiāng)收入差距與經(jīng)濟增長關(guān)系的研究，若采用參數(shù)模型，則必然假定其具體函數(shù)形式，現(xiàn)有研究多采用二次多項式形式，這樣一來，擬合曲線只可能是U型或者倒U型，即使實際曲線并非如此。非參數(shù)模型則可克服這種限制，通過平滑參數(shù)的選擇，還原其曲線的真實面目。

1 數(shù)據(jù)來源及處理

本文所用的數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局網(wǎng)站。由于2013年以后城鄉(xiāng)人均收入統(tǒng)計方法發(fā)生改變，造成數(shù)據(jù)缺失的問題，本文選取的數(shù)據(jù)為2002-2012年各省、自治區(qū)、直轄市的縱向數(shù)據(jù)。響應(yīng)變量為城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與農(nóng)村居民人均純收入的比值Rur，預測變量為人均GDP的對數(shù)ln GDP。

2 研究方法

MERS模型是非參數(shù)混合效應(yīng)模型的一種，以Rur為響應(yīng)變量，ln GDP為預測變量的典型非參數(shù)模型混合效應(yīng)模型記作以下形式[5]：

(1)

這里η(ln GDP)為縱向數(shù)據(jù)的平滑均值函數(shù)，也叫做固定效應(yīng)函數(shù)；viln(GDP)刻畫了個體函數(shù)對總體均值函數(shù)的偏離，叫做隨機效應(yīng)函數(shù)。εij是不能為模型所解釋的測量誤差函數(shù)。

在MERS模型中，常使用含有K個結(jié)點(τ1，τ2，…,τK)的k階截斷多項式基Φp(ln GDP)為η(ln GDP)構(gòu)建估計值，使用含有Kv個結(jié)點(δ1，δ2，…,δKv)的kv階截斷多項式基Ψq(ln GDP)為vi(ln GDP)構(gòu)建估計值。則可用下式表示回歸樣條線：

(2)

這里

β=[β0,β1,…,βk+K]T

bi=[bi0,bi1,…,bi(kv+Kv)]T,i=1,2,…,n

為系數(shù)向量。記

xij=Φp(ln GDPij),zij=Ψq(ln GDPij),

Xi=[xi1,…,xini]T,yi=[Ruri1,…,Rurini]T,

R=diag(R1,…,Rn),

則式(1)可以記為以下矩陣形式

y=Xβ+Zb+ε,

(3)

在D和R已知的情況下，通過加權(quán)最小二乘法可得以下估計量[6]：

(4)

這里

V=diag(V1,…,Vn),

若D和R未知，則可使用通過EM算法迭代得到的估計值代替D和R。

在所有結(jié)點處的η(ln GDP)擬合值可以記作：

這里

A=X(XTV-1X)-1XTV-1

而vi(ln GDP)在結(jié)點的擬合向量可以記作：

這里

3 模型應(yīng)用

3.1 結(jié)點選擇與基函數(shù)個數(shù)的選擇

結(jié)點選擇采用等間距樣本分位數(shù)結(jié)點選擇方法[7](EquallySpacedSampleQuantilesasKnotsMethod)，原理如下：令ln GDP(1),ln GDP(2),…ln GDP(n)為結(jié)點的次序統(tǒng)計量。則其K個結(jié)點定義如下：

τr=ln GDP(1+[rn/(K+1)]),r=1,2,…,K,

這里[a]表示a的整數(shù)部分。

為了方便計算，本文采用最常用的做法，選取三次回歸樣條線，即k=3。p，q選擇應(yīng)同時考慮兩個方面：擬合優(yōu)度和模型的復雜性，本文的選擇標準為AIC，對于MERS模型，其定義如下：

AIC=-2Loglik+2[df+dfv]

df=tr(A),dfv=tr(Av)

通過R語言lme4程序包，嘗試不同的p，q組合，得出p=7，q=4時AIC最小，為-231.299。

3.2 構(gòu)建總體均值函數(shù)及其估計值

使用R語言lme4程序包的lmer函數(shù)對式(3)求解，則可以得到η(ln GDP)的MERS估計值：

圖 1 Rur總體均值函數(shù)圖像

圖1可以看出，Rur總體均值函數(shù)呈現(xiàn)出倒U形態(tài)，與庫茲涅茨假說相吻合，城鄉(xiāng)收入差距最大時，即城鄉(xiāng)收入差距開始降低的人均GDP為15 142元。

3.3 構(gòu)建各省、自治區(qū)、直轄市的個體函數(shù)的估計值

各省、自治區(qū)、直轄市的個體函數(shù)si(ln GDP)的估計值

利用R語言lme4程序包的predict函數(shù)對樣本進行估計，得到每個省、自治區(qū)、直轄市的城鄉(xiāng)收入差距Rur的個體函數(shù)，并估計個體城鄉(xiāng)收入差距達到極值點極值點的人均GDP，得到表1。

表1 各省份進入拐點的時間、拐點處的人均GDP

圖 2 隨機挑選的4個個體的個體擬合曲線

4 結(jié)論

本文通過研究31個省、自治區(qū)、直轄市的縱向數(shù)據(jù)，對我國城鄉(xiāng)收入差距進行基于MERS模型的非參數(shù)統(tǒng)計建模，實證分析表明我國的城鄉(xiāng)收入差距總體上支持庫茲涅茨曲線，各省、自治區(qū)、直轄市樣本的城鄉(xiāng)收入差距呈倒U曲線，從而支持了庫茲涅茨的假說。通過對樣本的分析可以發(fā)現(xiàn)，我國各省、自治區(qū)、直轄市的城鄉(xiāng)收入差距大致在2010年以后全部進入了倒U曲線的下降區(qū)域，表明我國的城鄉(xiāng)收入差距有望在今后一段時間，繼續(xù)逐步縮減。其中黑龍江省、西藏自治區(qū)、新疆維吾爾自治區(qū)在2002年以前就已經(jīng)進入了倒U曲線的下降區(qū)域。通過分析樣本城鄉(xiāng)收入差距拐點，到達拐點的人均GDP，以及到達拐點的時間，發(fā)現(xiàn)農(nóng)業(yè)比重較大的省、自治區(qū)、直轄市，到達拐點的人均GDP值越低，且越早到達拐點。

為進一步縮小城鄉(xiāng)收入差距，各省、自治區(qū)、直轄市應(yīng)該從結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?nèi)胧?，加快對農(nóng)業(yè)部門的現(xiàn)代化改造，推進城鄉(xiāng)一體化，大力發(fā)展農(nóng)村非農(nóng)產(chǎn)業(yè)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)，促進城鄉(xiāng)均衡發(fā)展。

[1] 王小魯，樊綱. 中國收入差距的走勢與影響因素分析[J].經(jīng)濟研究，2005(10)：24-36.

[2] 劉榮添，葉民強.中國城鄉(xiāng)收入差異的庫茲涅茨曲線研究——基于各省份面板數(shù)據(jù)(1978-2004)的實證分析[J].經(jīng)濟問題探索，2006(6)：9-13.

[3]KuznetsS.Economicgrowthandincomeinequality[J].AmericaEconomicReview,1955(1):1-28.

[4] 邵紅偉，靳濤.收人分配的庫茲涅茨倒U曲線——跨國橫截面和面板數(shù)據(jù)的再實證[J].中國工業(yè)經(jīng)濟，2016(4)：22-38

[5]WuHulin,ZhangJin-Ting.Nonparametricregressionmethodsforlongitudinaldataanalysis[M].Wiley-Interscience,2005:130-136.

[6]EubankRL.Nonparametricregressionandsplinesmoothing[M].NewYork:MarcelDekker，1988:12-101.

[7]WoldS.Splinefunctionsindataanalysis[J].Technometrics,1974(16):1-11.

[責任編校： 張 眾]

Statistical Modeling of Urban and Rural Income Gap of China —An Empirical Research Based on MERS Model of Longitudinal Data

WU Shibao, ZHENG Lie, LUO Youxi

(SchoolofScience,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

The relationship of urban and rural income gap and economic growth of China and its provinces is modeled through using mixed effects regression splines(MERS) model,based on longitudinal data of China's provinces.It is verified that there exists a converse U curve relation,which Kuznets curve indicates,between urban and rural income ratio and the logarithm of GDP per capita.Then GDP per capita of each province at the inflection point of Kuznets curve,and the year when the sample reached the the inflection point are estimated.After the analysis of the samples,it is revealed that all provinces of China have entered the decreasing part of Kuznets curve, and consequently ,urban and rural income gap is expected to be narrowed in the next few years.

urban and rural income gap；MERS；Kuznets Curve

2017-02-17

國家人社部國家留學人員科技活動擇優(yōu)資助項目(鄂人函「2013」277號)；國家自然科學基金(HBSkFM2014001)

吳士寶(1982-)， 男， 山東省泰安人，湖北工業(yè)大學理學院講師，碩士研究生，研究方向為縱向數(shù)據(jù)非參數(shù)回歸

鄭 列(1963-)，男，湖北英山人，湖北工業(yè)大學教授，研究方向為應(yīng)用數(shù)學

1003-4684(2017)02-0114-04

F126.2

A