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        半?yún)?shù)回歸模型的幾乎無偏差分k-d估計

        2017-06-22 13:45:09彪,蔡
        關(guān)鍵詞:師范大學(xué)情形差分

        熊 彪,蔡 婷

        (湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

        半?yún)?shù)回歸模型的幾乎無偏差分k-d估計

        熊 彪,蔡 婷

        (湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

        利用差分的方法研究半?yún)?shù)回歸模型,提出了半?yún)?shù)回歸模型的幾乎無偏差分k-d估計,討論了該估計量的一些基本性質(zhì).在均方誤差意義下,與差分k-d估計進(jìn)行了比較,得到了在一定情況下幾乎無偏差分k-d估計優(yōu)于差分k-d估計.

        半?yún)?shù)回歸模型;幾乎無偏;差分k-d估計;均方誤差

        0 引言

        部分線性模型是線性和非線性模型的混合模型,是八十年代以來發(fā)展起來的一種用途十分廣泛的統(tǒng)計模型.部分線性回歸模型的一般形式可以表示為:

        yi=xiβ+f(ti)+εi,i=1,2,…n,

        其中β=(β1,β2,…βp)T是p×1維待估參數(shù)向量,xi是已知的p維設(shè)計向量,f∈R1為定義在[0,1]上的未知函數(shù),yi是觀測值,εi是隨機(jī)誤差項,ε1,ε2,…,εn獨立同分布,且滿足,Eεi=0,Dεi=σ2.由于部分線性模型的應(yīng)用廣泛且靈活,國內(nèi)外許多學(xué)者關(guān)注著部分線性回歸模型相關(guān)問題的研究,其中對模型中參數(shù)估計方法的研究已成為熱點問題,如核光滑估計法[2],壓縮估計[3],嶺估計[4],Liu-型估計[5]和差分k-d估計[6]等,這些有偏估計的提出是為了消除復(fù)共線性.雖然相對于最小二乘估計而言,有偏估計損失了其無偏性,但其在均方誤差這一評價條件來看,更加優(yōu)良,更加符合實際.本文基于部分線性回歸模型參數(shù)的差分估計,使用k-d回歸估計的概念,提出了部分線性回歸模型參數(shù)的幾乎無偏差分k-d估計的概念,研究它的相關(guān)性質(zhì)并證明它的優(yōu)越性.

        1 幾乎無偏差分k-d估計

        下面我們就給出半?yún)?shù)回歸模型的幾乎無偏差分k-d估計.

        先引入差分模型

        (1)

        (2)

        其中I為單位矩陣.進(jìn)一步將模型(1)改寫為

        (3)

        (4)

        (5)

        (6)

        2 幾乎無偏差分k-d估計的基本性質(zhì)

        下面給出幾乎無偏差分k-d估計的一些基本性質(zhì),其中性質(zhì)1和性質(zhì)2可直接證得,在此略. 本文將著重介紹性質(zhì)3和性質(zhì)4 .

        M=[I+(Λ+I)-1(Λ+kI-dΛ)(Λ+kI)-1](Λ+I)-1(Λ+kI+dI)(Λ+kI)-1Λ

        注1 性質(zhì)2表明部分線性回歸模型的幾乎無偏差分k-d估計是差分最小二乘估計的一個線性變換.下面的性質(zhì)3表明部分線性模型的幾乎無偏差分k-d估計是將γ向原點的壓縮估計.

        證 模型(1)的典則形式:

        (7)

        于是有

        考慮下式

        (8)

        于是

        性質(zhì)4 在γ的線性估計類中,γ**(k,d)為γ的可容許估計.

        M=[I+(Λ+I)-1(Λ+kI-dΛ)(Λ+kI)-1](Λ+I)-1(Λ+kI+dI)(Λ+kI)-1Λ

        將Λ代入上式展開,可得

        3 幾乎無偏差分k-d估計與差分k-d估計的比較

        由定義可得

        1)在ab>0的情形,

        3)在ab<0的情形,

        其中a=λi+k+d,b=(1-d)λi+k,c=(λi+1)(λi+k),k>0,-∞

        證 顯然

        于是有

        tr{[I+(Λ+I)-1(Λ+kI-dΛ)(Λ+kI)-1]2(Λ+I)-2(Λ+kI+dI)2(Λ+kI)-2σ2Λ}=

        (9)

        由文獻(xiàn)[6]得

        (10)

        利用(9)和(10)式得

        其中a=λi+k+d,b=(1-d)λi+k,c=(λi+1)(λi+k),k>0,-∞

        所以在ab>0的情形時,

        在ab<0的情形時,

        證 由定理1的證明的結(jié)論我們可以知道,只有在

        或者

        1)在ab>0的情形時,要令

        由ab>0,可知a,b同號:

        若a>0,b>0,則我們發(fā)現(xiàn)a(b+2c)σ2<0不可能成立,故該種情況舍去;

        得到

        解得

        而這組解明顯相互矛盾,故此種情況舍去.

        2)在ab<0的情形時,要令

        由ab<0,可知a,b異號;

        若a<0,b>0,則我們發(fā)現(xiàn)a(b+2c)σ2<0與假設(shè)不符,故該種情況舍去;

        得到

        解得

        1+k/λi

        再來判斷一下上式左右兩邊的大?。?/p>

        故1+k/λi

        [1]胡宏昌. 半?yún)?shù)回歸模型的幾乎無偏嶺估計[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2009,12:1605~1612.

        [2]Speckman P. Kernel smoothing in partial linear models[J]. Journal of the Royal Statistical Society,1988,50(3): 413 ~436.

        [3]Gruber M. Improving efficiency by shrinkage:The James-Stein and ridge regression estimators[M]. New York:Marcell Dekker,1985.

        [4]Hoerl A,Kennard R. Ridge regression:biased estimation for orthogonal problems[J]. Technometrics,1970,12:55~67.

        [5]Liu K. A new class of biased estimate in linear regression[J]. Communications in Statistics Theory and Methods,1993,22:393~402.

        [6] 黃芬芬. 部分線性回歸模型參數(shù)的差分k-d估計[D]. 湖北師范大學(xué)碩士論文,2016.

        [7]Farebrother R W. Further results on the mean square error of ridge regression[J]. Journal of the Royal Statistical Society, 1976,38(3):248~250.

        [8]Zhang J,Cui H J. Hypothesis test for the parameters of linear part in the partial linear EV model[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica,English Series,2015,31(4): 1153~1166.

        [9]Hu H C,Zhang Y,Pan X. Asymptotic normality of DHD estimators in a partially linear model[J]. Stat Papers,2015:1~21.

        [10]Arashi M,Valizadeh T. Performance of Kibria’s methods in partial linear ridge regression model[J]. Stat Papers,2015,56:231~246.

        [11]Hoerl A E,Kennard R W. Ridge regression:applications to nonorthogonal problems[J]. Technometrics,1970,12(1):69~82.

        [12]Singh B. An almost unbiased ridge estimator[J]. Sankhya,1986,48(3):342~346.

        Almost unbiased difference-based k-d estimator ofparameters in a partial linear model

        XIONG Biao, CAI Ting

        ( College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

        We consider a partial linear regression model by the difference-based method,and propose the almost unbiased difference-based k-d estimator of parameters .We give some properties of the estimator,and then,wecompare the almost unbiased difference-based k-d estimator with the difference-based k-d estimator under the mean squared error (MSE),the result shows the former excels the latter.

        partial linear model; almost unbiased; difference-based k-d estimator; mean squared error

        2016—11—20

        國家自然科學(xué)基金(11471105),湖北師范大學(xué)科研團(tuán)隊(T201505)

        熊彪(1989— ),男,湖北黃石人,碩士研究生,主要從事半?yún)?shù)回歸模型的研究.

        O212.1

        A

        2096-3149(2017)02- 0062-06

        10.3969/j.issn.2096-3149.2017.02.014

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