孫欣然，臧希喆，劉義祥，林珍坤

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001)

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帶被動踝關(guān)節(jié)的雙足機(jī)器人動力學(xué)及步態(tài)研究

孫欣然，臧希喆，劉義祥，林珍坤

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001)

欠驅(qū)動雙足步行機(jī)器人是仿人機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一.針對帶有被動踝關(guān)節(jié)的雙足機(jī)器人，建立了五桿四驅(qū)動模型，對模型進(jìn)行動力學(xué)分析.根據(jù)拉格朗日原理，建立機(jī)器人單足支撐動力學(xué)模型和基于碰撞的雙足支撐動力學(xué)模型.建立完整的欠驅(qū)動雙足步行機(jī)器人動力學(xué)模型.對機(jī)器人步態(tài)進(jìn)行了規(guī)劃.規(guī)劃了欠驅(qū)動機(jī)器人的時(shí)不變步態(tài)；利用貝塞爾多項(xiàng)式擬合出虛擬約束的軌跡，給出了欠驅(qū)動機(jī)器人軌跡規(guī)劃的算法；采用極限環(huán)方法，通過驗(yàn)證龐加萊回歸映射不動點(diǎn)穩(wěn)定性，驗(yàn)證了極限環(huán)的穩(wěn)定性，從而驗(yàn)證了機(jī)器人步態(tài)的穩(wěn)定性.

欠驅(qū)動；雙足機(jī)器人；動力學(xué)；步態(tài)規(guī)劃

人類研究機(jī)器人已經(jīng)有了很長一段歷史，而研制出與人類外形相似，功能相似的機(jī)器人一直是研究者們的愿望.仿人機(jī)器人可以從事枯燥，危險(xiǎn)的工作，同時(shí)又比人類具有更高的效率和耐力，不必考慮一些身體或心理上的問題，可謂人類完美的替身.在這樣的背景下，仿人機(jī)器人這一研究領(lǐng)域成為國內(nèi)外研究者、學(xué)者們的研究熱點(diǎn).從20世紀(jì)60年代開始，開始出現(xiàn)仿人機(jī)器人.相比于其他種類的機(jī)器人，仿人機(jī)器人的發(fā)展十分迅猛.除了機(jī)器人學(xué)之外，對仿人機(jī)器人的研究還涵蓋了力學(xué)、生物學(xué)、控制科學(xué)、甚至心理學(xué)等不同的學(xué)科，逐漸成為了一個(gè)多學(xué)科交叉的獨(dú)特研究領(lǐng)域.以雙足步行為主要運(yùn)動形式的一類仿人機(jī)器人具有很高的靈活性，能夠適應(yīng)不同的地形，是仿人機(jī)器人領(lǐng)域里一個(gè)重要的分支[1-4].

但一個(gè)為人熟知的問題是，雙足步行機(jī)器人結(jié)構(gòu)上一般具有很高的復(fù)雜度，性能上速度也比較慢，尤其是在要求高負(fù)載的情況下.過去50年，國內(nèi)外許多研究機(jī)構(gòu)都對雙足步行機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動控制做出了大量研究，但是機(jī)器人的能源和效率問題并沒有得到很好的解決.雙足機(jī)器人要想獲得敏捷的性能，需要具有很好的地面適應(yīng)性和穩(wěn)定性，要想獲得持久的耐力，需要具有高效節(jié)能的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)和控制方法.實(shí)際上基于計(jì)算機(jī)的足部自主運(yùn)動控制器從1970年開始就引起了研究者的興趣.但是基于軌跡生成與追蹤的傳統(tǒng)步態(tài)控制器，對于降低機(jī)器人的功耗并不是一個(gè)很好的選擇[5-6].

傳統(tǒng)的雙足步行機(jī)器人每個(gè)自由度都由一個(gè)執(zhí)行元件驅(qū)動，根據(jù)人類雙足的運(yùn)動特點(diǎn)，生成一條各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡，通過控制執(zhí)行元件動作來精確地追蹤這條軌跡，完成類似人類雙足的運(yùn)動方式.本課題追隨的是一種新的趨勢，研究含有主動關(guān)節(jié)和被動關(guān)節(jié)的雙足步行機(jī)器人，也就是欠驅(qū)動雙足步行機(jī)器人.本課題研究的機(jī)器人踝關(guān)節(jié)是被動關(guān)節(jié)，這種結(jié)構(gòu)更符合人類的雙足步行特點(diǎn)，具有被動踝關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)可以提高機(jī)器人對地面的適應(yīng)性[7-9].

1 欠驅(qū)動機(jī)器人動力學(xué)分析

在動力學(xué)分析中，建立如圖1所示模型，模型包括軀干、兩條大腿、兩條小腿共5個(gè)桿件.軀干和大腿之間有兩個(gè)主動自由度，大腿和小腿之間有兩個(gè)主動自由度，所以機(jī)器人結(jié)構(gòu)中一共有4個(gè)驅(qū)動，稱其為“五桿四驅(qū)動模型”.由于踝關(guān)節(jié)是被動關(guān)節(jié)，在足與地面接觸時(shí)，相當(dāng)于足與地面成為一體，所以可以將機(jī)器人的足簡化成點(diǎn)足來研究.

圖1 機(jī)器人動力學(xué)分析結(jié)構(gòu)模型

在進(jìn)行動力學(xué)分析之前，需要先說明欠驅(qū)動機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型(五桿四驅(qū)動模型)所基于的假設(shè)條件：

1)由5個(gè)剛性連桿和4個(gè)理想轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(剛性無摩擦)組成，形成一個(gè)開放運(yùn)動鏈.此外每個(gè)桿件都有質(zhì)量，且質(zhì)量是分散式的；

2)運(yùn)動是二維的，且關(guān)節(jié)的運(yùn)動都約束在矢狀面內(nèi)；

3)雙足形式，兩足對稱分布在軀干兩側(cè)，足和軀干的連接點(diǎn)稱為髖關(guān)節(jié)，足末端是一個(gè)點(diǎn)；

4)4個(gè)驅(qū)動互相獨(dú)立；

5)支撐足與地面的接觸點(diǎn)處是被動的踝關(guān)節(jié)沒有驅(qū)動.

本文研究雙足機(jī)器人在平面上的勻速步行.機(jī)器人的結(jié)構(gòu)只有軀干和雙足，忽略了頭、手的影響.機(jī)器人步行過程可以歸納為周期運(yùn)動，即擺動腿從后方擺到前方并接觸地面變?yōu)橹瓮?，然后支撐腿離開地面變?yōu)閿[動腿，兩腿按照一定周期不斷交替運(yùn)動.為了使機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)周期性的步行運(yùn)動，其步行控制器需要具備以下特性.

1)分為單腿支撐和雙腿支撐兩個(gè)支撐相，且二者交替進(jìn)行；

2)在單腿支撐時(shí)，支撐足是一個(gè)理想的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，即在支撐足與地面接觸的整個(gè)過程中，與地面接觸力的垂直分量始終為正，水平分量不超過靜摩擦力大小；

3)雙足支撐發(fā)生在一瞬間，相應(yīng)的地面接觸可以看作剛性接觸；

4)擺動腿落地時(shí)，不會打滑也不會彈回.支撐腿離地時(shí)不會與地面有相互作用；

5)在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，兩條腿的運(yùn)動是對稱的；

6)機(jī)器人每一步，都是嚴(yán)格地開始于擺動腿從支撐腿后方擺動到支撐腿前方并與地面接觸；

7)步行順序從左腿到右腿，在水平面上進(jìn)行.

擺動腿與地面的接觸是一種沖擊，這種沖擊可以假設(shè)為兩個(gè)剛體的碰撞.已有的剛體碰撞理論可以根據(jù)擺動腿與地面碰撞前的運(yùn)動參數(shù)，得到二者碰撞之后擺動腿的運(yùn)動參數(shù).本文采用的剛體碰撞理論需要基于以下假設(shè)：

1)沖擊是足底完全接觸并終止于地面的結(jié)果；

2)沖擊是瞬間發(fā)生的；

3)發(fā)生沖擊時(shí)，外部施加的作用力可以看作是脈沖力；

4)關(guān)節(jié)驅(qū)動無法形成脈沖力，因此在發(fā)生沖擊時(shí)可以被忽略；

5)機(jī)器人的速度可以因?yàn)槊}沖力而發(fā)生突變，而機(jī)器人的位姿不會因?yàn)槊}沖力發(fā)生突變.

1.1 單腿支撐階段動力學(xué)模型

根據(jù)結(jié)構(gòu)模型假設(shè)條件1，機(jī)器人模型是一個(gè)開環(huán)運(yùn)動鏈，根據(jù)步行假設(shè)條件5，雙腿的運(yùn)動是關(guān)于髖關(guān)節(jié)對稱的.所以機(jī)器人的兩條腿在作為擺動腿時(shí)，運(yùn)動參數(shù)是相同的，對一條腿進(jìn)行分析即可.根據(jù)基于能量的拉格朗日原理，對于6自由度的機(jī)器人，可列出方程

動能方程中，機(jī)器人的運(yùn)動參數(shù)是各桿件在固定坐標(biāo)系中的速度和角速度，而拉格朗日方程中的運(yùn)動參數(shù)是各關(guān)節(jié)角度及其導(dǎo)數(shù).為了將動能以關(guān)節(jié)運(yùn)動參數(shù)來表示，需要建立雅克比矩陣將固定坐標(biāo)系中的運(yùn)動參數(shù)轉(zhuǎn)化為相對坐標(biāo)系中的運(yùn)動參數(shù).

可寫為

動能表達(dá)式可以簡化為

機(jī)器人各桿件勢能之和為機(jī)器人總勢能，表達(dá)式為

其中:pi3為桿件i質(zhì)心所在位置的縱坐標(biāo).列出拉格朗日方程，

有

其中:

1.2 雙腿支撐階段動力學(xué)模型

在擺動腿接觸地面產(chǎn)生沖擊時(shí)，地面會給足的末端點(diǎn)一個(gè)反作用力，此時(shí)末端點(diǎn)不能再看作是只有一個(gè)自由度的鉸鏈，而是可以在矢狀面內(nèi)產(chǎn)生平動的點(diǎn)，所以需要在固定坐標(biāo)系中引入新的坐標(biāo)，那么對于6自由度的機(jī)器人，各桿件的位姿變量為qe=[q;Pb].將新的位姿變量帶入拉格朗日方程得到，

=Be(qe)τ+δFext

上式可化簡為

雙腿支撐階段增加的坐標(biāo)Pb在單腿支撐階段可以由關(guān)節(jié)角度q得到，記為

Pb=γe(q)

因此，

擺動腿與地面發(fā)生碰撞時(shí)，由步行運(yùn)動假設(shè)4，擺動腿既不彈回也不發(fā)生滑動，所以擺動腿末端坐標(biāo)與支撐腿末端相同，都是Pb，利用虛功原理，

綜上分析，可以得到

解得

其中:

綜上推導(dǎo)，已知碰撞前狀態(tài)的條件下，可以計(jì)算出碰撞后擺動腿末端的速度和地面對其作用力.至此，機(jī)器人的行走動力學(xué)模型已經(jīng)建立完畢.機(jī)器人動力學(xué)模型由擺動階段和碰撞階段組成，其中擺動階段是在一段時(shí)間內(nèi)的連續(xù)過程，而碰撞階段發(fā)生在一瞬間，是離散過程.兩種過程按周期交替出現(xiàn)就構(gòu)成了連續(xù)和離散的混雜模型.兩種過程產(chǎn)生切換的時(shí)刻是在擺動腿觸地的一瞬間，此時(shí)擺動腿末端橫坐標(biāo)Pb_h大于0，縱坐標(biāo)Pb-v等于0，可以歸納為

S={x|Pb_v=0,Pb_h>0}

那么機(jī)器人的完整動力模型為

2 欠驅(qū)動機(jī)器人步態(tài)規(guī)劃

2.1 時(shí)不變步態(tài)規(guī)劃

為了讓機(jī)器人按照一定周期做步行運(yùn)動，需要對機(jī)器人的參考軌跡hd(θ(q))進(jìn)行規(guī)劃.規(guī)劃的過程實(shí)際上就是把hd(θ(q))進(jìn)行參數(shù)化的過程.參數(shù)化過程需要用到貝塞爾多項(xiàng)式.四驅(qū)動機(jī)器人具有四維參考軌跡，令

hd(θ)=[b1(s)b2(s)b3(s)b4(s)]T

有

貝塞爾多項(xiàng)式是平滑曲線，其本身、導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在始末點(diǎn)都易于計(jì)算，即碰撞前后的狀態(tài)表達(dá)非常方便.端點(diǎn)值如下：

1)多項(xiàng)式端點(diǎn)值

bi(0)=α(i,0)

bi(1)=α(i,M)

2)一階導(dǎo)數(shù)端點(diǎn)值

3)二階導(dǎo)數(shù)端點(diǎn)值

對于欠驅(qū)動雙足步行機(jī)器人，為了得到貝塞爾多項(xiàng)式的周期解，需要滿足以下邊界條件：

基于上一節(jié)的完整動力學(xué)模型以及本節(jié)的貝塞爾多項(xiàng)式分析，可以總結(jié)出欠驅(qū)動機(jī)器人的步態(tài)規(guī)劃步驟：

2)由碰撞方程式，計(jì)算碰撞后的運(yùn)動參數(shù)：

3)建立貝塞爾多項(xiàng)式

4)驗(yàn)證多項(xiàng)式軌跡是否能形成穩(wěn)定的步態(tài).

2.2 時(shí)不變步態(tài)穩(wěn)定性分析

下面對穩(wěn)定性分析加以說明.與傳統(tǒng)的純主動機(jī)器人不同，欠驅(qū)動機(jī)器人的步行運(yùn)動是動態(tài)過程，其穩(wěn)定性不能再用ZMP方法來判定，而應(yīng)該使用一種適合動態(tài)運(yùn)動的穩(wěn)定性判定方法來進(jìn)行分析.欠驅(qū)動機(jī)器人的運(yùn)動不要求每個(gè)時(shí)刻都是穩(wěn)定的，只要求步行運(yùn)動能夠按周期持續(xù).

本文采用極限環(huán)方法來保證機(jī)器人步行運(yùn)動的穩(wěn)定性.欠驅(qū)動雙足步行機(jī)器人按一定周期運(yùn)動，機(jī)器人的狀態(tài)每隔一個(gè)周期循環(huán)一次，其在狀態(tài)空間里表現(xiàn)為周期性軌跡，即極限環(huán).極限環(huán)方法基于龐加萊回歸映射原理(PRM).龐加萊映射中極限環(huán)與超平面的交點(diǎn)收斂于任一交點(diǎn)鄰域內(nèi)時(shí)，極限環(huán)穩(wěn)定，這個(gè)點(diǎn)叫做不動點(diǎn).所以混雜零動態(tài)的穩(wěn)定性可以轉(zhuǎn)化為對龐加萊映射不動點(diǎn)的求解.

龐加萊回歸映射定義為：

xk+1=P(xk)=φ(xk,γ(xk))

極限環(huán)穩(wěn)定性等價(jià)于龐加萊回歸映射不動點(diǎn)穩(wěn)定性.

圖2 機(jī)器人周期行走極限環(huán)

3 結(jié) 語

本文分析機(jī)器人足部結(jié)構(gòu)，建立了帶有柔性關(guān)節(jié)雙足步行機(jī)器人的“五桿四驅(qū)動”結(jié)構(gòu)模型；基于拉格朗日原理，建立了帶有柔性關(guān)節(jié)的欠驅(qū)動機(jī)器人的單腿支撐動力學(xué)模型；基于有接觸力項(xiàng)的拉格朗日方程和虛功原理，建立了帶有柔性關(guān)節(jié)的欠驅(qū)動機(jī)器人雙腿支撐動力學(xué)模型. 利用貝塞爾多項(xiàng)式規(guī)劃了機(jī)器人的欠驅(qū)動步態(tài)；利用繪制極限環(huán)方法，找到了機(jī)器人不動點(diǎn)，驗(yàn)證了機(jī)器人步行運(yùn)動的穩(wěn)定性.

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Dynamics analysis and gait planning of biped robot with underactuated ankle

SUN Xin-ran,ZANG Xi-zhe, LIU Yi-xiang, LIN Zhen-kun

(State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The underactuated biped walking robot is one of the hotspot in research of humanoid robot. Aimed at biped robot with a passive ankle, the five-bar model was established. The model of dynamics analysis was introduced. According to the principle of Lagrangian, single support dynamics model was established and also the double support dynamics model based on collision. The complete underactuated biped walking robot dynamics model was established. And introduced the robot gait planning. Planned the time-invariant gait of the underactuated robot. By using Bessel polynomial，this paper fitted out the trajectory of virtual constraint. And gave the algorithm of the underactuated robot gait planning. Used the limit cycle method to verify the Poincare return-mapping fixed point’s stability. The stability of the limit cycle was also proved. Verified the stability of the robot gait.

underactuated; biped robot; dynamics; gait planning

2016-06-22.

國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主課題(SKLRS201304B)

孫欣然(1991-)，男，碩士，研究方向：仿人雙足機(jī)器人.

TP242

A

1672-0946(2017)03-0319-05