■河南省平頂山市第一中學(xué) 王麗娜 胡 玉

利用圖像的動(dòng)態(tài)性解決函數(shù)的綜合問題

■河南省平頂山市第一中學(xué) 王麗娜 胡 玉

在每年高考試題當(dāng)中,有關(guān)函數(shù)的試題都占有很大的比例。抽象性是函數(shù)問題的最大特點(diǎn),如何尋找解決函數(shù)綜合問題的切入點(diǎn)?本文結(jié)合實(shí)例,利用作圖工具所作圖像的動(dòng)態(tài)性,通過形象的展示與動(dòng)態(tài)的變化,幫助同學(xué)們深刻理解函數(shù)的概念和性質(zhì),以及函數(shù)圖像的形成過程與應(yīng)用。

一、利用圖像的動(dòng)態(tài)性求解分段函數(shù)的單調(diào)性

動(dòng)態(tài)解析:當(dāng)a從0開始變化時(shí),函數(shù)f(x)的圖像變化如圖1~圖5。滿足條件:在(-∞,+∞)上是減函數(shù)的只有圖2和圖3,即滿足 解得故選C。

圖1

提煉:分段函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上單調(diào)遞減必須從整體上考慮。不但要求在每一段上單調(diào)減,而且要求左半段的接點(diǎn)不低于右半段的接點(diǎn),即整個(gè)函數(shù)圖像從左到右必須一直下降(允許間斷),借助圖像的動(dòng)態(tài)變化使問題“一目了然”。

二、利用圖像的動(dòng)態(tài)性求解函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題

已知函數(shù)f(x)= -x2+8x,g(x)=6lnx+m。是否存在實(shí)數(shù) m,使得y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由。

動(dòng)態(tài)解析:當(dāng)m從小到大變化時(shí),兩條曲線的交點(diǎn)情況如圖6~圖10。當(dāng)兩條曲線在某個(gè)位置相切,此時(shí)為它們之間交點(diǎn)個(gè)數(shù)變化的臨界位置,因此問題轉(zhuǎn)化為求兩條曲線相切時(shí)實(shí)數(shù)m的值。

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

當(dāng)x=1時(shí),f(x)與g(x)相切,如圖7所示,由f(1)=g(1),解得m=7。

當(dāng)x=3時(shí),f(x)與g(x)相切,如圖9所示,由f(3)=g(3),解得m=15-6ln3。

圖10

當(dāng)7

當(dāng)m=7或m= 15-6ln3時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖7、9所示。

當(dāng)m<7或m>15-6ln3時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有一個(gè)交點(diǎn),如圖6、10所示。

綜上所述:當(dāng)7

提煉:利用計(jì)算機(jī)作圖工具可以幫助我們觀察函數(shù)圖像變化的過程及兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的變化規(guī)律,反過來幫助我們理解對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),以及它們之間的關(guān)系,使得數(shù)形結(jié)合有了更為廣闊的用武之地。

三、利用圖像的動(dòng)態(tài)性求解函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

提煉:利用作圖工具作出5類圖像,尋求臨界值,動(dòng)態(tài)變換求得參數(shù)范圍,凸顯“形助數(shù)”的指導(dǎo)作用。對(duì)于周期函數(shù)來說,除了要掌握函數(shù)的整體性質(zhì),還需要抓住每個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)特征。在解決周期函數(shù)與非周期函數(shù)的綜合問題時(shí),研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)關(guān)系發(fā)生改變的某個(gè)周期是解決問題的關(guān)鍵,可以避免大量煩瑣的計(jì)算。

注:本文系2016年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目“信息技術(shù)輔助高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的應(yīng)用研究”,課題編號(hào):JCJYC16030453。

(責(zé)任編輯 王福華)

圖2

圖3

圖4