余孝軍，李 佳

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽550025）

一類彈性需求混合均衡交通分配的效率損失

余孝軍，李 佳

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽550025）

交通網(wǎng)絡(luò)中不同類型用戶的路徑選擇行為導(dǎo)致混合均衡交通分配。自私用戶總是選擇最小實(shí)際出行成本的路徑出行，利他用戶選擇最小理解出行成本的路徑出行。最小理解出行成本是實(shí)際出行成本與邊際出行成本的線性加權(quán)。首先，構(gòu)建了自私用戶和利他用戶彈性需求混合均衡交通分配的等價(jià)變分不等式模型；然后，假定路段出行成本函數(shù)為多項(xiàng)式出行成本函數(shù)，并運(yùn)用非線性規(guī)劃方法界定了該類混合均衡交通分配的效率損失上界及其與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的關(guān)系。研究結(jié)果表明，效率損失上界與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)無關(guān)，只和路段出行成本函數(shù)的最高次以及最小和最大利他系數(shù)相關(guān)。

自私用戶；利他用戶；彈性需求；變分不等式；效率損失

用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)是有限資源分配和用戶相互影響問題中常見的兩類均衡，理論界一直在尋求界定它們之間差距的方法及探討實(shí)現(xiàn)用戶均衡到系統(tǒng)最優(yōu)的轉(zhuǎn)變措施。近年來，研究交通科學(xué)的學(xué)者們對(duì)交通均衡行為的效率損失及降低均衡行為效率損失的方法進(jìn)行了大量的研究。駱偉等建立了改進(jìn)的阻抗函數(shù)下的混合交通均衡模型，并證明了該模型的最優(yōu)解等價(jià)于Wardrop用戶均衡[1]。劉天亮等研究了交通網(wǎng)絡(luò)中部分用戶裝配先進(jìn)的交通信息系統(tǒng)時(shí)在均衡狀態(tài)下的效率損失上界[2]，Han等進(jìn)一步研究了多用戶類交通網(wǎng)絡(luò)在用戶均衡情形下的效率損失上界[3]，余孝軍等討論了固定需求網(wǎng)絡(luò)中收費(fèi)情形下多用戶類隨機(jī)均衡的效率損失，探討了固定需求下自私-利他用戶混合交通均衡分配的效率損失[4-5]。曾明華等對(duì)多層次交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡的效率損失上界進(jìn)行了研究，并探討了該上界值的影響因素[6]。上述研究都是考慮固定需求下混合交通均衡分配的效率損失。至今為止，對(duì)彈性需求下交通均衡分配效率損失的研究不多見。Chau和Sim擴(kuò)展了Roughgarden和Tardos的結(jié)論到彈性需求情形，他們認(rèn)為界定彈性需求下的效率損失上界比界定固定需求下的效率損失上界困難，并定義彈性需求下的效率損失為最大社會(huì)剩余和均衡處的總剩余之比，給出了一個(gè)彈性需求下效率損失的粗糙上界，該上界為需求函數(shù)的函數(shù)[7]。Yu和Wang探討了彈性需求多用戶類交通均衡分配的效率損失，分別構(gòu)建了基于時(shí)間決策準(zhǔn)則和費(fèi)用決策準(zhǔn)則的變分不等式模型，并通過解析方法得到了這兩種不同準(zhǔn)則下的效率損失上界和相關(guān)影響因素[8]。但是目前，國內(nèi)外對(duì)于彈性需求下混合交通均衡分配效率損失的研究不多見。本文對(duì)彈性需求下自私-利他用戶構(gòu)成的混合交通網(wǎng)絡(luò)的效率損失進(jìn)行研究。首先給出彈性需求下自私-利他用戶的等價(jià)變分不等式模型，然后運(yùn)用非線性規(guī)劃方法推導(dǎo)此類均衡的效率損失上界，并分析網(wǎng)絡(luò)參數(shù)與效率損失上界的關(guān)系。

1 彈性需求下自私-利他用戶混合均衡交通分配模型

交通網(wǎng)絡(luò)中的出行量守恒和非約束條件如下

式（1）～式（6）可寫成矩陣形式Ω=｛（v，q）│v=Δf，Δf=q，f≥0，q≥0｝，其中Δ＝［δarw］表示路段路徑關(guān)聯(lián)矩陣，Λ＝［Λar］表示起訖點(diǎn)路徑關(guān)聯(lián)矩陣。顯然Ω是閉凸集。Nagurney和Dong給出了如下的多用戶類彈性需求用戶交通均衡分配的定理[9]：

這里cam是第m類用戶在路段a上的出行成本。

本文考慮的是自私用戶和利他用戶兩類不同的用戶，后面的cau（va）表示自私用戶在路段a上的出行成本，cam（va）表示第m類利他用戶在路段a上的理解出行成本，且有

把式（8）和式（9）分別代入式（7）則可得彈性需求下自私-利他用戶混合均衡交通分配模型為：

則該類混合均衡交通分配的效率損失表達(dá)式為

易得，ρ≥1，下面我們來界定路段出行成本函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)該類混合均衡交通分配效率損失的上界值。

2彈性需求下自私-利他混合均衡交通分配的效率損失

在界定彈性需求下自私-利他混合均衡交通分配的效率損失之前，由文獻(xiàn)[8]中的引理1，可得如下引理：

引理2 如果對(duì)任意非負(fù)的qwm，Bwm（qwm）是qwm的非增函數(shù)，那么有

此F（va）是關(guān)于va≥0，p≥1的凹函數(shù)，從而F（va）有唯一的全局最大值，設(shè)λau，λam，a∈A是變量vaM≥0，vam≥0的Lagrange乘子，故可得式（20）的一階最優(yōu)性條件如下們定義ζa=0。

所以，優(yōu)化問題（20）取得最優(yōu)值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)式（28）或式（29）成立，令

那么式（20）可被改寫為

根據(jù)以上所有分析，我們可以得到以下定理：

如果對(duì)任意的m∈M，都有βm=1，則γa=1，ζa＝0，進(jìn)而有ψ＝0且ρ=1。即在完全利他情形下的交通網(wǎng)絡(luò)不存在著效率損失。

3 結(jié)論

運(yùn)用非線性規(guī)劃方法對(duì)一類彈性需求混合均衡交通分配的效率損失進(jìn)行界定。首先我們構(gòu)建了該類混合交通分配的等價(jià)變分不等式模型，然后界定了多項(xiàng)式出行成本函數(shù)時(shí)的效率損失上界。研究表明：效率損失上界值取決于利他用戶的最大、最小利他系數(shù)，多項(xiàng)式路段出行成本函數(shù)的最高次。但是，本文得到的效率損失上界不一定是緊的上界。如何探討收費(fèi)、誘導(dǎo)系統(tǒng)等對(duì)該類混合交通均衡分配效率損失的影響以及對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)是我們下一步研究的方向。

[1]駱偉，吳克晴.基于改進(jìn)的阻抗函數(shù)下的混合交通均衡模型[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30（4）：46-53.

[2]劉天亮，歐陽戀群，黃海軍.ATIS作用下的混合交通行為網(wǎng)絡(luò)效率損失上界[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，27（4）：154-159.

[3]HAN D R，LO H K，YANG H.On the price of anarchy for non-atomic congestion games under asymmetric cost maps and elastic demands[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56（10）：2737-2743.

[4]余孝軍，黃海軍，劉天亮.固定需求網(wǎng)絡(luò)中多用戶類隨機(jī)均衡的效率損失[J].交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2009，9（4）：83-89.

[5]余孝軍，張文專.自私-利他用戶混合均衡交通分配的效益損失[J].交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程與信息，2014，14（1）：60-63

[6]曾明華，肖瑜，黃細(xì)燕.多層次交通網(wǎng)絡(luò)的UE與SO混合均衡與效率損失[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，29（2）：57-62

[7]CHAU C K，SIM K M.The price of anarchy for non-atomic congestion games with symmetric cost maps and elastic demands[J]. Operations Research Letter，2003，31（5）：327-334.

[8]YU X J，WANG L L.On efficiency loss of multiclass traffic equilibrium assignment with elastic demand[J].Procedia-Social and Behavioral Sciences，2014，138：368-377.

[9]NAGURNEY A，DONG J.A multiclass,multicriteria traffic network equilibrium model with elastic demand[J].Transportation Research Part B，2002，36（5）：445-469.

[10]ROUGHGARDEN T，TARDOS E.How bad is selfish routing[J].Journal of the ACM，2002，49（2）：236-259.

On Efficiency Loss of a Mixed Equilibrium under Elastic Demand

Yu Xiaojun，Li Jia
（School of Mathematics and Statistics，Guizhou University of Finance and Economics，Guiyang 550025，China）

The mixed equilibrium traffic assignment is caused by the route choice principle of different users in transportation network.Selfish users always choose paths with minimum actual travel cost while altruistic users choose paths with minimum perceived travel cost which is a linear combination of the actual and marginal travel costs.Firstly,a variational inequality model to depict the mixed traffic assignment with selfish and altruistic users under elastic demand was developed.Secondly,the upper bound of this mixed equilibrium traffic assignment with polynomial cost function was derived by the nonlinear programming method and the relation between the upper bound and the network parameters was obtained.The results showed that the upper bound of efficiency loss is independent with network topology but relates to the degree of the link travel cost functions and the maximum and minimum altruism coefficient.

selfish user；altruistic user；elastic demand；variational inequality；efficiency loss

U491；O22

A

1005-0523（2017）03-0060-06

（責(zé)任編輯 姜紅貴）

2016－12－24

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71161005）；貴州省教育廳“125”重大科技專項(xiàng)項(xiàng)目（黔教合重大專項(xiàng)字[2012]011號(hào)）

余孝軍（1974—），男，教授，博士，研究方向?yàn)榻煌ㄐ袨榉治雠c建模，博弈理論及其應(yīng)用。