屠星星，徐勇杰

(上海船舶研究設(shè)計(jì)院，上海 201203)

軸肩過(guò)渡曲線設(shè)計(jì)及應(yīng)力集中分析

屠星星，徐勇杰

(上海船舶研究設(shè)計(jì)院，上海 201203)

分析單曲率圓弧、雙曲率圓弧、三曲率圓弧、橢圓和流線形等多種軸肩過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)方法，利用有限元軟件 Abaqus 對(duì)這些曲線進(jìn)行建模分析。對(duì)于單曲率圓弧，應(yīng)力集中系數(shù)和應(yīng)力集中角度隨著過(guò)渡半徑的增大而減小，但是應(yīng)力集中系數(shù)減小的效果并不十分明顯。流線形過(guò)渡曲線基本消除了應(yīng)力集中，其應(yīng)力集中系數(shù)僅為 1.004。雙曲率圓弧、三曲率圓弧和橢圓過(guò)渡曲線也都將應(yīng)力集中系數(shù)降低到 1.05 以下，適于實(shí)際工程應(yīng)用。

軸肩；過(guò)渡曲線；過(guò)渡半徑；應(yīng)力集中系數(shù)

0 引 言

應(yīng)力集中是導(dǎo)致軸系斷裂破壞的主要因素之一，船舶軸系應(yīng)力集中主要發(fā)生在法蘭與軸之間的過(guò)渡區(qū)域。軸肩即該過(guò)渡部位，良好的軸肩過(guò)渡曲線設(shè)計(jì)有助于緩解應(yīng)力集中。目前普遍采用一個(gè)1/4圓弧作為軸肩過(guò)渡曲線，通常情況下此種設(shè)計(jì)已能夠滿足軸系安全平穩(wěn)運(yùn)行的要求。但對(duì)于某些特殊情況，比如階梯軸之間軸徑差過(guò)大、軸材料強(qiáng)度不足等，單曲率圓弧過(guò)渡曲線已經(jīng)不能將應(yīng)力集中系數(shù)減小到足夠小的程度，此時(shí)不得不采用一些特殊形式的過(guò)渡曲線[1]。近年來(lái)，在對(duì) 38 000 t 綠色海豚系列散貨船的研發(fā)設(shè)計(jì)過(guò)程中，為確保軸系安全運(yùn)轉(zhuǎn)，研究了多種軸肩過(guò)渡曲線。

本文主要分析多種軸肩過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)方法，以有限元軟件 Abaqus 為工具建立軸肩模型，研究這些曲線下軸肩應(yīng)力集中的情況。除了本文涉及到的 5 種形式，其他形式的軸肩過(guò)渡曲線還有 3 次樣條、B 樣條和圓弧蛻變等多種復(fù)雜曲線，由于這些曲線形狀加工難度高，不利于工程上的應(yīng)用，故本文不做研究。另外，軸肩應(yīng)力集中系數(shù)的大小與加載方式有關(guān)，拉壓和扭轉(zhuǎn) 2 種情況下的應(yīng)力集中系數(shù)是有不小差別的。軸系設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù)——扭振合成許用應(yīng)力只與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中系數(shù)相關(guān)，故本文只研究不同軸肩過(guò)渡曲線下的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力[2]。

1 軸肩過(guò)渡曲線設(shè)計(jì)

本文分析單曲率圓弧、雙曲率圓弧、三曲率圓弧、橢圓和流線形等 5 種軸肩過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)方法。

1.1 單曲率圓弧過(guò)渡曲線

單曲率圓弧是目前最常用的軸肩過(guò)渡曲線，如圖 1所示。其中，D，h，d，r，L，e 分別為法蘭直徑、法蘭厚度、軸徑、軸肩過(guò)渡半徑、軸肩過(guò)渡長(zhǎng)度和軸肩過(guò)渡高度。點(diǎn) P 為應(yīng)力最大的點(diǎn)，點(diǎn) Q 為軸肩與軸的切點(diǎn)，θ 為點(diǎn) P 到點(diǎn) Q 之間圓弧對(duì)應(yīng)的角度，稱之為應(yīng)力集中角度。

過(guò)渡半徑 r 越大，過(guò)渡越平緩，應(yīng)力集中系數(shù)越小。理論上可以通過(guò)加大過(guò)渡半徑來(lái)將應(yīng)力集中降低到可以忽略的程度，但是隨著半徑的增大，法蘭和軸肩也不斷變大，一方面增加了軸系的重量和成本，另一方面占據(jù)過(guò)大空間而不利于布置[3]。

研究表明，軸肩上最大應(yīng)力點(diǎn) P 從圓弧切點(diǎn) Q起，對(duì)于圓心，處于 15° 之內(nèi)，即 P 與 Q 是緊鄰著的。因此一般認(rèn)為，只要局部地將 PQ 之間的半徑加大，便可達(dá)到既減小應(yīng)力集中系數(shù)又不增大軸肩和法蘭尺寸的目的，這也便是雙曲率和三曲率過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)理念由來(lái)[4]。

1.2 雙曲率圓弧過(guò)渡曲線

雙曲率圓弧過(guò)渡曲線如圖 2 所示，AB 段是半徑較小的圓弧，BC 段是半徑較大的圓弧，兩圓弧在 B 點(diǎn)相切。其中，r1和 r2分別是兩段圓弧的半徑。根據(jù)不同的 r1和 r2，可以設(shè)計(jì)出無(wú)數(shù)條雙曲率圓弧。文獻(xiàn)[5]對(duì)于很多種不同形式的雙曲率過(guò)渡曲線進(jìn)行了光彈性實(shí)驗(yàn)，通過(guò)試湊的方法給出了1條效果良好的曲線。

光彈性實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，它的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中系數(shù)幾乎接近于 1.0（1.00～1.02）[5]。雙曲率圓弧過(guò)渡曲線在不增加軸肩過(guò)渡高度 e 的情況下，僅依靠延長(zhǎng)軸肩過(guò)渡長(zhǎng)度即可達(dá)到有效減小應(yīng)力集中系數(shù)的目的。

1.3 三曲率圓弧過(guò)渡曲線

三曲率圓弧過(guò)渡曲線如圖 3 所示，它進(jìn)一步加大了最大應(yīng)力點(diǎn)與切點(diǎn)間的過(guò)渡圓弧半徑。

根據(jù)不同的參數(shù)，三曲率圓弧也可以設(shè)計(jì)出無(wú)數(shù)種形式。挪威船級(jí)社憑其豐富的工程經(jīng)驗(yàn)給出了一種效果良好的三曲率圓弧過(guò)渡曲線，設(shè)計(jì)該曲線的各參數(shù)如式（1）～ 式（3）所示[6]。

式中：R1，R2和 R3分別為三段圓弧的半徑；θ1，θ2和θ3分別為三段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角。

1.4 橢圓過(guò)渡曲線

橢圓過(guò)渡曲線如圖 4 所示，將1/4橢圓作為軸肩過(guò)渡曲線，圖中軸肩曲率從上至下逐漸減小。當(dāng)橢圓長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度比值（b/a）等于相鄰兩軸段截面尺寸比值（D/d）時(shí)，應(yīng)力集中系數(shù)最小[7]。

1.5 流線形過(guò)渡曲線

文獻(xiàn)[8]提出了一種流線形軸肩過(guò)渡曲線，帶有圓角的圓棒承受拉力或壓力時(shí)，如果采用一種無(wú)摩擦的理想流體從容器底部的圓孔流出時(shí)的線型（如圖 5 所示），則表面的正應(yīng)力均勻，因而可以避免應(yīng)力集中。拉壓情況下的流線形軸肩過(guò)渡曲線可以通過(guò)理論計(jì)算推導(dǎo)得到。

適用于具有圓角的圓棒承受扭轉(zhuǎn)時(shí)的流線形曲線與拉伸情況下的流線形曲線有所不同，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以建立與拉伸情況的換算公式，并加以利用。

扭轉(zhuǎn)情況下，流線形曲線沿縱向變化的直徑d（y）如表 1 所示。在 y/d = ∞（即液體流到無(wú)限遠(yuǎn)處）時(shí)，d（y）/d = 1，這不適于工程設(shè)計(jì)。當(dāng) y/d = 1.6時(shí)，d（y）/d = 1.003，d（y）非常接近軸徑 d，所以從這一點(diǎn)起往下可加工成等直徑[8]。

表1 流線形過(guò)渡曲線參數(shù)Tab. 1 Parameters of streamline transition curve

2 應(yīng)力集中分析

本文用有限元軟件 Abaqus 對(duì)以上過(guò)渡曲線進(jìn)行建模分析，其中單曲率圓弧軸肩模型（D = 945 mm，d =360 mm，h = 100 mm，r = 50 mm）的應(yīng)力分布剖面圖如圖 6 所示。計(jì)算結(jié)果表明，切應(yīng)力是關(guān)于軸中心對(duì)稱分布的。在同一個(gè)圓截面上，相同半徑處的切應(yīng)力大小相等，并且切應(yīng)力隨著半徑的增大而增大，在軸的外沿切應(yīng)力達(dá)到最大，最大切應(yīng)力為 1.390 04 × 10–4GPa。在遠(yuǎn)離軸肩的區(qū)域，應(yīng)力均勻分布；在軸肩區(qū)域，出現(xiàn)了應(yīng)力集中的現(xiàn)象。應(yīng)力集中導(dǎo)致的最大應(yīng)力出現(xiàn)在過(guò)渡弧與軸相切的位置附近，這與理論分析結(jié)果一致，也就進(jìn)一步證明雙曲率和三曲率過(guò)渡的可行性。

理論應(yīng)力集中系數(shù)是最大局部應(yīng)力與名義應(yīng)力的比值，名義應(yīng)力是未發(fā)生應(yīng)力集中時(shí)的應(yīng)力。

名義切應(yīng)力的理論計(jì)算公式為：

式中：M = 1 000 Nm為施加的扭矩，d = 360 mm為軸徑，代入上式得到名義切應(yīng)力 nominal shear stress = 109 160 Pa。

應(yīng)力集中系數(shù) scf（stress concentration factor）計(jì)算如下：

隨著過(guò)渡半徑 r 的增大，軸肩扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小，如圖 7 所示。當(dāng)過(guò)渡半徑達(dá)到 200 mm 時(shí)，應(yīng)力集中系數(shù)才減小至 1.09，此時(shí)軸肩過(guò)渡長(zhǎng)度和過(guò)渡高度過(guò)大，導(dǎo)致法蘭尺寸過(guò)大，不利于軸系設(shè)計(jì)。因此對(duì)于單曲率圓弧過(guò)渡，依靠增大過(guò)渡半徑來(lái)減小應(yīng)力集中系數(shù)的效果有限。

另外，應(yīng)力最大點(diǎn)出現(xiàn)位置所對(duì)應(yīng)的角度隨過(guò)渡半徑的變化而變化，如圖 8 所示。

結(jié)果表明，應(yīng)力集中角度隨半徑增大而減小，半徑越大，應(yīng)力最大點(diǎn)越靠近軸肩與軸的切點(diǎn)。

各種型式軸肩過(guò)渡曲線的應(yīng)力集中系數(shù)如表 2 所示。

單曲率圓弧過(guò)渡消除應(yīng)力集中的效果最差，流線形過(guò)渡的效果最好，其應(yīng)力集中系數(shù)幾乎約等于 1，表明應(yīng)力集中接近于被完全消除。雙曲率、三曲率和橢圓過(guò)渡的效果基本相當(dāng)，理論上相當(dāng)尺寸的情況下三曲率過(guò)渡的效果優(yōu)于雙曲率過(guò)渡，但是因?yàn)楸疚哪Ｐ椭须p曲率過(guò)渡尺寸略大于三曲率過(guò)渡，故其效果略優(yōu)于三曲率過(guò)渡。

表2 多種軸肩過(guò)渡曲線的應(yīng)力集中系數(shù)Tab. 2 The stress concentration factors of several shoulder transition curves

3 結(jié) 語(yǔ)

軸肩過(guò)渡曲線的優(yōu)化設(shè)計(jì)有助于保障軸系安全運(yùn)行和為船舶減重及降低成本。雙曲率、三曲率、橢圓和流線形是比單曲率更優(yōu)的軸肩過(guò)渡曲線，流線形幾乎完全消除了應(yīng)力集中的現(xiàn)象，在非常嚴(yán)苛的設(shè)計(jì)條件下可以采用流線形過(guò)渡，但它會(huì)給加工制造帶來(lái)一定的難度。雙曲率、三曲率和橢圓曲線的加工難度較小，而且具有較好的削弱應(yīng)力集中的效果。尤其是三曲率過(guò)渡，已經(jīng)獲得了挪威船級(jí)社、中國(guó)船級(jí)社等多家權(quán)威船檢機(jī)構(gòu)的認(rèn)可，特別適用于船舶軸系設(shè)計(jì)。

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Design and stress concentration analysis of shoulder transition curves

TU Xing-xing, XU Yong-jie
(Shanghai Merchant Ship Design and Research Institute, Shanghai 201203, China)

The design methods of single-radius, two-radii, three-radii, elliptical and streamline shoulder transition curves are analyzed and they are modeled by Abaqus. For single-radius shoulder transition curve, both the stress concentration factor and the stress concentration angle decrease as the transition radius increases, but the decrease of the stress concentration factor is not significant. The stress concentration factor of the streamline shoulder transition curve is reduced to 1.004. Two-radii, three-radii and elliptical shoulder transition curves all make the stress concentration factor below 1.05 and they are suitable for engineering application.

shoulder；transition curve；transition radius；stress concentration factor

U664.121

A

1672–7619(2017)05–0038–04

10.3404/j.issn.1672–7619.2017.05.008

2016–05–11；

2016–07–29

屠星星(1990–)，男，碩士，助理工程師，主要從事輪機(jī)設(shè)計(jì)工作。