韓清

（廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué)南國(guó)商學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東廣州510545）

關(guān)于不定積分的表達(dá)式

韓清

（廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué)南國(guó)商學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東廣州510545）

討論了不定積分一般表達(dá)式的不足，改進(jìn)了不定積分相等的內(nèi)涵。

不定積分；一般表達(dá)式；積分常數(shù)

在微積分里，眾所周知，一個(gè)給定函數(shù)的原函數(shù)不止一個(gè)。我們有下面熟知的結(jié)果［1］：

設(shè)F（x）是函數(shù)f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）的所有原函數(shù)都具有F（x）+C的形式。這里，C為任意常數(shù)，也就是所謂的積分常數(shù)（the constant of integration）。

教科書上都把f（x）的不定積分定義為上述原函數(shù)的“一般表達(dá)式”［2］，即

這個(gè)所謂的一般表達(dá)式意思有些含糊,在教學(xué)時(shí)學(xué)生也不太容易理解,會(huì)產(chǎn)生下面一些問(wèn)題：

（Ⅰ）為了湊常數(shù)，往往要有“前瞻性”，以湊最終結(jié)果。如此表達(dá)既繁瑣，又不自然。

其中，記C=C1-ln a，仍為任意常數(shù)。

例1中，為湊出最終的C，提前幾行就要“預(yù)見性”地在積分常數(shù)加下標(biāo)，寫成C1。

（Ⅱ）容易產(chǎn)生1=0性質(zhì)的概念錯(cuò)誤。

例2，基本積分公式［2］

容易讓人認(rèn)為

從而產(chǎn)生

實(shí)際上，如果變換思維，把不定積分嚴(yán)格地定義為“所有原函數(shù)的集合”，即

那么，就不會(huì)產(chǎn)生前述的一些問(wèn)題和誤解。

也就是說(shuō)，這里，把原函數(shù)與不定積分兩個(gè)概念清楚區(qū)分開：前者是一個(gè)具體函數(shù)，后者則是函數(shù)族，是個(gè)集合。

不過(guò)，如果全部按上面的集合寫法來(lái)表達(dá)積分又很繁瑣（這大概也是教科書不這么表述的根本原因）。故此，可以把式（3）簡(jiǎn)寫成緊湊的形式，即

式（4）寫起來(lái)與式（1）一樣，但內(nèi)涵不同。確切地說(shuō)，在式（3）定義下的不定積分計(jì)算中的等式，其實(shí)不是一般四則運(yùn)算意義下的相等，而是集合運(yùn)算的相等。

此處，英文所用的術(shù)語(yǔ)是“up to”，也就是“常數(shù)忽略不計(jì)”意義下的相等。如此，既不會(huì)有概念上的疑惑，也不會(huì)增加書寫麻煩。

例如，上述例1中的表達(dá)式寫成

即可，而不必引進(jìn)C=C1-lna這樣啰嗦的寫法。

關(guān)鍵之處是：“但凡是常數(shù)，都可以忽略不計(jì)”。

有了上面對(duì)不定積分理解的改變，可以很容易地跟學(xué)生解釋：在積分計(jì)算過(guò)程中，只要還有其他積分號(hào)算出的積分就不必加常數(shù)；而一旦沒有了積分號(hào)，就一定要加任意常數(shù)符號(hào)C，例如

［1］陳傳璋.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)［M］.2版.北京:高等教育出版社,1983:235,245.

［2］隋如彬.微積分［M］.2版.北京:科學(xué)出版社,2012:181,185.

【責(zé)任編輯：王桂珍 foshanwgzh@163.com】

A note about the expressing of the indefinite integral

HAN Qing
（Faculty of Common Courses,South China Business College of Guangdong Universityof Foreign Studies, Guangzhou 510545,China）

In this paper,some deficiencies of the expressing of the indefinite integral have been discussed,and the connotation ofthe equation ofthe indefinite integral has been improved.

indefinite integral;general expression;the constant ofintegration

O172.2

A

1008-0171（2017）03-0028-02

2017-02-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11671153）

韓 清（1964-），男，江西九江人，廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué)南國(guó)商學(xué)院副教授，博士。