云南省曲靖師范學(xué)院(655011)

梁金華●

從波利亞的解題步芻談高中學(xué)生解數(shù)學(xué)題的常見錯(cuò)誤及應(yīng)對(duì)策略

云南省曲靖師范學(xué)院(655011)

梁金華●

防止和避免解題錯(cuò)誤是提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績的有效方法.文章結(jié)合波利亞的解題步驟討論了高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤，并對(duì)其原因進(jìn)行了深入分析，最后提出應(yīng)對(duì)的策略．

解題錯(cuò)誤；理解；方法；過程；反思

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》中，把數(shù)學(xué)問題解題步驟分為四個(gè)環(huán)節(jié)，第一，讀清楚題意；第二，題目給出的已知條件之間的聯(lián)系，已知條件和要求的問題之間又有什么關(guān)系，確定解題的方法；第三，根據(jù)解題方法進(jìn)入解題過程環(huán)節(jié)；第四，回顧與檢查所完成的解題過程，確保答案的正確．結(jié)合高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的實(shí)際情況，在數(shù)學(xué)解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤大體分為四類：題意理解的錯(cuò)誤、解題方法的錯(cuò)誤、解題過程的錯(cuò)誤、檢查與反思的錯(cuò)誤．

一、題意理解的錯(cuò)誤

不理解題意是目前高中生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的一個(gè)重要原因，主要包括概念的理解錯(cuò)誤，忽視了公式、定理、法則成立的條件；隱含條件的挖掘不充分．

1.概念理解錯(cuò)誤

概念本身比較抽象，若不進(jìn)行深入學(xué)習(xí)和正反例的對(duì)比，不理解本質(zhì)很容易犯錯(cuò)．

2.忽視了公式、定理、法則成立的條件

如果在學(xué)習(xí)公式、定理、法則時(shí)，只是把公式死記住而沒有真正理解本質(zhì)，就容易忽視它們成立的條件．

3.隱含條件的挖掘不充分

隱含條件通常涵蓋在某個(gè)數(shù)學(xué)概念中，有時(shí)隱含在幾何圖形的特殊位置上，有時(shí)隱含在知識(shí)間的聯(lián)系中．在解題的過程中，不把隱含條件全部挖掘出來，很容易導(dǎo)致解題出錯(cuò)．

在本例中有一個(gè)隱含條件：方程有兩根，這就要求Δ≥0．沒有挖掘到這一條件，就很容易給出錯(cuò)誤的答案．

二、解題方法的錯(cuò)誤

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，找到解題的策略對(duì)于快速準(zhǔn)確的解題來說是最重要也是最困難的一步．選定解題方法是解答題目過程中的重要環(huán)節(jié)，它關(guān)系到整個(gè)問題解決的成敗.常見的解題方法錯(cuò)誤類型有：分類討論不當(dāng)，類比不當(dāng)，不善于從整體解答，缺乏“正難則反”策略．

1.分類討論不當(dāng)

分類不當(dāng)，常常表現(xiàn)為以偏概全，忽略特例，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．

例4 有11個(gè)工人，其中5個(gè)青年工人是鉗工，另有4個(gè)青年工人是車工，還有兩個(gè)師傅既能當(dāng)鉗工，也能當(dāng)車工，現(xiàn)在要在這11個(gè)工人里選4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)器，問有多少種選派方法？

在本題中，有同學(xué)做了如下分類：(1)兩個(gè)師傅都作鉗工；(2)兩個(gè)老師傅都當(dāng)車工；(3)兩個(gè)老師傅中，一人作鉗工，另一人作車工．但是三種情況不是相互獨(dú)立的，而是既有重復(fù)部分，也有遺漏部分．由于偶然的巧合，一重一漏卻使結(jié)果與正確解法的結(jié)果相同，但這不能說明解法是正確的．正確的分法應(yīng)該是(1)兩個(gè)師傅都不在內(nèi)；(2)兩個(gè)老師傅都當(dāng)車工；(3)兩個(gè)老師傅都當(dāng)鉗工；(4)兩個(gè)老師傅中，一人當(dāng)鉗工，另一人當(dāng)車工；(5)兩個(gè)老師傅中，一人當(dāng)鉗工，另一人不參加選派；(6)兩個(gè)老師傅中，一人當(dāng)車工，另一人不參加選派．

2.類比不當(dāng).

在數(shù)學(xué)解題中，由兩種知識(shí)或技能的某些相似，推出他們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式就是類比．恰當(dāng)?shù)念惐瓤梢院喕瘑栴}，而不恰當(dāng)?shù)念惐韧鶗?huì)產(chǎn)生解的錯(cuò)漏．

一些同學(xué)看到題目馬上會(huì)想到通過求導(dǎo)得到曲線在某點(diǎn)處的切線斜率．但卻犯了一個(gè)類比上的錯(cuò)誤：在某點(diǎn)處的切線方程不同于過某點(diǎn)的切線方程，在某點(diǎn)處的切線方程切點(diǎn)就是該點(diǎn)，切線僅有一條；但過某點(diǎn)的切線方程切點(diǎn)不一定是該點(diǎn)，方程也不一定只有一條．

3.不善于從整體解答

有的數(shù)學(xué)題，從整體才能看出問題的全貌，才能更深刻地分析問題的特征．考慮從整體解題是從全方面思考問題的一種指導(dǎo)思想，重點(diǎn)在于整體把握，不僅僅是局限于細(xì)節(jié)方面，這樣可以排除次要因素的干擾．而部分學(xué)生往往習(xí)慣性地從局部出發(fā)，而不善于從整體考慮，從而使問題復(fù)雜化，而且可能解答不出問題，也會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．

代入上式，得M=194.

4.缺乏“正難則反”的策略

一些數(shù)學(xué)問題，從正面解決不容易，可以從反面去思考.當(dāng)用直接求解法解答不出時(shí)，就采用間接求解法;當(dāng)問題從正面證明不了，則采用反證法.這種對(duì)數(shù)學(xué)問題正面解答有困難反過來從反面尋求答案的方法就是“正難則反”的策略．

本題如果從正面，設(shè)h1,h2,h3的判別式Δ1,Δ2,Δ3，這樣由已知條件會(huì)有七中情況，運(yùn)算量很大，計(jì)算非常困難．但若是從反面考慮，即考慮h1,h2,h3的圖象中沒一個(gè)與x軸相交，這樣就只有一種情況：

最后就可以知道題目的答案為n≤1．

三、解題過程錯(cuò)誤

解題過程是在找到解題策略之后重要的一步，通過表述解題過程再次檢驗(yàn)解題方法正確性.如果解題可以順利完成，說明解題方法是正確的；如果不能解出題目，或解題過程困難很大，說明解題方法不完善或者有問題，這時(shí)就要重新思考解題方法，選擇合理的方法來解，這個(gè)過程需要多次重復(fù)才可以完成．解題過程中常見的錯(cuò)誤有：不等價(jià)轉(zhuǎn)換，循環(huán)論證．

1.不等價(jià)轉(zhuǎn)換

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，需要將問題的已知條件加以轉(zhuǎn)換．這個(gè)轉(zhuǎn)換必須是已知條件的充要條件，用已知條件的充分條件代替已知條件，就可能出現(xiàn)失解；而用已知條件的必要條件代替已知條件，就有可能產(chǎn)生增解．

這道題有同學(xué)是這么做的：

①

②

可是最顯然取x=0符合解集的要求，卻不能使原題不等式成立.產(chǎn)生錯(cuò)誤的根源是能使①式成立的x必然能使②式成立，但能使②式成立的x卻不一定能使①式成立，二者是不等價(jià)轉(zhuǎn)換.

2.循環(huán)論證

在證明題中，論題由論據(jù)來推出，如果論據(jù)又由論題本身推出，這實(shí)際上就是論題由論題本身推出，稱為循環(huán)論證．一個(gè)循環(huán)論證并沒有真正完成要證明的論題．

例8 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b．證明：a2+b2=c2．

如果設(shè)a=csinA，b=ccosA，

由sin2A+cos2A=1

得a2+b2=c2sin2A+c2cos2A=c2，

即證a2+b2=c2．

這樣的證明是有問題的，sin2A+cos2A=1這一結(jié)論成立的條件就是勾股定理的一種特殊情況，把它當(dāng)成了已知條件來使用，最終導(dǎo)致了循環(huán)論證的錯(cuò)誤．

四、檢查與反思的錯(cuò)誤

把數(shù)學(xué)題解答完后進(jìn)一步的檢查與反思是確認(rèn)答案正確的一種方案，也是解題過程中必不可少的步驟．做完題目的檢查是數(shù)學(xué)解題整個(gè)過程的最后一步，這一步對(duì)于數(shù)學(xué)解題來說也是很關(guān)鍵的．由于在審題、解題、表述的過程中，難免會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，所以結(jié)果不一定就是正確答案，為了確保最后答案的準(zhǔn)確，則需要我們做完題目時(shí)進(jìn)行檢查，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，改正錯(cuò)誤．在數(shù)學(xué)解題中，由于不注重檢驗(yàn)，功虧一簣的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，它要求我們要時(shí)刻注意檢查，千萬不要掉以輕心．比起審題和解題方法的確定，檢查的環(huán)節(jié)是很多學(xué)生最不關(guān)注的，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)固定下來，是一個(gè)有遠(yuǎn)見的做法．

有些同學(xué)是這樣做的：

方程兩邊乘以x(x-2)消去分母，得(x-2)+3x=-2，

從而解得x=0．

可是如果把x=0代入原方程驗(yàn)證就會(huì)發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)：x=0不能做分母，該方程無解．

避免或減少數(shù)學(xué)解題過程中錯(cuò)誤的發(fā)生是老師和學(xué)生共同的目標(biāo)．而有效地控制錯(cuò)誤，減少錯(cuò)誤的策略可提高數(shù)學(xué)解題的能力.面對(duì)學(xué)生可能犯的形形色色的錯(cuò)誤，教師要能正確看待，不要一味地批評(píng)和指責(zé)，須知“失敗乃成功之母”．更要從學(xué)生的解題錯(cuò)誤反省自己的教學(xué)．通常，容易出錯(cuò)的地方都是各章節(jié)的教學(xué)重難點(diǎn)和關(guān)鍵之處，教師應(yīng)深入剖析出錯(cuò)的原因．只有找出錯(cuò)誤的根源，才能讓學(xué)生進(jìn)一步去學(xué)習(xí)新知識(shí)．發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題的錯(cuò)誤時(shí)，老師不要急著去糾正，可以帶著學(xué)生一起尋找錯(cuò)誤的根源．在必要的時(shí)候，可以結(jié)合學(xué)生所犯的錯(cuò)誤，搜集一些類似的題目，舉一反三，讓學(xué)生針對(duì)所犯的錯(cuò)誤加以練習(xí)，讓學(xué)生從正、反兩方面比較，深刻理解，減少或者避免類似錯(cuò)誤的出現(xiàn)，達(dá)到糾錯(cuò)的目的．還可以針對(duì)學(xué)生常犯的錯(cuò)誤，在課堂上設(shè)置糾錯(cuò)情境，引起學(xué)生注意.引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，尋找改錯(cuò)的“良藥”，在知錯(cuò)中改，改錯(cuò)中防，以彌補(bǔ)學(xué)生在知識(shí)上的不足和思維上的缺陷，增加解題的準(zhǔn)確性，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而提高數(shù)學(xué)解題能力．也可以利用學(xué)生的作業(yè)、課堂練習(xí)、口頭回答問題中常見的錯(cuò)誤，設(shè)計(jì)引起爭論的問題或者創(chuàng)設(shè)一些處于學(xué)生模糊觀念之間的糾錯(cuò)情境，這樣既能與學(xué)生的實(shí)際緊密結(jié)合又能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生主動(dòng)思考．

對(duì)于學(xué)生的解題錯(cuò)誤，我們要防，要避．如果避不開，也要充分發(fā)揮教師自身的教育機(jī)智，對(duì)錯(cuò)誤的合理性加以利用，盡可能去發(fā)現(xiàn)學(xué)生在錯(cuò)題中的閃光點(diǎn)，因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生尋找錯(cuò)誤的根源，激發(fā)他們解題的興趣，讓他們感受成功之后的喜悅，從而提高學(xué)習(xí)的積極性．

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