李紅玲●

提煉結(jié)論創(chuàng)新應(yīng)用
——圓錐曲線中弦的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系的探究

湖北省孝感市湖北航天高級中學(xué)(432100)

李紅玲●

圓錐曲線是高考的重要考點(diǎn)之一，盡管教材和教學(xué)大綱主要強(qiáng)調(diào)的是通性通法，但由于圓錐曲線問題按通性通法處理往往運(yùn)算量較大，過程繁瑣，不易算對，所以根據(jù)圓錐曲線的常見問題總結(jié)反思，適當(dāng)提煉一些實(shí)用的結(jié)論，可大大簡化過程、減小運(yùn)算量，特別是解選擇填空題，運(yùn)用這些結(jié)論解題可取得事半功倍的效果.下面根據(jù)圓錐曲線的常見問題探究弦的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，提煉出幾個結(jié)論供大家參考.

結(jié)論1 若直線l：y=kx+m(m≠0)與曲線(橢圓或雙曲線)Ax2+By2=1相交于P、Q兩點(diǎn),弦PQ的中點(diǎn)為M(xm,ym)，則弦的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)有如下關(guān)系：

A(x1+x2)(x1-x2)+B(y1+y2)(y1-y2)=0，即2Axm(x1-x2)+2Bym(y1-y2)=0.

當(dāng)ym=0時，若x1=x2，則PQ⊥x軸，kPQ不存在，與條件不符，故x1≠x2，則xm=0，直線l過原點(diǎn)，m=0，這與條件“m≠0”矛盾，從而ym≠0.所以

在結(jié)論1中，為了使結(jié)論簡潔、統(tǒng)一好記，使用了橢圓和雙曲線的統(tǒng)一方程Ax2+By2=1，而不是用a,b表示的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中當(dāng)A>0,B>0，且A≠B時，方程表示橢圓，當(dāng)AB<0時表示雙曲線，故結(jié)論1對中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓和雙曲線均可使用，結(jié)論2對于拋物線的四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程都可以使用.使用這些結(jié)論解決圓錐曲線中與中點(diǎn)弦相關(guān)的問題比傳統(tǒng)方法要簡便快捷，下面舉例說明這些結(jié)論的應(yīng)用.

應(yīng)用1 求圓錐曲線被某點(diǎn)平分的弦所在直線方程

例2 求拋物線y2=4x被點(diǎn)(2,1)平分的弦所在直線的方程.

應(yīng)用2 求圓錐曲線中平行弦中點(diǎn)的軌跡

例4 求拋物線x2=4y中斜率為1的平行弦中點(diǎn)的軌跡.

應(yīng)用3 已知圓錐曲線的弦被某點(diǎn)平分，求圓錐曲線的方程

事實(shí)上，提煉結(jié)論并靈活運(yùn)用是把常規(guī)方法中的很多繁瑣而重復(fù)的過程加以省略.從而提高解題效率的一種有效做法，也是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)并品嘗研究成果的一種很好的方式.

G632

B

1008-0333(2017)01-0048-01