廣東省湛江一中培才學(xué)校(524000)

劉倩倩●

化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524000)

劉倩倩●

通常在處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，總的指導(dǎo)思想就是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問(wèn)題，這就是化歸思想.化歸思想方法是數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的一種基本思想方法.本文將通過(guò)幾道例題，具體說(shuō)明化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

化歸思想；數(shù)學(xué)；應(yīng)用

教學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)知識(shí)，又高于教學(xué)知識(shí)的一種隱形教學(xué)知識(shí)，回顧我們處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程和經(jīng)驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們常常將待解決的陌生問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個(gè)比教熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，這就是化歸[1].

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，若能有效運(yùn)用化歸思想，將使復(fù)雜問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，降低解題難度.下面將舉例說(shuō)明化歸在解題中的具體應(yīng)用.

一、引入未知量，轉(zhuǎn)化為方程求解

例1 雞兔同籠，共有頭30個(gè)，足86只，求雞兔各有多少只.

這是關(guān)于雞兔同籠的問(wèn)題，它還有很多同類型變式，比如：在一個(gè)停車場(chǎng)上，停了汽車和摩托車一共32輛.其中汽車有4個(gè)輪子，摩托車有3個(gè)輪子，總共有108個(gè)輪子，問(wèn)汽車和摩托車各多少輛等等諸如此類的應(yīng)用題.

這類問(wèn)題是小學(xué)中常出現(xiàn)的問(wèn)題，也是小學(xué)生較難理解的問(wèn)題之一.教師要想對(duì)小學(xué)生講解清楚，也頗為復(fù)雜.但如果稍稍引入未知量，設(shè)雞x只，用(30-x)表示兔容易理解多了.根據(jù)題意列出方程組，將原命題轉(zhuǎn)化為方程組求解，會(huì)讓問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單.

二、巧設(shè)編碼，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為符號(hào)

例2 有200名同學(xué)到禮堂開會(huì)，禮堂前的臺(tái)階共8階，這些同學(xué)每次邁1階或2階.走完這段臺(tái)階，至少有多少同學(xué)邁的情況完全相同？

初看此題，學(xué)生會(huì)覺得很復(fù)雜，以致無(wú)從下手，即使有的同學(xué)能想到是排列組合問(wèn)題，卻也苦于沒(méi)有組合模型.這時(shí)，就需要啟用化歸思想了，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的事物或模型了，從題中可分析：“每次邁1階或則邁2階”，那么邁2階時(shí)則必有1階是踏空的，不難想到，這與計(jì)算機(jī)的編碼是類似的，于是，我們可將其符號(hào)化為：記踏著的臺(tái)階為1，否則為0；如：某同學(xué)每次邁2階，則記為：01010101.那么，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的排列組合模型了.

可見，引入符號(hào)化，有效利用化歸思想，將大大降低問(wèn)題的難度，同時(shí)有助于學(xué)生理解與記憶，為后續(xù)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)打下基礎(chǔ).

三、引入函數(shù)表達(dá)，巧解不等式

例3 解不等式：x3-6x2+3x+10>0.

關(guān)于不等式，初等數(shù)學(xué)中的解題方法大多是移項(xiàng)或分解等，而常規(guī)方法對(duì)于此題卻比較麻煩，如果引入函數(shù)表達(dá)式，令y1=x3，y2=6x2-3x-10，則將此題轉(zhuǎn)化為求y1>y2的x取值范圍，問(wèn)題便好解了.

當(dāng)然，關(guān)于引入函數(shù)表達(dá)式的妙用，在解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)將能更好的凸顯出來(lái).這里就不再另外舉例了.

四、構(gòu)造已知公式，簡(jiǎn)化證明題

例4 設(shè)x、y、z∈R，且x+y+z=1，求證x2+y2+z2≥1/3.

對(duì)于這種題型，通常難以直接入手，而如果對(duì)柯西不等式較為熟悉，那么就可以通過(guò)構(gòu)造公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為柯西不等式的變式.

具體到該題，則由柯西不等式的推論：[(a1+a2+…+an)/n]2≤(a12+a22+…+an2) /n(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等式成立)可知：

(x2+y2+z2)/3≥[(x+y+z)/3]2，因?yàn)閤+y+z=1，所以(x2+y2+z2)/3≥1/9，化簡(jiǎn)即得原命題.

不僅在做證明題如此，在運(yùn)算時(shí)更是如此.如等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式等，就大大簡(jiǎn)便了相關(guān)運(yùn)算.因此，如果熟知各類公式，對(duì)于解題是非常有幫助的.

五、通過(guò)語(yǔ)義轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

化歸將復(fù)雜問(wèn)題與簡(jiǎn)單問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化，將初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合，透過(guò)表象透析本質(zhì)，形成有價(jià)值的解題思路，從數(shù)學(xué)角度，它體現(xiàn)一種基本的數(shù)學(xué)思路，從教師角度它體現(xiàn)了一種有效的教學(xué)方法，從學(xué)生角度它培養(yǎng)了學(xué)生的解題能力和思維能力，有助于將初高等數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用.

教師在教學(xué)教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)滲透、介紹、強(qiáng)調(diào)等不同方式，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)這一思想方法.同時(shí)，教師還需要不斷提高自我水平.只有自己融會(huì)貫通各種數(shù)學(xué)思想方法，才能言簡(jiǎn)意賅地傳授給學(xué)生，幫助學(xué)生打開數(shù)學(xué)思維殿堂的大門.

[1] 錢佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.

[2]任文龍,王奇,李慧.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)不等式[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(5)：51-52.

[3]張奠宙，鄒一心.現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社,1990.

[4]李莉，李永杰.中學(xué)代數(shù)研究與教學(xué)[M].鄭州：鄭州大學(xué)出版社，2007.

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