成都市第二十中學(xué)校高2017屆08班(610036)

唐芯瑤●

假設(shè)法和構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)解題法在L型函數(shù)中的應(yīng)用

成都市第二十中學(xué)校高2017屆08班(610036)

唐芯瑤●

構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)解題方法是2016新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ所出現(xiàn)新題型的主要解題方法，也是多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者解決問(wèn)題的思路方法.本文通過(guò)高考的新題型，重點(diǎn)對(duì)假設(shè)法和構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)解題法在函數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行剖析.

構(gòu)造；對(duì)稱(chēng)；翻折；函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，會(huì)運(yùn)用所學(xué)習(xí)的有限知識(shí)解數(shù)學(xué)問(wèn)題是其關(guān)鍵內(nèi)容.當(dāng)我們使用正確的方法、多種的解題思路，可以使問(wèn)題很快圓滿(mǎn)的解決；相反，我們使用方法不當(dāng)，思路單一，就會(huì)影響解題的速度和效果.現(xiàn)在對(duì)高考出現(xiàn)的一種新題型進(jìn)行探討，運(yùn)用假設(shè)法和構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)的方法在來(lái)解決函數(shù)的取值問(wèn)題和函數(shù)零點(diǎn)之和不等式應(yīng)用問(wèn)題.

例題 (2016·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

解 (1)求得f′(x)=(x-1)ex+2a),x∈R.

(注：任意題目均不可忽略定義域，否則在某些題目中可能難度出現(xiàn)難度倍增；我們常常所說(shuō)的求函數(shù)——實(shí)際是包含了解析式與定義域兩部分)

1°當(dāng)a>0時(shí)：x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

x∈(-∞,1)時(shí)，f′(x)<0,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減.

∴f(x)min=f(1)=-e.

由零點(diǎn)存在性定理得：a>0時(shí)，f(x)在R上必定存在兩個(gè)零點(diǎn)，故a>0時(shí)成立.

2°當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x-2)ex,f′(x)=(x-1)e

令f′(x)=0得x=1(故函數(shù)單調(diào)性同1°)

由零點(diǎn)存在性定理得：a=0時(shí)，f(x)在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故a=0時(shí)不成立.

由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

由f(1)=-e，而f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，只能f(ln(-2a))=0，此方程無(wú)解.

綜上所述：a≥0(此類(lèi)問(wèn)題用極限法討論較為簡(jiǎn)便，相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)答案)

(2)由(1)知：

當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,不妨令x1<1

x1≥0時(shí)，f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2;設(shè)f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)函數(shù)為g(x)=f(2-x)=-ex+a(1-x)2(x≤1).

(注：設(shè)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，因?yàn)檫@樣我們就可以將一個(gè)零點(diǎn)翻折到另一邊作比較.相當(dāng)于比較原函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)的增長(zhǎng)率，實(shí)則是左側(cè)增長(zhǎng)的比右側(cè)慢，但是這個(gè)問(wèn)題過(guò)于抽象，因此我們構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱(chēng)函數(shù)來(lái)說(shuō)明，無(wú)非就是左側(cè)零點(diǎn)關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所取得的函數(shù)值比右側(cè)零點(diǎn)大)

令u(x)=g(x)-f(x),(x≤1)

?u(x)=-ex+a(1-x)2-(x-2)ex-a(x-1)2

?u(x)=(1-x)ex≥0

∴x≤1時(shí)，g(x)>f(x),∴g(2-x2)>f(2-x2).

而g(2-x2)=f(x2)=f(x1),

∴f(x1)>f(2-x2),又∵f(x)在(-∞,1)上為單調(diào)遞減

∴x1

已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且x2e1x2+x2>2x2x1+x2<2x0(此類(lèi)題目遇見(jiàn)時(shí)應(yīng)先將參數(shù)分離出來(lái)然后再單獨(dú)翻折函數(shù)證明，將參數(shù)看作一條平行于x軸的直線(xiàn)與分離的新函數(shù)相交證明，往往新函數(shù)的極值點(diǎn)是突破題目的關(guān)鍵).

評(píng)注 觀察2016年課標(biāo)Ⅰ卷的標(biāo)準(zhǔn)答案，大家可能看的似乎一頭霧水，實(shí)則這是一種構(gòu)造了對(duì)稱(chēng)函數(shù)的翻折證明，這類(lèi)證明問(wèn)題的通法便是這樣.追求簡(jiǎn)易是的數(shù)學(xué)的魅力所在，而不在于追求難度和復(fù)雜度.我們今天應(yīng)用的假設(shè)法和構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)的方法，正是高考數(shù)學(xué)用所體現(xiàn)的追求簡(jiǎn)易，注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)的本原.在例題中應(yīng)用了函數(shù)的單調(diào)性，假設(shè)法，構(gòu)造函數(shù)法，簡(jiǎn)易的說(shuō)我們可以給他一個(gè)親切的名字:翻折證明法，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)也淺顯易懂.

[1]黃加衛(wèi).給數(shù)學(xué)構(gòu)造性解題方法提個(gè)醒[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)研究，2006，4：26-28.

[2] 薛金星.怎樣解題[M].北京: 北京少年兒童出版社,2003.

[3] 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2001.

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