福建省龍海第一中學新校區(qū)(363100)

蘇藝偉●

向量的極化公式在解題中的應用

福建省龍海第一中學新校區(qū)(363100)

蘇藝偉●

向量是高中數(shù)學一個非常重要的內(nèi)容,它集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性,又有幾何的直觀性,是形象思維與抽象思維的有機結(jié)合.近幾年來,在新課程的引領下,各省市高考試題涌現(xiàn)了一些以向量為背景的好題,有些省市甚至是以向量為突破口來實現(xiàn)高考試題命制的創(chuàng)新.它們以向量的線性運算以及數(shù)量積運算為載體,綜合考查學生的運算求解能力,推理論證能力,以此做為壓軸試題來提高考生的區(qū)分度.

基于上述原因,除了掌握向量的基本運算之外,還有必要掌握向量中一些常見的解題方法,比如向量的極化恒等式(平面向量的積化和差公式).本文介紹向量的極化恒等式及其相關應用.

進一步,如果將該公式運用在三角形中,則如圖(1)所示,△ABC中,

該公式將向量的數(shù)量積與和中點相關的線段聯(lián)系起來,在解決一些向量試題時能更多地從幾何的角度分析,大大減少計算量,凸出體現(xiàn)了多思少算,彰顯思維品質(zhì).

例1 2013年浙江高考理科

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

評析 該題新穎別致,獨具匠心,是一道以數(shù)量積為載體的恒成立問題,最終轉(zhuǎn)化為考查判斷三角形的形狀.觀察到△PBC和△P0BC始終有公共邊BC,因此利用向量的極化公式可以輕松求解.

評析 該題以三角形為載體考查向量的相關運算,觀察到題目條件“D是BC的中點”,容易聯(lián)想到向量的極化公式.

解析 設BD=DC=m,AE=EF=FD=n,則AD=3n.

根據(jù)向量的極化公式,有

評析 該題延續(xù)2013年的命題風格,試題簡短卻內(nèi)涵豐富.它仍然是以數(shù)量積為載體的恒成立問題,將向量與不等式,求最值結(jié)合在一起,要求考生具備較強的邏輯思維能力,推理論證能力,真正起到了壓軸的作用.考生需要在腦海中搜索最本源的知識,綜合運用所學方能求解.

評析 該題面目溫和,平易近人,入口寬,可以有不同的思考方式,如坐標法,基底法等等.本文利用向量的極化公式求解,別有一番風味.

解析 如圖5所示,取AB中點E,連接EP交AD于F.

根據(jù)向量的極化公式有

縱觀以上解題過程,可以發(fā)現(xiàn)向量的極化公式確實在解決向量的某些壓軸試題中起到了不可替代的重要作用.實際上,向量的極化公式是向量回路法的一種特殊情況,也是利用了向量的幾何屬性,將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的平面幾何問題.

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