云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

蘇保明●

例說(shuō)求參數(shù)取值范圍的六種方法

云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

蘇保明●

眾所周知，由于導(dǎo)數(shù)的引入，為我們研究函數(shù)的性質(zhì)及求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題添增了強(qiáng)有力的解決工具，而運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中恒成立問(wèn)題是非常有效的方法.其中利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是近年來(lái)新課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.本文舉例剖析求參數(shù)取值范圍的六種方法，供參考.

方法一 構(gòu)造差函數(shù)

當(dāng)a>0時(shí)，若對(duì)?x∈(1,e)，f(x)>x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 可知：不等式f(x)-x>0在(1,e)恒成立.

當(dāng)0

因?yàn)閔(e)=a+1-e<0不符合題意，所以0

當(dāng)10在(1,e)恒成立，所以h(e)≥0,即a≥e-1,所以e-1≤a

當(dāng)a≥e時(shí)，因?yàn)?0,所以函數(shù)h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)=0符合題.

綜合上述可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e-1,+∞).

評(píng)注 構(gòu)造差函數(shù)是解決恒成立問(wèn)題的一般方法.此題需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，因?yàn)樗o區(qū)間(1,e)的端點(diǎn)1和e把定義域(0,+∞)分為三段，所以參數(shù)a需要分a≤1、1

方法二 分離參數(shù)后構(gòu)造新函數(shù)

方法三 變形后構(gòu)造新函數(shù)

若對(duì)任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)

評(píng)注 此題需要把f(x1)-f(x2)

方法四 分離最值與參數(shù)后構(gòu)造新函數(shù)

則h′(x)=1-x-2xlnx，顯然h′(1)=0.

所以，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h(x)取得最大值h(1)=1，

方法五 商式變差后構(gòu)造新函數(shù)

評(píng)注 上述“漂亮”解法簡(jiǎn)潔易懂，其最大優(yōu)勢(shì)就在于避開(kāi)了對(duì)待定系數(shù)a的分情況討論，減少了復(fù)雜的運(yùn)算.此法是通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，并通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，進(jìn)而巧妙地求出參數(shù)的取值范圍，其中構(gòu)造新函數(shù)g(x)=lnx-x+1是解決本題的關(guān)鍵所在.要正確構(gòu)造新函數(shù)g(x)=lnx-x+1，這是以“當(dāng)x>1時(shí)，x-1>lnx>0”為依據(jù),否則此題的“漂亮”解就不存在了.因此在平時(shí)的解題過(guò)程中必須有意識(shí)地記下一些常用而不能直接用的結(jié)論，如(1)當(dāng)x≥1時(shí)，x-1≥lnx≥0;(2)當(dāng)x∈R時(shí)，ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)x=0取等號(hào))，等等，才能在解題中靈活運(yùn)用，從而找到解決問(wèn)題的最佳方法.

方法六 二階導(dǎo)數(shù)法

若對(duì)任意x≥0都有f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 可得f′(x)=ex-a-x，f″(x)=ex-1.

令f″(x)=0，則x=0，

當(dāng)x≥0時(shí)，f″(x)=ex-1≥0，所以f′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥f′(0)=e0-a-0=1-a.

(1)當(dāng)a≤1時(shí)，f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)=0，符合題意；

(2)當(dāng)a>1即1-a<0時(shí)，存在x0∈[0,+∞)，使f′(x)=0，即當(dāng)0≤x1應(yīng)舍去.

綜合上述可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].

評(píng)注 若對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后，不能較清晰、快速的判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，難以判斷函數(shù)的單調(diào)性，則應(yīng)繼續(xù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)研究一階導(dǎo)數(shù).此題因?qū)(x)求導(dǎo)后不能判斷導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex-a-x的符號(hào)，故應(yīng)對(duì)導(dǎo)函數(shù)f′(x)再進(jìn)行求導(dǎo)，并通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再利用一階導(dǎo)數(shù)的最值可知符號(hào)，進(jìn)而判斷原函數(shù)的單調(diào)性，使問(wèn)題得到圓滿解決.因此利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)有時(shí)會(huì)呈現(xiàn)出柳暗花明的局面，從而達(dá)到事半功倍的解題效果.

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