浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)新登中學(xué)(311404)

陳國(guó)清●

問(wèn)渠那得清如許為有源頭活水來(lái)
——由課本例題探究有心圓錐曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用

浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)新登中學(xué)(311404)

陳國(guó)清●

一、例題展現(xiàn)

圖1

人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第41頁(yè)例3

二、引申探究

探究1 斜率之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡及常數(shù)與離心率的關(guān)系

探究 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，兩定點(diǎn)A1(-a,0)、A2(a,0)，直線PA1、PA2的斜率之積k1·k2=t，求點(diǎn)P的軌跡，并探究t與離心率e之間的關(guān)系．

1°若t=0，方程為y=0(x≠±a)，點(diǎn)P的軌跡為x軸(不包括A1、A2)．

1若t>0，點(diǎn)P的軌跡是以A1A2為實(shí)軸的雙曲線(不包括A1、A2)；

②若-1

③若t=-1，點(diǎn)P的軌跡是以A1A2為直徑的圓(不包括A1、A2)；

∵圓的離心率e=0，∴t=e2-1．

④若t<-1，點(diǎn)P的軌跡是以A1A2為短軸的橢圓(不包括A1、A2)；

因此，平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為常數(shù)t的點(diǎn)的軌跡不一定是橢圓，但當(dāng)t≠0時(shí)，它們同為有心圓錐曲線．

結(jié)論1 當(dāng)t=-1時(shí)為圓；當(dāng)t<0且t≠-1時(shí)為橢圓；當(dāng)t>0時(shí)為雙曲線．

探究2 圓的性質(zhì)推廣到其他有心圓錐曲線

圓具有以下性質(zhì)：

(1) 如圖2，過(guò)圓心的直線l與圓交于A、B兩點(diǎn)，P為圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，則PA⊥PB,即kPA·kPB=-1；

(2)如圖3，經(jīng)過(guò)弦中點(diǎn)的半徑OP與弦AB垂直，即kAB·kOP=-1；

(3)如圖4，過(guò)圓上任一點(diǎn)P引切線l，則OP⊥l，即kOP·kl=-1．

探究 橢圓、雙曲線與圓同為有心圓錐曲線，是否具備類似性質(zhì)？下面以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例探究．

證明 設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(-x1,-y1)，∵點(diǎn)A、P在橢圓C上，

證明 設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

以上是焦點(diǎn)在x軸上的有心圓錐曲線，焦點(diǎn)在y軸上的有心圓錐曲線與此相似，不過(guò)此時(shí)結(jié)論為斜率倒數(shù)之積等于e2-1．

三、高考應(yīng)用

證明 設(shè)P(x1,y1)，B(x2,y2)，則A(-x1,-y1)，C(x1,0)．

∴kPA·kPB=2kAB·kPB=-1，故PA⊥PB.

點(diǎn)評(píng) 此題考查斜率的求法，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，難度較大．但如果了解了有心圓錐曲線的性質(zhì)，題目便變得迎刃而解．

已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)．

∵點(diǎn)P在第一象限，且k<0，

點(diǎn)評(píng) 此題如果聯(lián)立方程利用Δ=0當(dāng)然也可以做，但是計(jì)算量很大，用時(shí)較長(zhǎng)；而利用橢圓性質(zhì)，則簡(jiǎn)直可以秒殺．對(duì)于分秒必爭(zhēng)的高考而言，哪種方法更好不言而喻．

四、總結(jié)啟迪

通過(guò)課本例題探究有心圓錐曲線的性質(zhì)，并利用性質(zhì)解決高考題，我們可以從中得到以下啟示：

1.對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生去探究方法的巧思妙解，更要引導(dǎo)學(xué)生探討問(wèn)題所蘊(yùn)含的的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓題目會(huì)“說(shuō)話”．例題課堂教學(xué)中不斷變換角度，盡量發(fā)揮例題的輻射作用，是激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種重要途徑．對(duì)例題進(jìn)行引申探究，以期構(gòu)建動(dòng)態(tài)生成，繼而挖掘其潛在的智能訓(xùn)練因素：或啟迪思路，提煉方法；或引申問(wèn)題，豐富內(nèi)涵；或串聯(lián)知識(shí)，擴(kuò)大成果，從而彰顯我們的數(shù)學(xué)智慧．

2.課本是最重要的教學(xué)資源，課本中的例、習(xí)題是編者依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)精心挑選且具有代表性的問(wèn)題，是問(wèn)題中的精華，也頗受高考命題專家的青睞，所以說(shuō)教材是高考命題的源頭．面對(duì)高考，我們不僅要研究考試說(shuō)明，更要重視教材，深入研究教材，挖掘題根，徹底了解問(wèn)題的本質(zhì),這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，在高考中做到問(wèn)渠那得清如許，為有源頭活水來(lái)．

[1]蘇立標(biāo). 落霞與孤鶩齊飛 秋水共長(zhǎng)天一色——2012浙江高考解析幾何試題的本源探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上)，2012(9).

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