廣東省惠州市華羅庚中學(xué)(516000)

王健發(fā)●

用“分離函數(shù)法”求參數(shù)取值范圍

廣東省惠州市華羅庚中學(xué)(516000)

王健發(fā)●

本文從參變分離、分離一次函數(shù)、分離二次函數(shù)、分離指數(shù)函數(shù)、分離對(duì)數(shù)函數(shù)五種角度來求參數(shù)取值范圍.

一、參變分離

評(píng)注 分離參數(shù), 利用“a≥f(x)在x∈D上恒成立, 則a≥[f(x)]max(x∈D);a≤f(x)在x∈D上恒成立, 則a≤[f(x)]min(x∈D)”.

二、分離一次函數(shù)

例2 已知函數(shù)f(x)=ex-kx,k∈R, 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 若k>0, 且對(duì)于任意的x∈R,f(|x|)>0恒成立, 試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解 因?yàn)楹瘮?shù)y=f(|x|)為偶函數(shù), 所以對(duì)于任意的x∈R,f(|x|)>0恒成立等價(jià)于f(x)>0對(duì)任意的x≥0恒成立, 即曲線y=ex位于直線y=kx的上方.

由導(dǎo)數(shù)法可知, 曲線y=ex過點(diǎn)O(0,0)的切線方程為y=ex, 所以k0, 得實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,e).

評(píng)注 分離一次函數(shù), 轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線與曲線相切, 利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率, 從而達(dá)到求參數(shù)取值范圍.

三、分離二次函數(shù)

例3 已知函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥0恒成立等價(jià)于ax2≤ex-1-x在區(qū)間(0,+∞)恒成立.

令y1=ax2,y2=ex-1-x, 即當(dāng)x>0時(shí), 函數(shù)y2=ex-1-x的圖形恒在y=ax2的圖形及上方.

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),y2′=ex-1>0, 所以函數(shù)y2=ex-1-x在(0,+∞)單調(diào)遞增.

評(píng)注 通過分離二次函數(shù), 考慮為二次函數(shù)的圖形與另一函數(shù)圖象的位置關(guān)系, 再利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍.

四、分離對(duì)數(shù)函數(shù)

設(shè)h(x)=x2+(2-4a)x+1,Δ=(2-4)a2-4=16a(a-1).

(1)若a∈(0,1], 則Δ≤0,h(x)≥0,g′(x)≥0,所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增, 又g(1)=0, 所以g(x)

(2)若a∈(1,+∞), 則Δ>0,h(0)=1>0,h(1)=4(1-a)<0, 所以存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0, 對(duì)任意x∈(x0,1),h(x)<0,g′(x)<0. 則g(x)在(x0,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 又g(1)=0, 所以當(dāng)x∈(x0,1),g(x)>0, 不合要求.

綜合(1)(2)可知a的取值范圍是(0,1].

五、分離指數(shù)函數(shù)

例5 已知方程xex=x+2在區(qū)間[k,k+1]上有解, 求整數(shù)k的值.

評(píng)注 對(duì)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等比較復(fù)雜的函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)的積或商，有些通過分離參數(shù)之后，因?yàn)榍髮?dǎo)運(yùn)算的復(fù)雜性將很難達(dá)到求參數(shù)取值范圍的目的，而通過將lnx和ex分離出來，簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)運(yùn)算從而達(dá)到問題求解.

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1008-0333(2017)01-0007-01