潘娣

摘要：給出了分數(shù)布朗運動下的幾何平均亞式期權定價的數(shù)學模型，通過熱傳導方程得到了亞式期權價值的解析表達式。利用數(shù)值算例討論了：赫斯特指數(shù)、無風險利率及敲定價格對期權價值的影響.

關鍵詞：亞式期權；分數(shù)布朗運動；數(shù)值算例

中圖分類號：F830 9；O211 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2017）010-0-02

引言

期權是指以確定的價格在確定的時間購買或出售確定數(shù)量的其標的資產(chǎn)的權利。在期權合約中，確定的價格為敲定價格，確定日期為到期日。而看漲期權指在一定的時間以確定的價格購買某項資產(chǎn)的權利，看跌期權則表示賣出該資產(chǎn)的權利。

1973年，Black， Scholes[1]和Merton[2]推導出了古典的Black-Scholes模型，他們設金融衍生產(chǎn)品價值V（St，t）滿足如下的方程

這里St表示股票在t時刻的價格，σ為波動率，r為市場中的無風險利率。在模型求解中，結合了終值條件V（ST，T）=max（ST-K，0），其中D為執(zhí)行價格，T為到期日，那么得到歐式看漲期權價值的解析表達式[1]

N（x）為累積標準正態(tài)分布函數(shù)。Fama[3]在1965年指出，資產(chǎn)價格具有長期依賴性，由于分數(shù)布朗運動是連續(xù)的高斯過程，有長期依賴性，所以它能夠更精確的描述出金融資產(chǎn)的變化。

Rogers[4]發(fā)現(xiàn)分數(shù)布朗運動路徑積分理論下的市場存在著套利機會。2003年，Hu和Oksendal[5]推導出了分數(shù)Girsanov公式（情形）和分數(shù)公式，并驗證了此積分對應的市場沒有套利機會。

亞式期權是一張期權合約，它在到期日的收益依賴于整個期權有效期內(nèi)的資產(chǎn)價格的平均值，這種路徑依賴型期權不僅減少了價格變動所帶來的影響，也可以準確的反映股票價格變化的趨勢，根據(jù)計算亞式期權價格方法的不同，可以分為算術平均亞式期權和幾何平均亞式期權，根據(jù)到期日收益的不同，可以分為固定敲定價格和浮動敲定價格兩類。

一、亞式期權價值的數(shù)學模型

假設（H1）標的資產(chǎn)價格St滿足如下隨機微分方程

這里μ和σ都為常數(shù)，分別表示資產(chǎn)的預期收益率和波動率，為的分數(shù)布朗運動；（H2）投資組合的期望回報率與無風險利率相等；（H3）不存在無風險套利機會；（H4）證券是連續(xù)交易，不存在紅利、稅收且不需支付交易費用。

設幾何平均亞式看漲期權在t時刻的價值為V=V（t，Jt，St），其中為標的資產(chǎn)價格在上的幾何平均值. 構造一個投資組合：1份幾何平均亞式標的資產(chǎn)看漲期權多頭、份標的資產(chǎn)

令那么我們可以得到下面的亞式期權價值的數(shù)學模型，

定理2.1假設標的資產(chǎn)價格St滿足分數(shù)布朗運動（2.1），則執(zhí)行價格為K、到期日為T的幾何平均亞式看漲期權在時刻的價值滿足如下數(shù)學模型：

二、模型求解

定理3.1假設標的資產(chǎn)價格滿足（2.1），則執(zhí)行價格為K、到期時間為T的幾何平均亞式看漲期權在t時刻的價值為

證明 由定理2.1可知，幾何平均亞式看漲期權在時刻的價值滿足模型（2.6）。令

根據(jù)熱傳導方程經(jīng)典解理論[6]，（3.1）式的解可寫為

三、數(shù)值算例

本節(jié)將利用定理3.1的定價公式進行數(shù)值實驗。我們設一只標的資產(chǎn)為股票的歐式亞式期權的股票價格服從（2.1）公式中的分數(shù)布朗運動。規(guī)定其標的股票價格為80元，執(zhí)行價格為80元，一年到期，年波動率為0.4，無風險利率為0.05. 即：

圖4.1給出了不同的無風險利率下亞式看漲期權價值的變化圖。因為實際情況下的利率的變化很微小，所以為了圖像的區(qū)分度，我們選取的4組利率值變化較大。由圖可以看出，隨著利率變大，看漲期權的價值也在變大，因為無風險利率的增大會使得標的資產(chǎn)價格在到期日的期望收益變大。從圖4.2我們可以看出，敲定價格與漲期權價值成反比，即看漲期權的價值隨著敲定價格的遞增而減少。

圖4.3

圖4.3給出了不同赫斯特指數(shù)下標的資產(chǎn)價格與亞式看漲期權價值的關系，由圖可知，隨著赫斯特指數(shù)的增大，看漲期權價值在變小。

四、結語

本文主要運用證券組合技術和無套利原理，研究了分數(shù)布朗運動下的亞式期權定價問題。應用熱傳導方程對該模型進行求解，得到了亞式期權價值的解析表達式，通過數(shù)值算例得出各參數(shù)對亞式期權的價值都有影響。

參考文獻：

[1]Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81： 637-659.

[2]Merton M C. Theory of rational option pricing[J]. Journal of Economics and Management Science， 1973， 4： 141-183.

[3]Fama E. The behavior of stock market prices[J]. The Journal of Business， 1965， 38： 34-105.

[4]Rogers L C G， Shi Z. The value of an Asian option[J]. Journal of Applied Probability， 1995： 1077-1088.

[5]Hu Y， ?ksendal B. Fractional White Noise Calculus and Application to Finance[J]. Infinite Dimensional Analysis， Quantum Probability and related Topics. 2003， 6： 1-32.

[6]Necula， C. Option pricing in a fractional Brownian motion environment[J]. Academy of Eco- nomic Studies Bucharest， Romania， Preprint， Academy of Economic Studies， Bucharest， 2002， 27： 8079-8089.

基金項目：安徽三聯(lián)學院平臺基金重點項目，項目號：PTZD2017004。