孔建云，劉茂省，王彎彎

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

一類帶有時(shí)滯的SIR模型的穩(wěn)定性及分支分析

孔建云，劉茂省，王彎彎

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

為了研究飽和發(fā)生率和時(shí)滯對(duì)傳染病模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響，建立了一類具有飽和發(fā)生率和指數(shù)出生且?guī)в袝r(shí)滯的SIR模型，通過對(duì)模型特征方程的分析，判定了系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并找到了系統(tǒng)發(fā)生分支的臨界值，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。結(jié)果表明：當(dāng)時(shí)滯小于臨界值時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)滯大于臨界值時(shí)，地方病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，并產(chǎn)生了Hopf分支。研究結(jié)果對(duì)解釋傳染病的周期性暴發(fā)、預(yù)防和控制傳染病的傳播具有借鑒作用。

穩(wěn)定性理論；SIR模型；時(shí)滯；飽和發(fā)生率；Hopf分支

1 模型的建立

考慮了下面一類具有飽和發(fā)生率且含有因病死亡和指數(shù)出生的時(shí)滯SIR模型：

(1)

關(guān)于系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)性質(zhì)，有下面的定理。

定理1 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)存在解

(S(t),I(t),R(t))→(∞,0,0)，t→∞。

當(dāng)R0>1且滿足α1(R0-1)[μ(μ+ρ+δ)-b(μ-ρ)]-α2μ(b-μ)>0時(shí)，系統(tǒng)(1)存在唯一地方病平衡點(diǎn)：

證明 首先該系統(tǒng)在非負(fù)初值情況下解滿足存在唯一性。對(duì)于I(t)而言，零初值對(duì)應(yīng)零解，正初值對(duì)應(yīng)正解，所以當(dāng)t→∞，分I(t)=0和I(t)>0的情況進(jìn)行討論。

在R0<1的情況下，

當(dāng)I(t)=0時(shí)，由系統(tǒng)的第3個(gè)方程可以得到R(t)=0, 代入第1個(gè)方程可以得到：

當(dāng)t→∞時(shí), 可以得到S(t)→∞，即系統(tǒng)恒存在1個(gè)解：(S(t),I(t),R(t))→(∞,0,0)。

即在R0>1時(shí)，得到地方病平衡點(diǎn)：

由于S(t)，I(t)，R(t)均要求為非負(fù)的，因此還需滿足：

α1(R0-1)[μ(μ+ρ+δ)-b(μ+ρ)]-

α2μ(b-μ)>0。

2 穩(wěn)定性分析

令λ為特征方程的特征根，

通過計(jì)算Jacobian矩陣，可以得到系統(tǒng)(1)的特征方程為

f1(λ)= (λ3+p1λ2+p2λ+p3)+

(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ,

(2)

其中：

p1=3μ+ρ+δ-b,

q1=A-B,

p2=3μ2+2μ(ρ+δ)-2bμ-b(ρ+δ)，

q2=(2μ-b)(A-B)+(ρ+δ)A,

p3=μ3+μ2(ρ+δ)-μ2b-μb(ρ+δ),

q3=[μ(μ+ρ+δ)-b(μ+ρ)]A+μ(b-μ)B。

通過分析系統(tǒng)的特征方程來判斷地方病平衡點(diǎn)P*的穩(wěn)定性，有如下定理。

定理2 假設(shè)2μ-b>0，且當(dāng)R0>1成立時(shí)，存在一個(gè)τ*>0。當(dāng)τ∈?0,τ*)時(shí)，地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ>τ*時(shí)，地方病平衡點(diǎn)P*不穩(wěn)定，即在τ=τ*處，產(chǎn)生Hopf分支。

證明 在地方病平衡點(diǎn)P*處，當(dāng)τ=0時(shí)，特征方程可變形為f(λ)=λ3+b1λ2+b2λ+b3，經(jīng)過計(jì)算可以得到：

b1=p1+q1=

b2=p2+q2=

(μ+ρ+δ-b)A+

b3=p3+q3=

根據(jù)Hurwitz判據(jù)，當(dāng)R0>1時(shí)，b1b2-b3>0，所以在R0>1的情況下，當(dāng)τ=0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)τ>0時(shí)，假設(shè)存在純虛根iω(其中ω>0)，代入式(2)后通過分離實(shí)部和虛部，可得：

ω3-ωp2=ωq2cos(ωτ)+

(ω2q1-q3)sin(ωτ),

(3)

ω2p1-p3=ωq2sin(ωτ)+

(-ω2q1+q3)cos(ωτ),

(4)

整理得：

ω6+a4ω4+a5ω2+a6=0,

(5)

在這里，假設(shè)z=ω2，則式(5)可變形為

z3+a4z2+a5z+a6=0。

(6)

通過計(jì)算可以得到：

a6=p3-q3=(p3-q3)(p3+q3)<0 ，

下面使用τ作為分支參數(shù)，分析分支的存在情況。用含變量τ的解來研究式(2)的分支存在情況。假設(shè)λ(τ)=γ(τ)+iω(τ)是式(2)的一個(gè)根，且γ(0)=0,ω(0)=ω0。通過式(3)和式(4)可以得到：

3 數(shù)值模擬

當(dāng)τ=0時(shí)，選取如下的參數(shù)：b=0.8;μ=0.7;ρ=0.2;δ=0.7;β=0.3;α1=0.5;α2=0.4。通過圖1，可以觀察到當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)存在解:

(S(t),I(t),R(t))→(∞,0,0)，

隨著易感者的人數(shù)逐漸增加，趨向于無窮大，而染病者和恢復(fù)著的人數(shù)逐漸減少且趨近于零。

圖1 當(dāng)t→∞時(shí),系統(tǒng)(1)的解(S(t),I(t),R(t))→(∞,0,0)Fig.1 When t→∞, the solutions of system (1) (S(t),I(t),R(t))→(∞,0,0)

在圖2中，分別在τ=0和τ=0.8的情況下，進(jìn)行地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及分支存在性的數(shù)值模擬。參數(shù)的選取如下：b=0.8;μ=0.7;ρ=0.2;δ=0.7;β=0.3;α1=0.01;α2=0.01。

通過圖2可以看出，在τ=0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；在τ=0.8時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。圖3模擬出了在S-I相平面上分支的情形，圖4給出了在τ=0.8時(shí)系統(tǒng)在S-I-R相空間中分支的情形，可以看出系統(tǒng)存在周期解，即產(chǎn)生了Hopf分支。

圖2 系統(tǒng)(1)在τ=0和τ=0.8時(shí)的解曲線Fig.2 When τ=0 and τ=0.8，the solution of system (1)

圖3 當(dāng)τ=0.8時(shí)，系統(tǒng)(1)在S-I相平面上分支Fig.3 When τ=0.8，the bifurcation of system (1) on S-I phase plane

圖4 當(dāng)τ=0.8時(shí)，系統(tǒng)(1)在S-I-R相空間上分支Fig.4 When τ=0.8，the bifurcation of system (1) on S-I-R phase space

4 結(jié) 論

本文所研究的一類帶有時(shí)滯的SIR模型是具有飽和發(fā)生率和指數(shù)出生的，通過分析得到了系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并找到系統(tǒng)發(fā)生分支的臨界值，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。通過特征方程的方法分析了系統(tǒng)的Hopf分支，以及關(guān)于系統(tǒng)其他類型的分支，今后會(huì)做更深入的分析。另外，在研究方法的應(yīng)用上，整篇文章都是以傳染病的傳播為例進(jìn)行分析，實(shí)際上，這些結(jié)果也可以應(yīng)用于對(duì)計(jì)算機(jī)病毒以及信息傳播的分析，另外，還可以研究網(wǎng)絡(luò)上的SIR模型。本文研究的結(jié)果對(duì)研究整體的動(dòng)力學(xué)行為具有一定的參考價(jià)值。

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Analysis of stability and bifurcation of a delayed SIR model

KONG Jianyun， LIU Maoxing， WANG Wanwan

(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051，China)

In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model, a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed. By considering the characteristic equation of the system, the stability of the endemic equilibrium is analyzed, and the critical value of the bifurcation is found. The theoretical analysis results are verified by numerical simulations. The result shows that when the delay is less than the critical value, the endemic equilibrium is locally asymptotically stable; When the delay is larger than the critical value, the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation. The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases, and guide the prevention and control of the spread of the disease.

stability theory； SIR model； delayed； saturated incidence rate； Hopf bifurcation

1008-1534(2017)03-0167-05

2017-02-25;

2017-04-18；責(zé)任編輯：張 軍

山西省自然科學(xué)基金(2015011009,201601D021015)；山西省留學(xué)回國人員科技活動(dòng)擇優(yōu)資助項(xiàng)目；山西省留學(xué)回國人員科研資助項(xiàng)目(2016-086)

孔建云(1991—)，男，山西忻州人，碩士研究生，主要從事傳染病動(dòng)力學(xué)方面的研究。

劉茂省教授。E-mail:liumaoxing@126.com

O175.13

A

10.7535/hbgykj.2017yx03003

孔建云，劉茂省，王彎彎.一類帶有時(shí)滯的SIR模型的穩(wěn)定性及分支分析[J].河北工業(yè)科技,2017,34(3):167-171. KONG Jianyun，LIU Maoxing，WANG Wanwan. Analysis of stability and bifurcation of a delayed SIR model[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(3):167-171.