江祥花,成曉燕,肖文斌

(1. 鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 丹陽(yáng)師范學(xué)院,江蘇 丹陽(yáng) 212300; 2. 揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

具有自擴(kuò)散的兩種群互惠模型解整體存在及穩(wěn)定性

江祥花1,成曉燕2,肖文斌2

(1. 鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 丹陽(yáng)師范學(xué)院,江蘇 丹陽(yáng) 212300; 2. 揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

考慮生物數(shù)學(xué)中具有自擴(kuò)散的兩種群互惠模型,利用能量估計(jì)方法給出兩種群互惠模型整體解的存在唯一性,并通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)討論正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。

自擴(kuò)散;互惠模型;存在唯一性;穩(wěn)定性

美國(guó)生態(tài)學(xué)家Lotka于1921年、意大利數(shù)學(xué)家Volterra于1923年分別在研究化學(xué)反應(yīng)和魚類競(jìng)爭(zhēng)生態(tài)系統(tǒng)時(shí)提出了生物數(shù)學(xué)研究中的經(jīng)典模型之一——Lotka-Volterra系統(tǒng)。Guass和Witt在1935年將兩種群的Lotka-Volterra系統(tǒng)一般化,得到可以反映不同種群相互作用(競(jìng)爭(zhēng)、互惠、捕食)的系統(tǒng),其中互惠模型為

這里的ai,bi,ci均為正常數(shù)。ai為相應(yīng)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,b1,c2為種群內(nèi)部互惠系數(shù),b2,c1為兩種群之間的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)。過去的幾十年中,此類經(jīng)典模型被廣泛研究[1]。事實(shí)上,種群在其所處環(huán)境中的分布并不是均勻的,種群也會(huì)受食物等因素影響遷入和遷出。因此,一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)中的種群除了時(shí)間方向的演化外,還有空間方向上的變化,引入擴(kuò)散項(xiàng)可以得到基于偏微分方程的生態(tài)模型。本文除了考慮物種自由擴(kuò)散,還考慮種群自身密度壓力導(dǎo)致的擴(kuò)散,即具有自擴(kuò)散的兩種群Lotka-Volterra互惠模型

(1)

其中αi,di均為正常數(shù),αi為種群的自然擴(kuò)散系數(shù),di為種群的自擴(kuò)散系數(shù)。齊次Neumann邊界條件說明在邊界上不存在種群的移動(dòng)。關(guān)于αi=0時(shí)高維問題的有關(guān)重要結(jié)論可以參看文獻(xiàn)[1]和[2],具有交錯(cuò)擴(kuò)散的問題可參看文獻(xiàn)[3]和[4],強(qiáng)耦合情形的問題可參看文獻(xiàn)[5]。 本文將重點(diǎn)討論自擴(kuò)散帶來的影響,具體研究系統(tǒng)整體解的存在唯一性和正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。

1)r≤q;

其中

C為僅與n,m,j,q,r,a有關(guān)的正常數(shù)。

下文提及的Gagliardo-Nirenberg不等式為定理1的推論。此外,還將用到文獻(xiàn)[7]中的引理4.3,為方便閱讀,重述如下:

證明正平衡解的穩(wěn)定性時(shí),為了說明解的收斂性,還將用到引理2。

引理2 設(shè)a,b為正常數(shù),φ∈C′[a,+∞),ψ∈C′[a,+∞),ψ(t)≥0,φ有下界。如果

φ′(t)≤-bψ(t),

ψ′(t)在區(qū)間[a,+∞)有上界,則

1 解的整體存在

C∞(0,1)),

其中T是解的最大存在時(shí)間,特別地,如果解(u,v)滿足

則T=+∞。

約定Aj(j=1,2,…)是只依賴于αi,ai,bi,ci的正常數(shù),Bj(j=1,2,…)是只依賴于di,αi,ai,bi,ci的正常數(shù)。下面給出方程組(1)解的整體存在性定理。

b1c2>b2c1,

(2)

則存在僅依賴于方程組(1)中系數(shù)的正常數(shù)M,M′,t0>0,使得

max{u(x,t),v(x,t):0≤x≤1,t0≤t≤T}≤M,

從而方程組(1)存在唯一非負(fù)整數(shù)解。

證明 方程組(1)中第1個(gè)和第2個(gè)方程兩邊在區(qū)間[0,1]積分

(3)

(4)

式(3)和式(4)相加得

(5)

其中A0=max{a1,a2}。

由條件2)可知式(5)右端第2個(gè)被積函數(shù)正定。再由簡(jiǎn)單的代數(shù)不等式知識(shí)可得

其中

因此,存在Γ0>0,與αi,ai,bi,ci有關(guān)的正常數(shù)M0,使得

(6)

(7)

(8)

由Young不等式可得

(9)

由引理1知,存在正常數(shù)C>0,對(duì)任意ε∈(0,1)有

進(jìn)而可得

(10)

由Gagliardo-Nirenberg不等式的推論

及式(6)可得

同理可得

所以有

(11)

將式(9),式(10),式(11)代入式(7),式(8)得

其中d=min{d1,d2}。

考察函數(shù)

f(y)=-A7y3+A8y2+A9,

顯然當(dāng)A5,A6,A7,A8,A9>0時(shí)(補(bǔ)條件取定ε),有

故可取

使得

因而存在正常數(shù)M1,Γ1>0,使得

(12)

(13)

(14)

由Young不等式和不等式

并結(jié)合式(6),式(12)得

(15)

(16)

(17)

將式(15),式(16),式(17)代入式(13)得

(18)

同理,式(14)可簡(jiǎn)化為

(19)

式(18)和式(19)相加得

這說明存在正數(shù)Γ3與依賴于di,αi,ai,bi,ci(i=1,2)的正常數(shù)M2,使得

(20)

綜合式(6),式(12),式(20)知,存在依賴于di,αi,ai,bi,ci(i=1,2)的正常數(shù)M,t0>0,使得

因此,方程組(1)的整體解存在。進(jìn)一步由Sobolev嵌入定理可知

2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

容易看出,當(dāng)條件2)滿足時(shí),方程組(1)有正平衡解

關(guān)于該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性有如下結(jié)論:

4ρu*v*d1d2>(α1u*+ρα2v*)2M2,

(21)

其中

則方程組(1)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)全局漸近穩(wěn)定。

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

ρc2(v-v*)2]dx。

(22)

式(22)右端第2個(gè)積分號(hào)內(nèi)的函數(shù)正定的充要條件為

為此,只要h(ρ)的最小值點(diǎn)在正半軸上,且最小值為負(fù),這正是b1c2>b2c1的直接推論。

式(22)右端第1個(gè)積分號(hào)內(nèi)的函數(shù)正定的充分條件是

4ρu*v*(d1+2α1u)(d2+2α2v)>

(α1u*v+ρα2uv*)2。

(23)

而式(21)正好是式(23)的充分條件。因此存在δ>0,使得

(24)

類似于式(22),由分部積分、Holder不等式及定理2的最大模估計(jì)可知

上有界。

因此,由引理2和式(24)可知,

t→∞,

注意到

t→∞,

即(u,v)在[0,1]上一致收斂于(u*,v*),結(jié)合H(u,v)關(guān)于t的遞減性可知,(u*,v*)是全局漸近穩(wěn)定的。

至此,定理3證明完畢。

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〔責(zé)任編輯： 盧 蕊〕

Existence and stability of global solutions for a cooperative model with self-diffusion

JIANG Xianghua1, CHENG Xiaoyan2, XIAO Wenbin2

(1. Danyang Normal School, Zhenjiang College ,Danyang 212310, China; 2. Maths Science Institute, Yangzhou University, Yangzhou 225002, China)

This paper deals with a two species cooperative model with self-diffusion in biomathematics.Applying energy type estimates,the exishence,uniquences of global solutions are proved.The global asymptotic stability of positive equilibrium point for this model is discussed through the constrction of Lyapunov function.

self-diffusion; cooperative model; existence and uniqueness; stability.

2016-09-24

江祥花(1972—),女,江蘇丹陽(yáng)人,副教授,碩士,主要從事可積系統(tǒng)研究; 成曉燕(1975—),女,江蘇南通人,講師,主要從事編碼、密碼研究; 肖文斌(1981—),男,江蘇常州人,講師,主要從事微分方程研究。

O175.26

A

1008-8148(2017)02-0075-04