袁 鶴

(吉林師范大學數(shù)學學院，吉林 四平 136000)

超代數(shù)上廣義李超導子

袁 鶴

(吉林師范大學數(shù)學學院，吉林 四平 136000)

利用超代數(shù)上的函數(shù)恒等式理論，證明了超代數(shù)上的廣義李超導子可以表示成一個廣義超導子和一個線性映射之和.

函數(shù)恒等式；超代數(shù)；廣義李超導子

0 引言

設R是環(huán)，若R上加法映射d滿足d(xy)=d(x)y+xd(y)，x，y∈R，則稱d是R上的導子.若R上加法映射d滿足d[x，y]=[d(x)，y]+[x，d(y)]，x，y∈R，則稱d是R上的李導子.顯然，每個導子都是李導子，那么反之是否成立呢?Bresar[1]證明了素環(huán)上的李導子可以表示成一個導子和一個加法映射之和.文獻[2]將這個結果推廣到了超代數(shù)上，得到超代數(shù)上的李超導子可以表示成一個超導子和一個線性映射之和.

隨著對導子的研究不斷深入，學者們對廣義導子的研究也日益增多.1998年，Hvala[3]給出了環(huán)上廣義導子的定義：若對于環(huán)R上的加法映射g，存在R上導子d滿足g(xy)=g(x)y+xd(y)，x，y∈R，則稱g是R上的廣義導子.Hvala[4]還證明了素環(huán)上的廣義李導子可以表示成一個廣義導子和一個中心映射之和.本文將利用超代數(shù)上的函數(shù)恒等式理論把這個結果推廣到超代數(shù)上.

函數(shù)恒等式理論是一個比較新的理論，人們用它來研究函數(shù)的表達式或者滿足某函數(shù)恒等式的環(huán)的結構.這個理論源于交換映射理論[5]，后來逐漸被應用到很多方面.2000年，Beidar和Chebotar[6-7]提出的d-自由集理論為函數(shù)恒等式理論的研究提供了強有力的工具，使函數(shù)恒等式理論的研究取得了實質性的突破并快速發(fā)展.學者們利用d-自由集理論解決了Herstein提出的關于李映射的猜想.[8-10]2009年，王宇[11]確定了素超代數(shù)上的函數(shù)恒等式理論，并利用此理論研究了素超代數(shù)上的李超同態(tài).在上述工作的基礎上，王宇[12]又確立了超代數(shù)上的函數(shù)恒等式理論，給出了d-超自由集和擬超多項式的定義.本文將利用文獻[12]中結果研究超代數(shù)上的廣義李超導子的表示形式.

1 預備知識

下面給出超導子，廣義超導子，李超導子和廣義李超導子的定義.

設A是超代數(shù)且k∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射dk是度為k的超導子，如果其滿足dk(Ai)?Ak+i，i∈Z2，且dk(ab)=dk(a)b+(-1)k|a|adk(b)，a，b∈A0∪A1.如果d=d0+d1，則稱d是A上的超導子.

設A是超代數(shù)且i∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射ɡi是度為i的廣義超導子，如果其滿足ɡi(Aj)?Ai+j，j∈Z2，且存在A上度為i的超導子di使得ɡi(ab)=ɡi(a)b+(-1)i|a|adi(b)，a，b∈A0∪A1.如果g=ɡ0+ɡ1，則稱g是A上的廣義超導子；d=d0+d1為g的伴隨超導子.

設A是超代數(shù)且j∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射hj是度為j的李超導子，如果其滿足hj(Ai)?Ai+j，i∈Z2，且hj([a，b]s)=[hj(a)，b]s+(-1)j|a|[a，hj(b)]s，a，b∈A0∪A1.如果h=h0+h1，則稱h是A上的李超導子.

設A是超代數(shù)且m∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射fm是度為m的廣義李超導子，如果其滿足fm(Aj)?Am+j，j∈Z2，且存在A上度為m的李超導子hm使得對于任意的a，b∈A0∪A1有

fm([a，b]s)=fm(a)b-(-1)|a||b|fm(b)a+(-1)m|a|ahm(b)-(-1)m|b|+|a||b|bhm(a).

如果f=f0+f1，則稱f是A上的廣義李超導子；h=h0+h1為f的伴隨李超導子.

下面等式對于研究超代數(shù)上廣義超導子的表示形式相當重要：

[aibj，ck]s=[ai，bjck]s+(-1)ij+ik[bj，ckai]s，ai，bj，ck∈A0∪A1.

(1)

2 主要結果

本節(jié)給出超代數(shù)和素超代數(shù)上廣義李超導子的表示形式.

定理1 設A=A0?A1是超代數(shù)，Q是含有單位元的超代數(shù)且A是Q的子代數(shù)，C是Q的中心.若f：A→Q是廣義李超導子且A是Q的3-超自由子集，則存在廣義超導子ɡ：A→Q和線性映射l：A→C+Cω，滿足f(x)=ɡ(x)+l(x)，x∈A.

5)標準化因子norm。lucene的打分公式中，標準化因子由3個參數(shù)決定：document boost表示文檔的重要性；Field boost表示域重要性；lengthNorm(field)表示域中包含的Term總數(shù)。

證明 由廣義李超導子的定義，設fm是度為m的廣義李超導子，hm是度為m的李超導子，m∈{0，1}.應用fm于(1)式有

0=fm(aibj)ck-(-1)ik+jkfm(ck)aibj+(-1)m(i+j)aibjhm(ck)-
(-1)mk+ik+jkckhm(aibj)-fm(ai)bjck+(-1)ij+ikfm(bjck)ai-
(-1)miaihm(bjck)+(-1)m(j+k)+ij+ikbjckhm(ai)-(-1)ij+ik(fm(bj)ckai-
(-1)jk+ijfm(ckai)bj+(-1)mjbjhm(ckai)-(-1)m(i+k)+jk+ijckaihm(bj))，

其中ai，bj，ck∈A0∪A1.由文獻[2]，hm=dm+pm，其中dm是度為m的超導子，pm：A→C+Cω是線性映射.因此

0=fm(aibj)ck-fm(ai)bjck-(-1)miai(dm(bj)ck+(-1)mjbjdm(ck)+pm(bjck))+
(-1)ij+ik(fm(bjck)ai-fm(bj)ckai-(-1)mjbj(dm(ck)ai+(-1)mkckdm(ai)+
pm(ckai)))+(-1)ik+jk(fm(ckai)bj-fm(ck)aibj-(-1)mkck(dm(ai)bj+
(-1)miaidm(bj)+pm(aibj)))+(-1)m(i+j)aibj(dm(ck)+pm(ck))+
(-1)m(j+k)+ij+ikbjck(dm(ai)+pm(ai))+(-1)m(i+k)+ik+jkckak(dm(bj)+pm(bj)).

(2)

定義映射B：A×A→Q，

B(x，y)=fm(xy)-fm(x)y-(-1)m|x|xdm(y)，x，y∈A0∪A1.

由(2)式有

0=B(ai，bj)ck+(-1)ij+ikB(bj，ck)ai+(-1)ik+jkB(ck，ai)bj-
(-1)miaipm(bjck)-(-1)mj+ij+ikbjpm(ckai)-(-1)mk+ik+jkckpm(aibj)+
(-1)m(i+j)aibjpm(ck)+(-1)m(j+k)+ij+ikbjckpm(ai)+(-1)m(i+k)+ik+jkckaipm(bj)，

其中ai，bj，ck∈A0∪A1.因為A是Q的3-超自由子集，由文獻[12]有：

(3)

fm(xyz)=B(xy，z)+fm(xy)z+(-1)m(|x|+|y|)xydm(z)=
B(xy，z)+(B(x，y)+fm(x)y+(-1)m|x|xdm(y))z+(-1)m(|x|+|y|)xydm(z)；

fm(xyz)=B(x，yz)+fm(x)yz+(-1)m|x|xdm(yz)=
B(x，yz)+fm(x)yz+(-1)m|x|x(dm(y)z+(-1)m|y|ydm(z)).

兩式相減得

B(xy，z)+B(x，y)z-B(x，yz)=0，

(4)

其中x，y，z∈A0∪A1.

將(3)式代入(4)式中，整理得：

由文獻[12]中定理3.7有：

μ3(x1)=μ4(x1)，μ4(x1y0)=-v3(x1，y0)；

μ1(x1y1)=-v4(x1，y1).

由B的定義，

B(x0，y1)=fm(x0y1)-fm(x0)y1-x0dm(y1)，

B(y1，x0)=fm(y1x0)-fm(y1)x0-(-1)my1dm(x0).

上面兩式相減得

B(x0，y1)-B(y1，x0)=fm([x0，y1]s)-(fm(x0)y1-fm(y1)x0)-
(x0dm(y1)-(-1)my1dm(x0))=x0pm(y1)-(-1)my1pm(x0)，

從而

λ2x0y1+μ2(x0)y1+v2(x0，y1)-μ3(y1)x0-v3(y1，x0)-x0pm(y1)+(-1)my1pm(x0)=0.

由文獻[12]中定理3.7有λ2=0，λ4=0.因此

B(x0，y0)=μ1(x0)y0-μ1(x0y0)，
B(x0，y1)=μ1(x0)y1-μ4(x0y1)，
B(x1，y0)=μ4(x1)y0-μ4(x1y0)，
B(x1，y1)=μ4(x1)y1-μ1(x1y1).

(5)

設

由(5)式，fm(xy)+μm(xy)=fm(x)y+(-1)m|x|xdm(y)+μm(x)y，x，y∈A0∪A1.

設fm+μm=ɡm(xù)，l=-μ0-μ1，則ɡ=ɡ0+ɡ1是廣義超導子，l：A→C+Cω是線性映射.結論證畢.

由文獻[12]中定理4.16和定理1可得下面結論.

推論1 設A=A0?A1是素超代數(shù)，Q是A的極大右商環(huán)，C是A的擴展型心.若f：A→Q是廣義李超導子且deg(A1)≥7，則存在廣義超導子ɡ：A→Q和線性映射l：A→C+Cω，滿足f(x)=ɡ(x)+l(x)，x∈A.

[1] BREASAR M.Commuting traces of biadditive mappings：commutativity-preserving mappings and Lie mappings[J].Trans Amer Math Soc，1993，335(2)：525-546.

[2] 袁鶴.超代數(shù)上的超導子和三角代數(shù)上的廣義導子[D].長春：吉林大學，2014.

[3] HVALA B.Generalized derivations in rings[J].Comm Algebra，1998，26(4)：1147-1166.

[4] HVALA B.Generalized Lie derivations in prime rings[J].Taiwanese J Math，2007，11(5)：1425-1430.

[5] BREASAR M.Centralizing mappings and derivations in prime rings[J].J Algebra，1993，156：385-394.

[6] BEIDAR K I，CHEBOTAR M A.On functional identities andd-free subsets of rings：Ⅰ[J].Comm Algebra，2000，28(8)：3925-3951.

[7] BEIDAR K I，CHEBOTAR M A.On functional identities andd-free subsets of rings：Ⅱ[J].Comm Algebra，2000，28(8)：3953-3972.

[8] BEIDAR K I，BREASAR M，CHEBOTAR M A，et al.On Herstein’s Lie map conjectures：Ⅰ[J].Trans Amer Math Soc，2001，353(10)：4235-4260.

[9] BEIDAR K I，BREASAR M，CHEBOTAR M A，et al.On Herstein’s Lie map conjectures：Ⅱ[J].J Algebra，2001，238：229-264.

[10] BEIDAR K I，BREASAR M，CHEBOTAR M A，et al.On Herstein’s Lie map conjectures：Ⅲ[J].J Algebra，2002，249：59-94.

[11] WANG Y.Functional identities and Lie superhomomorphisms on prime superalgebras[J].Comm Algebra，2009，37(12)：4193-4226.

[12] WANG Y.Functional identities in superalgebras[J].J Algebra，2013，382：144-176.

(責任編輯：李亞軍)

Generalized Lie superderivations of superalgebras

YUAN He

(College of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China)

It is proved that a generalized Lie superderivation is the sum of a generalized superderivation and a linear mapping by using the theory of functional identities in superalgebras.

functional identity；superalgebra；generalized Lie superderivation

1000-1832(2017)02-0011-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.003

2015-11-18

國家自然科學基金資助項目(11471090)；吉林省科技發(fā)展計劃資助項目(20170520068JH)；吉林省教育廳“十三五”科學技術研究項目(吉教科合字[2016]第214號).

袁鶴(1983─)，女，博士，講師，主要從事環(huán)理論研究.

O 152 [學科代碼] 110·21

A