王樹(shù)忠+李冬梅

摘要：考慮了對(duì)易感者周期性接種疫苗和對(duì)染病者采取隔離控制疾病措施，建立了一類SIQRS傳染病模型，利用脈沖方程理論，給出了無(wú)病周期解穩(wěn)定性及疾病一致持久性的充分條件。

關(guān)鍵詞：脈沖接種；無(wú)病周期解；穩(wěn)定性；一致持久性

DOI：1015938/jjhust201702014

中圖分類號(hào)： O175.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2017）02-0072-06

Abstract：This paper considers the periodic pulse vaccination of susceptible and the isolation control of the infective， a SEIQR epidemic model is established The sufficient condition for stability of diseasefree periodic solution and permanence of disease are obtained by pulse equation theory

Keywords：pulse vaccination， the diseasefree periodic，stability，permanence

1預(yù)備知識(shí)

脈沖微分方程能夠描述具有周期性運(yùn)動(dòng)在某一點(diǎn)瞬間變化問(wèn)題，如定期投放殺蟲(chóng)劑，周期性用藥治療疾病，季節(jié)性接種疫苗都是一種脈沖現(xiàn)象。用具有脈沖接種的傳染病模型來(lái)研究疫苗控制疾病蔓延的問(wèn)題，能夠獲得較為真實(shí)的疾病發(fā)展規(guī)律，這對(duì)制定疾病防治策略提供了理論依據(jù) [1-4]。Alberto Donofrio 等人只考慮了接種對(duì)人群的影響，研究了脈沖預(yù)防接種SIR，SEIR傳染病模型，證明了無(wú)病周期解的穩(wěn)定性及模型的持久性，發(fā)現(xiàn)了接種對(duì)疾病控制的重要作用[5-7]。但有些傳染病人在接種疫苗，或康復(fù)后獲得的免疫，經(jīng)一段時(shí)間免疫力喪失后可以再次發(fā)病，如流感、菌痢。傳染病模型由SIR修改成SIRS模型，通過(guò)研究模型無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件，尋找疾病控制閾值和疾病消除的策略[8]。

除了采用脈沖接種防治疾病流行，有時(shí)還要使用隔離控制措施?？紤]到人群脈沖接種，對(duì)染病者隔離的策略實(shí)施，不考慮垂直感染情況，建立了如下SIQR傳染病模型，通過(guò)研究模型的無(wú)病周期解的穩(wěn)定性、疾病的持久性，可得到控制疾病的可控參數(shù)[9-10] 。

3數(shù)值模擬

當(dāng)傳染病暴發(fā)時(shí)，防疫部門根據(jù)掌握的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分析預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的狀況，做出相應(yīng)的對(duì)策來(lái)控制傳染病的蔓延。傳染病模型閾值中的參數(shù)變

化往往會(huì)改變模型的性態(tài)，這對(duì)疾病防控有一定影響。下面分別對(duì)改變模型中的傳播發(fā)生率β、免疫失效率α、脈沖預(yù)防接種率k和 脈沖預(yù)防接種周期T取值，其它值不變，觀察模型的性態(tài)。表1分別給出了4種情況中下參數(shù)取值。圖1至圖8是參數(shù)不同時(shí)的模型性態(tài)變化圖。

4模型結(jié)果解釋

由疾病流行的閾值R0及模擬圖可知，在傳染病暴發(fā)前，提高疫苗接種率做好預(yù)防工作；在疾病流行期間，做好隔離措施；再根據(jù)傳染病的傳播強(qiáng)弱程度，調(diào)整接種周期可以有效消除疾病。因此，在對(duì)疾病控制過(guò)程中，通過(guò)提高接種疫苗的成功率和增加染病者的隔離率來(lái)防控疾病，還要減少染病者的接觸率才能有效防止疾病的蔓延。

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（編輯：溫澤宇）