陳曉露，常承林，王彧斐，馮霄

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考慮再生循環(huán)的多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)全局優(yōu)化

陳曉露1，常承林2，王彧斐1，馮霄2

（1中國石油大學(xué)(北京)化學(xué)工程學(xué)院，北京 102249；2中國石油大學(xué)(北京)新能源研究院，北京 102249）

引入再生循環(huán)單元可以有效地減少多雜質(zhì)用水系統(tǒng)整體的新鮮水消耗量和廢水排放量。其現(xiàn)有的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是一個非凸性嚴重的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，直接求解不僅計算難度大而且求解速度慢，這樣只能得到局部最優(yōu)解。本文利用分段線性松弛的方法對該模型進行處理，將雙線性等式約束轉(zhuǎn)換成線性約束，從而使復(fù)雜的水網(wǎng)絡(luò)模型轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，因現(xiàn)有的商業(yè)優(yōu)化軟件對混合整數(shù)線性規(guī)劃問題的求解算法已經(jīng)非常成熟，這樣降低了計算難度并取得全局最優(yōu)解。算例結(jié)果表明分段線性松弛的方法可以使求解簡單，能夠獲得全局最優(yōu)解。管線費用的減少使年度化費用降低，全局優(yōu)化能得到一個經(jīng)濟性更好的多雜質(zhì)水網(wǎng)絡(luò)，這種方法對于節(jié)省設(shè)備投資和操作費用，具有重要意義。

多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)；數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；分段線性松弛；全局優(yōu)化

21世紀(jì)以來，全球水資源匱乏情況愈發(fā)嚴重，世界各國越來越注重水資源的節(jié)約利用和循環(huán)利用。在石化行業(yè)中，廢水必須經(jīng)過廢水處理單元脫除雜質(zhì)，達到一定排放標(biāo)準(zhǔn)后，方可排放到環(huán)境中。在用水單元和污水處理單元之間進行的廢水直接回用、再生回用和再生循環(huán)，能夠從整體上減少新鮮水的耗量。自20世紀(jì)90年代以來，多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化一直是業(yè)內(nèi)學(xué)術(shù)研究的焦點。相關(guān)學(xué)者提出了大量研究設(shè)計方法，主要包括圖示法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。

圖示法是一種以用水單元的性質(zhì)為基礎(chǔ)對其不同用水需求進行分析的啟發(fā)式方法。其中用水單元的關(guān)鍵性質(zhì)主要包括進出口雜質(zhì)濃度上限和對水的流量要求。20世紀(jì)90年代初，TAKAMA等[1]通過對工業(yè)用水過程進行研究，提出了用水網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計的相關(guān)概念。WANG和SMITH[2]提出水夾點的設(shè)計方法。該方法通過假定各種雜質(zhì)濃度轉(zhuǎn)移的線性關(guān)系來設(shè)計最優(yōu)的用水網(wǎng)絡(luò)。FOO[3]分析了水夾點技術(shù)，并指出圖示法具有物理概念明確、方便理解、直觀簡潔等優(yōu)點。但是，該方法設(shè)計的拓撲結(jié)構(gòu)往往很難達到最優(yōu)，特別是當(dāng)用水單元數(shù)量較多時，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中往往存在大量的回路。針對這一缺陷，ZHENG等[4]通過設(shè)置一個或多個內(nèi)部中間水道，建立了用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的新方法。KUO和SMITH[5]研究了帶有再生回用和再生循環(huán)單元的用水網(wǎng)絡(luò)，進而提出整體上的設(shè)計方法以獲取最優(yōu)的用水方案。BAI等[6]通過圖解法對單雜質(zhì)的再生回用水網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問題進行研究。TAN等[7]通過分析水夾點技術(shù)的特點，對含有再生單元的用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計方法進行了改進。NG等[8]提出可以自動確定新鮮水目標(biāo)值的代數(shù)方法。在此基礎(chǔ)上，DENG和FENG[9]開發(fā)出設(shè)計用水網(wǎng)絡(luò)的改進問題方法，以增大水的最大重復(fù)利用率。

以上關(guān)于用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的圖示法，比較適合對于單雜質(zhì)水系統(tǒng)的研究。但在實際生產(chǎn)中所涉及的大多是包含多種雜質(zhì)的污水，圖示法對于這類復(fù)雜問題不能很好地處理。而另一方面，數(shù)學(xué)規(guī)劃法能夠考慮多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的方法。由于具有更加全面、靈活和準(zhǔn)確等優(yōu)勢，許多研究學(xué)者把這種方法廣泛地應(yīng)用于工業(yè)用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的學(xué)術(shù)研究和工業(yè)案例中。

DOYLE和SMITH[10]在研究多雜質(zhì)用水系統(tǒng)的設(shè)計問題時，提出了簡化的數(shù)學(xué)模型。該模型假設(shè)雜質(zhì)的負荷與進出口濃度之差成線性關(guān)系，將用水網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計表述為一個混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題。LIU等[11]提出一種數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來確定化工廠最優(yōu)用水量的方法并對水處理網(wǎng)絡(luò)進行了分析和研究。FENG等[12]使用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，建立了針對再生循環(huán)用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的超結(jié)構(gòu)模型。FARIA等[13]對用水網(wǎng)絡(luò)模型進行改進，并討論了水的預(yù)處理、操作費用和零排放等問題。BAI等[14]通過分析雜質(zhì)濃度和負荷的關(guān)系曲線，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來優(yōu)化具有再生回用單元的的用水網(wǎng)絡(luò)。以上這些關(guān)于用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的數(shù)學(xué)模型大部分是非凸性嚴重的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題（MINLP），直接求解容易得到局部最優(yōu)解。針對求解困難的問題，BERGAMINI等[15]利用改進的外逼近方法處理用水網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，從而獲取較好的改進解。KARUPPIAH和GROSSMANN[16]對用水網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型中的雙線性項約束進行處理，求取最小的新鮮用水流量，但該模型沒有考慮管線費用。YANG 等[17]利用線性松弛技術(shù)對帶有污水處理裝置的用水網(wǎng)絡(luò)進行求解。由于該方法沒有對雙線性項進行分段處理，因而只能求得局部最優(yōu)解。

由于多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型中存在很多雙線性等式約束和非線性的目標(biāo)函數(shù)[18]，現(xiàn)有的商業(yè)求解器只能求得局部最優(yōu)解，甚至對大規(guī)模問題得不到良好的可行解[19]。針對這一問題，本文作者利用分段線性松弛方法對多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型中的雙線性約束和非線性目標(biāo)函數(shù)進行處理，使復(fù)雜的MINLP模型轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的混合整數(shù)線性規(guī)劃問題（MILP）問題。與直接求解方法相比，分段線性松弛方法降低了計算的難度，從而可以在用水網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計問題中獲取全局最優(yōu)解。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1為KARUPPIAH和GROSSMANN[16]提出的水網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)，可以看出該超結(jié)構(gòu)包含一系列用水單元和若干個污染處理單元。在該圖中，PU表示用水單元，TU表示污水處理單元，M表示虛擬混合器，S表示虛擬分流器。它包含各個用水單元以及再生單元之間所有可能的連接方式，其他相關(guān)變量和集合可以參考本文符號說明部分。該超結(jié)構(gòu)能夠考慮到新鮮水的費用、處理單元的購置費用以及操作費用和管線連接費用等。

如式(1)所示，目標(biāo)函數(shù)為最小化年均化總費用（），其包括新鮮水的費用、處理單元的購置費用以及操作費用和管線費用。

式中，是新鮮水的消耗量；是處理單元的污水處理量；是年操作時間；、以及是各項的費用系數(shù)；是年均化費用因子。

管線連接用線性的計算公式，其連接費用與連接個數(shù)為線性關(guān)系[16]。管線費用如式(2)所示。

式中，和對應(yīng)的為決定虛擬分流器和混合器是否連接的整型變量。

新鮮水從水源經(jīng)過分流器分流后，被運輸?shù)礁鱾€用水單元，故其分流器處水的總流量等于其分流到各個用水單元的新鮮水流量fin之和，對應(yīng)的質(zhì)量守恒如式(3)所示。

從系統(tǒng)的整體來看，輸入新鮮水的量應(yīng)該等于輸出廢水的量。故末端廢水排泄處的總流量即為總的新鮮水用量，可以表示為所有用水單元的外排水總流量∑fout和所有污水處理單元的外排水總流量∑fout的加和，其質(zhì)量守恒如式(4)所示。

(4)

用水單元的用水流量F在進口混合器處等于其來自新鮮水源、其他用水單元及廢水處理單元的水流量之和（fin、∑fout及∑fout），質(zhì)量守恒如式(5)所示，該式中的和都表示用水單元。

(5)

混合器處的水經(jīng)用水單元使用后，要通過該用水單元出口處的分流器，被運輸?shù)狡渌盟畣卧皬U水處理單元（fout和fout），因此F又等于該用水單元分流到其他單元的水流量之和，其質(zhì)量守恒如式(6)所示。

(6)

廢水處理單元的水流量F等于其進口混合器處總流量，即來自用水單元及其他廢水處理單元供水的總和（fout及fout），其質(zhì)量守恒如式(7)所示，該式中的和表示不同的廢水處理單元。

(7)

污水經(jīng)過處理單元后，經(jīng)過分流器分流進入其他廢水處理單元用水單元及排放到環(huán)境中。故流經(jīng)廢水處理單元的水流量也等于其出口處分流器的各個分流量之和（fout及fout），其質(zhì)量守恒如式(8)所示。

(8)

末端廢水排泄的虛擬混合器處的雜質(zhì)的質(zhì)量守恒如式(9)所示。

式中，cout是雜質(zhì)的濃度。

用水單元進口的虛擬混合器處的雜質(zhì)的質(zhì)量守恒如式(10)所示。

, (10)

式中，cin是混合后用水單元的進口雜質(zhì)的濃度。

廢水處理單元進口的虛擬混合器處的雜質(zhì)的質(zhì)量守恒如式(11)所示。

, (11)

式中，cin是混合后廢水處理單元進口雜質(zhì)的濃度。

用水單元出口雜質(zhì)含量為進口雜質(zhì)含量與脫除的雜質(zhì)含量M加和，其雜質(zhì)的質(zhì)量守恒如式(12)所示。

, (12)

,(13)

2 方法

由式(1)～式(13)構(gòu)成的多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)模型是一個復(fù)雜的MINLP問題。這主要是因為一些非凸約束決定的。例如，式(9)～式(12)是一類雙線性等式約束。另外，目標(biāo)函數(shù)中污水處理單元的設(shè)備投資是其處理水量的指數(shù)函數(shù)，這也增加了計算的困難。因此，針對式(9)～式(12)中存在的雙線性約束，本文將利用分段線性松弛的方法經(jīng)行處理，使這些難處理的等式約束轉(zhuǎn)換成線性約束[16]。

對于雙線性等式約束，首先對在其下界lo和上界up內(nèi)將其分成個片段。如式(14)～式(16)，其中()是第段的下界而()是第段的上界，()表示分段的段數(shù)，()表示在第幾分段內(nèi)。

(14) (15) (16)

在第段內(nèi)對應(yīng)的變量為()，其相應(yīng)的約束如式(17)～式(19)。

(17) (18) (19)

在第段內(nèi)對應(yīng)的變量為()，其相應(yīng)的約束如式(20)～式(22)。

(20) (21) (22)

利用分段線性松弛的4個線性不等式逼近，如式(23)～式(26)。

(23) (24) (25) (26)

(27) (28) (29) (30) (31) (32) (33)

該模型中的非線性項經(jīng)過以上方法的處理后，其對應(yīng)的MINLP問題可以轉(zhuǎn)化為等效的MILP問題?，F(xiàn)有的商業(yè)優(yōu)化軟件對MILP的求解算法已成熟，可求得全局最優(yōu)解。

3 案例分析

本文案例取自文獻[16]中多雜質(zhì)用水系統(tǒng)的例子。該案例中包含1個新鮮水源、4個用水過程、2個污水處理單元、7個虛擬混合器及7個虛擬分流器。廢水中含有A和B兩種雜質(zhì)，用水網(wǎng)絡(luò)中的各種已知條件如表1和表2所示。其中，表1為用水單元關(guān)于不同雜質(zhì)A和B的排放負荷以及進出口雜質(zhì)濃度的上限，表2為污水處理單元雜質(zhì)的脫除率和設(shè)備費用因子。

表1 　過程用水?dāng)?shù)據(jù)[16]

表2 污水處理單元數(shù)據(jù)[16]

本案例中，基建設(shè)備的年均化費用因子為0.1，年平均操作時間為8000h，新鮮水的單價為1 $/t。本文通過數(shù)學(xué)規(guī)劃法，利用分段線性松弛的方法，使復(fù)雜的水網(wǎng)絡(luò)模型轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的MILP從而降低了計算的難度并獲取全局最優(yōu)解。

圖2為文獻[16]的設(shè)計結(jié)果，圖3為本研究獲得的最優(yōu)結(jié)果。對比可以看出，兩者的新鮮水用量都是40t/h。但該文獻中的設(shè)計有15個連接數(shù)且為928057$/a。而由本研究方法得到的設(shè)計方案只有13個連接數(shù)且為914361$/a。連接數(shù)較少是因為降低了13696$/a。因為該文獻中的用水單元2和用水單元3出現(xiàn)了交叉回用的情況。而在圖3中，用水單元1的出口水全部供給用水單元2使用，而用水單元2和用水單元3出口的水全部回用進入單元4。顯然，圖3的設(shè)計中未出現(xiàn)交叉回用的情況。因此，相對于前人文獻的設(shè)計結(jié)果，本研究所獲得的設(shè)計方案的較小，即本文得到的設(shè)計方案更優(yōu)。

4 結(jié)論

本文研究了含有再生循環(huán)單元的多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)的超結(jié)構(gòu)，對其數(shù)學(xué)規(guī)劃模型進行分析和處理。利用分段線性松弛的方法，使復(fù)雜的MINLP問題轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。降低了問題求解的難度且能獲取全局最優(yōu)解，得到一個經(jīng)濟性更好的多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)。在商業(yè)優(yōu)化軟件GAMS平臺上，對文獻中的工業(yè)案例進行優(yōu)化分析。案例結(jié)果表明優(yōu)化方案中管線連接數(shù)為13，這比文獻中的15條管線少，總的年度化費用降低了大約1.5%。因此，利用線性松弛的全局優(yōu)化方法對設(shè)計更優(yōu)的多雜質(zhì)用水網(wǎng)絡(luò)有著重要的意義。

符號說明

Af——基建設(shè)備費用的年投資率 a——變量分段的下界 b——變量分段的上界 Costpipe——管線費用，$/a c——變量在分段的值 card——變量分段的段數(shù) cin——進口處水雜質(zhì)濃度，μL/L cout——出口處水雜質(zhì)濃度，μL/L d——對應(yīng)分段變量的值 F——用水處理單元的水流量，t/h Fr——廢水處理單元的水流量，t/h Fw——新鮮水的流量，t/h fin——新鮮水到用水單元的流量，t/h fout——虛擬分流器各個分支的水流量，t/h Hc——新鮮水的單價，$/t Hour——年平均操作時間，h Ic——設(shè)備費用系數(shù) M——雜質(zhì)含量，kg/h Oc——廢水處理單元操作費用系數(shù)因子 P——用水單元集合 R——廢水處理單元集合 S——廢水中雜質(zhì)的集合 TAC——總年均化費用，$/a w——雙線性項對應(yīng)的值 x——雙線性項變量 y——雙線性項變量 yfin——入口連接管線存在與否的整型變量 yfout——出口連接管線存在與否的整型變量 z——分段的整型變量 α——廢水處理單元設(shè)備費用指數(shù)因子 下角標(biāo) i，j——用水單元 n——變量分段的個數(shù) r，t——廢水處理單元 s——雜質(zhì)種類

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Global optimization for multi-contaminant water networks with regeneration recycling unit

CHEN Xiaolu1，CHANG Chenglin2，WANG Yufei1，F(xiàn)ENG Xiao2

（1College of Chemical Engineering，China University of Petroleum，Beijing 102249，China；2New Energy Institute，China University of Petroleum，Beijing 102249，China）

The introduction of regeneration recycling unit can largely reduce freshwater consumption and wastewater discharge. The current optimization model of multiple contaminants water networks with regeneration recycling unit is a non-convex mixed-inter nonlinear programming problem（MINLP）. Solving directly without any strategy is very hard，slow and easily trapped into the local optimal solutions. In this paper，a global optimization strategy with piecewise linear relaxation was proposed. With the strategy the complex problem as an MILP model can be reformulated. The computational efforts can be reduced largely and the optimum solution can be obtained. A case study was illustrated to demonstrate the capability of our strategy and the global optimization solution had a significant impact on the total annual cost.

multi-contaminant water networks；mathematical model；piecewise linear relaxation；global optimization

TQ021.8

A

1000–6613（2017）06–2064–06

10.16085/j.issn.1000-6613.2017.06.014

2016-09-13；

2016-11-17。

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（2012CB720500）及國家自然科學(xué)基金（21576286）項目。

陳曉露（1993—），女，碩士研究生。聯(lián)系人：王彧斐，博士，副教授。E-mail：wangyufei@cup.edu.cn。