胡松偉

(91550部隊(duì)， 遼寧 大連 116023)

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變深度發(fā)射性能可靠性影響因素多元逐步回歸分析

胡松偉

(91550部隊(duì)， 遼寧 大連 116023)

針對(duì)某發(fā)射系統(tǒng)變深度性能可靠性影響因素最佳子集獲取問(wèn)題，綜合考慮設(shè)計(jì)偏差、裝藥性能偏差和環(huán)境因素，建立諸因素影響程度的多元逐步回歸模型。以性能試驗(yàn)信息為基礎(chǔ)，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中諸影響因素進(jìn)行相關(guān)性分析，計(jì)算給出諸影響因素的相關(guān)系數(shù)，回歸分析結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相吻合；以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步獲取環(huán)境因子進(jìn)行性能折算，結(jié)果表明經(jīng)多元回歸分析修正后的性能參數(shù)的估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差縮小，可有效提高變深度發(fā)射性能可靠性的估值精度。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 變深度發(fā)射； 性能可靠性； 影響因素； 多元逐步回歸分析

0 引言

隨著水下發(fā)射技術(shù)的發(fā)展，變深度發(fā)射性能可靠性作為評(píng)價(jià)潛射導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的關(guān)鍵戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，其指標(biāo)控制偏差不斷縮小，評(píng)估要求不斷提高，基于環(huán)境因子仿真進(jìn)行性能折算的傳統(tǒng)評(píng)估方法[1]需進(jìn)一步完善。隨著對(duì)性能參數(shù)分布特性認(rèn)識(shí)的深入，需要進(jìn)一步采用回歸的方法對(duì)潛射內(nèi)彈道性能的環(huán)境因子作綜合統(tǒng)計(jì)分析，以獲取影響因素的最佳子集，進(jìn)一步提高變深度發(fā)射能力評(píng)估的置信水平。本文針對(duì)變深度發(fā)射性能可靠性這一概率的影響因素，建立了回歸模型，通過(guò)比較回歸系數(shù)來(lái)反映與該系數(shù)對(duì)應(yīng)因素的貢獻(xiàn)大小，以實(shí)際發(fā)射試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立相關(guān)影響因素與性能參數(shù)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，分析了諸影響因素的影響程度，能有效提高變深度性能可靠性的估值精度。

試驗(yàn)檢驗(yàn)作為最重要的評(píng)估手段，速度、加速度、溫度、壓強(qiáng)等試驗(yàn)觀測(cè)量，是評(píng)估潛射導(dǎo)彈變深度發(fā)射性能可靠性的主要數(shù)據(jù)，常用的工程分析方法主要有作圖比較法、特征值統(tǒng)計(jì)法、數(shù)學(xué)模型法等[2]。前兩種方法比較直觀，但無(wú)法對(duì)諸影響因素的效應(yīng)進(jìn)行定量分析，數(shù)學(xué)模型法以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過(guò)建立回歸模型，定量描述性能參數(shù)與諸影響因素之間的函數(shù)關(guān)系，模型經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)之后，可以反推諸影響因素對(duì)性能可靠性的影響程度。但是由于問(wèn)題十分復(fù)雜，很難描述待估性能參數(shù)與諸影響因素之間的函數(shù)關(guān)系。于是可以采用多項(xiàng)式、階梯函數(shù)、樣條函數(shù)、分段折線等線性化方法進(jìn)行多元逐步回歸[3-6]。但是利用簡(jiǎn)單曲線也僅能描述單影響因素的主效應(yīng)，對(duì)于多影響因素間的交互效應(yīng)則需通過(guò)三維曲面等高線云圖來(lái)描述。

1 逐步回歸分析原理和算法

1.1 逐步回歸分析的原理

逐步回歸是一種篩選因素的方法，大多數(shù)統(tǒng)計(jì)軟件均具有逐步回歸功能。該方法在考慮的全部因素中按其對(duì)性能的作用大小、顯著程度大小，由大到小地逐個(gè)引入回歸方程，而對(duì)性能影響不顯著的因素始終不被引入回歸方程。另外，己被引入回歸方程的因素在引入新因素后也可能失去重要性，需要從回歸方程中剔除；引入一個(gè)因素或者從回歸方程中剔除一個(gè)因素都稱(chēng)為逐步回歸的一步，每一步都要進(jìn)行分布檢驗(yàn)，以保證在引入新因素前回歸方程中只含有對(duì)性能影響顯著的因素，而不顯著的因素已被剔除。經(jīng)過(guò)逐步篩選回歸，最后用所選上的影響因素子集建立性能參數(shù)的回歸方程[7-8]。

1.2 回歸準(zhǔn)則的選擇和制定

回歸準(zhǔn)則就是通常所說(shuō)的回歸模型優(yōu)劣評(píng)價(jià)指標(biāo)，有的統(tǒng)計(jì)軟件中稱(chēng)之為可決系數(shù)。常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)有：修正復(fù)相關(guān)系數(shù)R2最大法、平均殘差平方和(MSE)最小法、馬洛斯CP統(tǒng)計(jì)量最小法、預(yù)測(cè)偏差的方差(PBV)最小法、平均預(yù)測(cè)均方差(APMV)最小法、預(yù)測(cè)殘差平方和(PRESS)最小法、Akaike信息量(AIC)最小法。修正復(fù)相關(guān)系數(shù)R2達(dá)到最大，表明性能參數(shù)與各影響因素之間的線性相關(guān)程度最大，越大模型的擬合優(yōu)度越高；MSE達(dá)到最小，即用連續(xù)曲線擬合離散的影響因素的殘差平方和最小，表明回歸模型的隨機(jī)誤差最??；馬洛斯CP統(tǒng)計(jì)量達(dá)到最小，表明多個(gè)候選回歸模型的預(yù)測(cè)精確度接近最佳預(yù)測(cè)精度，最終得到的回歸系數(shù)與真實(shí)回歸系數(shù)之間無(wú)偏倚；AIC達(dá)到最小，表明所估回歸模型的復(fù)雜度可控、擬合數(shù)據(jù)最優(yōu)；PBV達(dá)到最小，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的差距、預(yù)測(cè)值的離散程度最??；APMV達(dá)到最小，表明預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)最低、回歸模型穩(wěn)定度最高；PRESS達(dá)到最小，表明所得到的回歸模型預(yù)測(cè)殘差累積最小，越小表明預(yù)測(cè)精度越高。

表1 性能參數(shù)的試驗(yàn)測(cè)量值及回歸偏差Tab.1 Live firing performance test data and regression errors

表2 4影響因素的回歸子集Tab.2 Regression subsets of influencing factors

表3 回歸子集的7種準(zhǔn)則值Tab.3 7 criteria values of regression subsets

由表3可見(jiàn)，不同準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的最佳回歸子集不同，如果取編號(hào)為5的回歸子集作為最佳回歸子集，就意味著噴水量和發(fā)射深度對(duì)出筒速度沒(méi)有影響，這顯然不正確；如果取編號(hào)為12的回歸子集作為最佳回歸子集，就意味著發(fā)射深度對(duì)出筒速度沒(méi)有影響，這顯然也不正確。不難發(fā)現(xiàn)利用上述7準(zhǔn)則無(wú)法確定最佳子集，編號(hào)為15的理想回歸子集沒(méi)有被選中，需要尋找新的準(zhǔn)則。

為嚴(yán)格滿(mǎn)足潛射內(nèi)彈道性能影響因素回歸分析的基本要求，本文將偏回歸平方和(PRSS)理論運(yùn)用到潛射內(nèi)彈道性能影響因素分析過(guò)程中，制定了增加因素和剃除因素的判別準(zhǔn)則，即采用標(biāo)準(zhǔn)化影響因素的PRSS極值分析法篩選潛射內(nèi)彈道性能的影響因素。進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)需要用到同時(shí)求線性方程組的解以及系數(shù)矩陣的逆矩陣的緊湊變換，推導(dǎo)出一系列回歸遞推公式，包括緊湊變換、回歸系數(shù)等的遞推公式，并根據(jù)多元逐步回歸分析，以環(huán)境因素的相關(guān)系數(shù)表示并得出諸影響因素的重要程度，這樣對(duì)性能指標(biāo)參數(shù)與諸因素之間的關(guān)系就有了可量化且更直觀的認(rèn)識(shí)。

1.3 多元回歸方程的建立

假定從總計(jì)p個(gè)備選影響因素中選取k個(gè)影響因素，則可能的線性回歸方程共有2k-1個(gè)，只有選擇最優(yōu)的影響因素子集建立回歸方程，才能獲得高精度的環(huán)境因子，正確進(jìn)行性能可靠性的折算與評(píng)估。

(1)

(2)

i,j=1,2,…,p.

標(biāo)準(zhǔn)化后，幾何平均值均為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則回歸方程可以表示為

式中：β0～βp為標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)；εvj為誤差。

若假定εvj獨(dú)立同分布，其均值為0，方差σ2未知，可以得到其系數(shù)矩陣的估計(jì)值：

(3)

1.4 回歸算法

(4)

簡(jiǎn)化起見(jiàn)，先選定4項(xiàng)影響因素(即取k=4)開(kāi)始篩選：主裝藥出廠燃速值用符號(hào)u0表示、主裝藥貯存天數(shù)用符號(hào)t表示、發(fā)射深度用符號(hào)H表示、噴水孔數(shù)用符號(hào)np表示，性能參數(shù)以速度參數(shù)v為例進(jìn)行描述。

(5)

通過(guò)待定系數(shù)法可得到回歸系數(shù)：

(6)

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析

2.1 性能參數(shù)與影響因素的相關(guān)性

變深度發(fā)射性能可靠性試驗(yàn)共計(jì)獲取了13組數(shù)據(jù)，對(duì)這13組數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，若相關(guān)系數(shù)|rij|≥0.8，則認(rèn)為因素xi和性能參數(shù)v有強(qiáng)的相關(guān)性；若0.3≤|rij|<0.8，則認(rèn)為有弱的相關(guān)性；若|rij|<0.3，則認(rèn)為沒(méi)有相關(guān)性。實(shí)際分析表明，諸因素不但獨(dú)自起作用，而且聯(lián)合起來(lái)起作用，也就是說(shuō)，不僅諸因素的水平改變時(shí)對(duì)性能指標(biāo)有影響，而且諸因素聯(lián)合搭配對(duì)性能指標(biāo)也有影響。單因素對(duì)性能指標(biāo)的影響通過(guò)曲線就可以描述；多因素的聯(lián)合搭配影響則需通過(guò)三維曲面等高線云圖來(lái)描述，其3個(gè)坐標(biāo)軸分別2個(gè)因素和性能指標(biāo)，描述u0-t-H-np4個(gè)影響因素需要6幅云圖(見(jiàn)圖1～圖6)。

圖1 u0-t-v三維云圖Fig.1 u0-t-v 3D contour map

圖2 u0-np-v三維云圖Fig.2 u0-np-v 3D contour map

圖3 u0-H-v三維云圖Fig.3 u0-H-v 3D contour map

圖4 H-np-v三維云圖Fig.4 H-np-v 3D contour map

圖6 np-t-v三維云圖Fig.6 np-t-v 3D contour map

2.2 影響因素之間的相關(guān)性檢驗(yàn)

采用后退法計(jì)算諸影響因素之間的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性顯著水平，若諸影響因素之間相關(guān)系數(shù)較小，且相關(guān)性顯著水平大于0.05，則可以認(rèn)為諸影響因素之間是相互獨(dú)立的，可以采用逐步回歸方法求解該多元回歸模型的表達(dá)式；否則說(shuō)明影響因素之間的交互作用對(duì)性能參數(shù)貢獻(xiàn)顯著，還有必要進(jìn)行2次回歸分析，即需要考慮貢獻(xiàn)顯著的2次項(xiàng)和交叉項(xiàng)。分析2.1節(jié)得到的因素響應(yīng)曲面云圖，圖1中性能參數(shù)v的截距變化較大，表明因素u0和因素t的組合作用對(duì)性能參數(shù)v影響較大，回歸模型應(yīng)該考慮該2次交叉項(xiàng)。

3 影響因素的逐步回歸分析

3.1 諸影響因素的引入

一般認(rèn)為，回歸方程包含的因素越多，回歸平方和越大，剩余平方和越小，剩余均方差也隨之愈小，預(yù)測(cè)值的誤差也愈小，模擬的效果愈好。但是如果方程中的因素增多，預(yù)報(bào)工作量就會(huì)加大，其中有些相關(guān)性不顯著的因素反而會(huì)影響預(yù)測(cè)效果。綜合考慮設(shè)計(jì)偏差、裝藥性能偏差和環(huán)境因素都會(huì)影響到發(fā)射內(nèi)彈道性能，進(jìn)而影響對(duì)變深度發(fā)射性能可靠性的估計(jì)。設(shè)計(jì)偏差因素包括：噴水壓差系數(shù)λ、噴水孔數(shù)目np、冷卻水量Ml、起飛質(zhì)量M、初始容積當(dāng)量長(zhǎng)度l、彈尾氣密環(huán)摩擦系數(shù)f、導(dǎo)彈適配器摩擦系數(shù)z、總壓恢復(fù)系數(shù)μ、流量系數(shù)σf；裝藥性能偏差因素包括：主裝藥出廠燃速u(mài)0、有效裝藥量m0、裝藥貯存時(shí)間t；環(huán)境參數(shù)因素包括：發(fā)射深度H、裝藥初溫Tt、冷卻水初溫Tl、筒底空氣初溫Ta.

貯存試驗(yàn)表明，燃速為29～31 mm/s的裝藥，在生產(chǎn)后貯存的前3年內(nèi)燃速會(huì)下降約1 mm/s，因此確立裝藥出廠燃速和裝藥貯存時(shí)間兩個(gè)相互獨(dú)立的影響因素，在回歸模型中引入2次項(xiàng)u0t項(xiàng)。u0-t-v的等高線云圖(見(jiàn)圖7)可以直觀解釋發(fā)射時(shí)的裝藥燃速性能u變化對(duì)性能參數(shù)v的影響。這樣分析與依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式u=(u0-0.140 87lnt)·[1+αT(Tt-T20 ℃)](αT為溫度敏感系數(shù))得到的預(yù)測(cè)結(jié)果一致(見(jiàn)圖8)。

圖7 u0-t-v等高線云圖Fig.7 u0-t-v contour map

圖8 u-t曲線Fig.8 u-t curve

簡(jiǎn)單的線性回歸模型無(wú)法解釋本文所討論的問(wèn)題，只能基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬、建模，通過(guò)比對(duì)線性擬合、2次擬合、3次擬合效果，最終選擇擬合最好的模型；同時(shí)要盡量免造成過(guò)擬合、欠擬合或者由于影響因素間的多重共線性而掩蓋某些因素的作用；對(duì)于模型的細(xì)節(jié)，比如要保留哪些模型項(xiàng)，還得依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)予以確定，本文依據(jù)模型的方差分析結(jié)果來(lái)確定哪些因素是重要的，必須在模型中保留。

一旦確定一個(gè)因素xk需要引進(jìn)回歸方程，必須利用引進(jìn)后已經(jīng)變換的相關(guān)系數(shù)矩陣，按前面相同的方法對(duì)回歸方程中已存在的其他因素再逐一進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以確定由于因素xk的引進(jìn)是否需要將其他因素從回歸方程中保留或剔除。具體選擇時(shí)應(yīng)注意某些因素高低水平的差值不能過(guò)大，以防掩蓋了其他因素的重要性，本文最終選取16項(xiàng)可信度大于85%的因素作為重要因素，經(jīng)過(guò)多元回歸分析修正后的性能參數(shù)的估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差明顯縮小，可有效地提高發(fā)射性能可靠性的估值精度。

3.2 逐步回歸迭代計(jì)算

依據(jù)方法步驟建立相關(guān)系數(shù)矩陣，并進(jìn)行緊湊變換如下：

…

分別計(jì)算各因素的PRSS，并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)結(jié)果列入表4.

表4 PRSS計(jì)算列表Tab.4 Results of PRSS

顯著性檢驗(yàn)結(jié)果表明，4個(gè)影響因素對(duì)速度貢獻(xiàn)較大，此時(shí)可建立回歸方程：

0.004 336 4t-0.003 917 12np-0.000 032 415u0t.

簡(jiǎn)化起見(jiàn)，該回歸方程省略了較小項(xiàng)，在對(duì)第6組性能試驗(yàn)結(jié)果2次回歸時(shí)，出現(xiàn)最大預(yù)測(cè)偏差σmax=-4.87%(見(jiàn)表1)，還需進(jìn)一步引入其他影響因素m0、Tt、λ、Ml、Tl、Ta、M、l、f、z、μ、σf項(xiàng)逐步進(jìn)行回歸迭代。

3.3 模型多重共線性診斷處置

回歸模型中的冗余信息不但不能提高對(duì)性能參數(shù)的解釋能力，反而會(huì)造成過(guò)擬合，諸因素間的多重共線性是不容忽視的。如果不消除模型的多重共線性，估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)就不會(huì)得到優(yōu)化，有時(shí)甚至?xí)踊?，因此需要進(jìn)行回歸模型的多重共線性診斷。成熟的解決方法有很多，如嶺回歸(RR)、主成份回歸(PCR)、偏最小二乘回歸(PLSR)、約束回歸(CR)、壓縮估計(jì)(SE)、特征根估計(jì)(LRE)以及分組壓縮主成份估計(jì)、嶺型壓縮主成份估計(jì)、組合主成份估計(jì)、嶺型組合主成份估計(jì)等衍生方法。

通常認(rèn)為RR比偏最小二乘回歸要好，但是其嶺參數(shù)沒(méi)有明確含義，它的參數(shù)估計(jì)始終是有偏估計(jì)，要謹(jǐn)慎選擇變量；PCR具有降維作用，但其回歸計(jì)算結(jié)果仍然會(huì)受到重疊信息的影響，并且難以有效確定衡量指標(biāo)；逐步回歸是一種選擇變量的建模方法，遇到嚴(yán)重共線性時(shí)則舍棄該變量，如果在所有影響因素中尋找到最優(yōu)子集，那么也就解決了有害共線性問(wèn)題，所以得到的回歸模型還是可以接受的，難點(diǎn)在于F檢驗(yàn)顯著性水平α選擇。分別將RR、PCR和逐步回歸得到的回歸系數(shù)列入表5，可見(jiàn)3種方法得到的結(jié)果基本一致，表中RR參數(shù)為0.36，PCR方程數(shù)為16.

表5 模型項(xiàng)回歸系數(shù)Tab.5 Regression coefficients of model terms

3.4 回歸模型的方差分析

一般認(rèn)為模型越顯著，其可靠性和準(zhǔn)確性就越高。對(duì)所建回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，進(jìn)入方程的一次項(xiàng)的P值(在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中表示拒絕假設(shè)的概率，在此處也就是回歸模型中不能引入該因素對(duì)性能參數(shù)進(jìn)行解釋的概率)均小于0.000 1，表明利用該回歸模型得到的計(jì)算結(jié)果僅有0.01%的概率不能用該因素解釋?zhuān)⒖墒÷訮值大于0.05的2次項(xiàng)和交叉項(xiàng)。

3.5 回歸擬合效果

圖形化表示便于直觀理解回歸擬合效果，前文利用三維曲面等高線云圖描述了諸因素對(duì)性能參數(shù)的影響，對(duì)回歸方程解空間的形狀也可以用立方圖進(jìn)行描述(見(jiàn)圖9)。

圖9 回歸方程的解空間Fig.9 Cube plot of sloution space

利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，在回歸模型的解空間內(nèi)的估計(jì)值與大部分水平組合的試驗(yàn)值相對(duì)誤差在5%～6%之間，模型預(yù)測(cè)與試驗(yàn)真值具有較好的吻合度(見(jiàn)圖10)，可用于預(yù)測(cè)不同設(shè)計(jì)狀態(tài)和使用工況條件下的出筒速度。

圖10 v實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的比對(duì)Fig.10 Trial result vs. predicted result of v

4 結(jié)論

依據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從回歸準(zhǔn)則的選取、回歸算法建模、環(huán)境因素篩選、相關(guān)性檢驗(yàn)、多重共線性診斷處置以及回歸模型的方差分析等方面，對(duì)影響變深度發(fā)射性能可靠性的主要影響因素進(jìn)行了系統(tǒng)的分析研究。

綜合考慮設(shè)計(jì)偏差、裝藥性能偏差和環(huán)境因素，建立了回歸分析模型，回歸分析結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相吻合，能夠顯著提高變深度發(fā)射性能可靠性的估值精度，后續(xù)將進(jìn)一步計(jì)算回歸模型殘差的正態(tài)分布概率，獲取殘差分布特性，進(jìn)一步優(yōu)化回歸模型，以提高模型的解釋能力。

另外，由于諸因素的變化梯度不同，得到的回歸系數(shù)不盡相同，本文回歸方程的回歸系數(shù)是以表1中各因素的均值為中值，以半標(biāo)準(zhǔn)差為梯度得到的，如果采用該方程進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算，還需詳細(xì)劃分裝藥燃速、水深和冷卻水量等因素水平，才能獲得更加精確的解空間。

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Analysis of Influencing Factors on Reliability of Varable DepthSubmarine-launched System Based on Multivariate Stepwise Regression

HU Song-wei

(Unit 91550 of PLA, Dalian 116023, Liaoning, China)

Reliability of underwater varable depth launching system is affected by various influencing factors. The weight and offsetting of projectile are studied by multivariate stepwise regression analysis method, and the second-order algorithm of the models is established. Design deviation, charge performance deviation and environmental factos are taken into account. The relativity analysis for each factor is carried out based on the live firing performance test information of a certain type submarine-launched missile. The effects of the influencing factors, correlation coefficients of each factor and best regression subset are discussed. The results of the regression analysis accords well with the live firing phenomena. Based on this method, the experimental results indicate that the estamated error standard deviation of functional reliability parameter is improved. Multiple stepwise regression method improves the estimation precision. It is feasible and effective to analyze the influencing factors.

ordnance science and technology; changeble-depth launch; performance reliability; influencing factor; multiple stepwise regression analysis

2016-08-24

軍內(nèi)科研項(xiàng)目(2013年)

胡松偉(1976—), 男, 工程師。 E-mail: goto55@sina.com

TJ762.4+1

A

1000-1093(2017)05-0986-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.05.019