于滌非， 張春華， 黃勇

(中國科學院大學, 北京 100190)

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改進型圓面陣的快速波束形成算法設計

于滌非， 張春華， 黃勇

(中國科學院大學, 北京 100190)

為降低基于圓面陣的三維成像聲納波束形成算法的運算量，提出改進圓面陣布陣陣型設計及優(yōu)化波束方位的方法。改進型圓面陣由多條通過圓心的線陣組成，其波束形成等效于所有線陣波束形成結果的疊加；通過對波束方位進行優(yōu)化，使得每一條線陣的波束形成過程等效為等長度的一維快速傅里葉變換運算。仿真結果表明，改進型圓面陣的波束形成運算量較直接計算顯著降低。運用改進型圓面陣可顯著降低三維成像聲納信號處理系統(tǒng)的復雜度,提高了聲納的綜合性能。

聲學; 三維成像聲納; 圓面陣; 波束形成; 快速傅里葉變換

0 引言

近年來，利用平面換能器陣通過波束形成對水下目標進行三維成像技術發(fā)展迅速。實時三維成像聲納[1-6]常用的平面基陣為方陣[1-3]、同心圓面陣[2-6]等。

基于方陣的三維成像聲納的優(yōu)點是存在大量快速波束形成算法，能夠運用快速傅里葉變換(FFT)[2]或Chirp z變換(CZT)[7]等方法降低運算量?？梢圆捎镁幊谭奖沆`活的數(shù)字信號處理器(DSP)實現(xiàn)其信號處理系統(tǒng)[8]。但也存在一定的缺點，在基陣陣元數(shù)一定的情況下，聲納的視場范圍與測向精度是一對矛盾。為提高測向精度，需要增加陣元間距以擴大基陣孔徑，而陣元間距的增加會縮小視場范圍。如果同時提高測向精度和視場范圍，則必須大量增加基陣陣元數(shù)，從而增加系統(tǒng)復雜度。

基于同心圓面陣的三維成像聲納在一定程度上可以解決視場范圍與測向精度間的矛盾。同心圓面陣陣元間距大于半波長時，其波束方向圖上不會出現(xiàn)柵瓣[4]，因此在陣元數(shù)一定的條件下，聲納可以同時獲得較大的視場范圍與較高的測向精度。但基于同心圓面陣的三維成像聲納同樣有一定的缺點，文獻[9]指出圓面陣的波束形成可等效為廣義傅里葉變換，運算量較大，且無法通過FFT、CZT等方法降低運算量，因此對于基于同心圓面陣的三維成像聲納，其信號處理系統(tǒng)較為復雜，一般只能采用圖形處理器(GPU)[10]或現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)[11]實現(xiàn)。其實現(xiàn)難度較大，靈活性較差。

因此，三維成像聲納設計時很難兼顧視場范圍、測向精度、運算量、陣元數(shù)這4方面的性能，一般都需要犧牲某些方面的性能以保證主要指標滿足設計要求。為解決上述問題，本文提出一種改進型圓面陣設計，基于該圓面陣的三維成像聲納能夠兼顧這4方面的性能，從而提高聲納整體性能。

1 基于同心圓面陣三維成像聲納的特點

假設布陣間距為d，聲納發(fā)射單頻脈沖信號，波長為λ，使用如圖1所示的俯仰角θ及方位角φ定義。

圖1 聲納方位角及俯仰角定義Fig.1 Definition of azimuth and elevatioan angle of sonar

文獻[1]中采用半波長布陣的正方形柵格圓面陣，視場范圍為θ∈[0°，90°]，φ∈[0°，360°]，陣元數(shù)為3 136，角分辨率為1.6°. 文獻[2]中采用波長布陣的方陣，角分辨率為1°，陣元數(shù)為2 304，視場范圍為θ∈[0°,30°],φ∈[0°,360°]. 波長布陣相比于半波長布陣可以獲得更高的測向精度，但視場范圍有所降低。

同心圓面陣相比于方陣的優(yōu)點是可以在陣元數(shù)基本不變的條件下，同時提高角分辨率及視場范圍。

對比文獻[2]中的方陣，如果采用陣元數(shù)基本相同的同心圓面陣，則在波長布陣時，其角分辨率為0.93°，視場范圍為θ∈[0°，90°]，φ∈[0°，360°].

同心圓面陣上，所有的陣元均分布在同心圓環(huán)上，相鄰圓環(huán)的半徑差為布陣間距d；每個圓環(huán)上，陣元均勻分布，陣元間距同樣為d. 一個具有2 362陣元，布陣間距等于波長的同心圓面陣陣型如圖2所示。

圖2 同心圓面陣陣型Fig.2 Concentric circular array

遠場條件下，基于圖2的三維成像聲納對位于θ=30°、φ=180°的點目標成像的波束方向圖在sinφ=0切片上與方陣的結果對比如圖3所示。

圖3 同心圓面陣與方陣波束方向圖對比Fig.3 Comparison of beam pattern of concentric circular array and square array

方陣的波束方向圖在θ=30°、φ=0°出現(xiàn)柵瓣，而同心圓面陣的結果沒有出現(xiàn)柵瓣，位于θ=30°、φ=0°的波束高度為-15.21 dB. 因此同心圓面陣的視場范圍可以達到θ∈[0°，90°]，φ∈[0°，360°]. 表1為3種陣型的比較。

表1 不同陣型性能比較Tab.1 Comparison of performances of different arrays

圖4為同心圓面陣在視場范圍內對該點目標成像的波束方向圖。

圖4 同心圓面陣對點目標成像的波束方向圖Fig.4 Beam pattern of point target imaged by concentric circular array

方陣[2]要同時達到角分辨率為1°，視場范圍為θ∈[0°,90°],φ∈[0°,360°]，則基陣陣元數(shù)需要增加至9 216陣元。這不僅增加了系統(tǒng)復雜度，同時由于布陣間距減小，基陣陣子的直徑也同時減小，其內阻增加[12]，會導致數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)輸出信號的信噪比降低。

基于同心圓面陣的三維成像聲納則可以在陣元數(shù)一定的條件下，同時提高角分辨率及視場范圍。

但同心圓面陣的波束形成無法采用FFT運算降低運算量，其波束形成實現(xiàn)一般只能采用編程復雜、靈活性較差的GPU或FPGA，不適合使用DSP. 如果能對同心圓面陣進行改進，使得改進型圓面陣可以使用FFT算法降低運算量，則可以在提高三維成像聲納性能的同時降低算法的實現(xiàn)難度。

2 圓面陣陣型設計

方陣、六角形陣等陣型之所以存在頻域FFT波束形成[9]，是因為這兩種陣型均可以通過線陣拓撲得到。如果設計一種圓面陣，其陣型同樣可以通過線陣拓撲得到，則該圓面陣也可以通過FFT運算降低運算量。

文獻[13]中給出一種可以通過線陣拓撲得到的圓面陣，組成圓面陣的每一條線陣為均勻線陣且均不是稀疏的。如果按照這種方式構造圓面陣，則在基陣孔徑一定的情況下，基陣只能集成很少的陣元，陣增益較低，不適合三維成像聲納。對這種設計方式進行改進，使設計的圓面陣滿足三維成像聲納的應用需求。

三維成像聲納設計時，一般會根據(jù)性能指標要求、加工工藝水平、電路規(guī)模等限制條件確定聲納基陣能夠集成的陣元數(shù)及陣元間距。因此改進型圓面陣的設計目標是在給定陣元間距d以及給定基陣的期望陣元數(shù)Ke條件下，設計一種圓面陣滿足：

1) 圓面陣上任意相鄰兩個陣元間距不小于d；

2) 圓面陣的陣元數(shù)盡可能接近Ke；

3) 圓面陣由同心圓環(huán)陣構成，同時可由線陣拓撲而成；

4) 盡可能降低基陣孔徑，即陣元間距盡可能接近d.

基于如上要求設計的圓面陣，可以在陣元數(shù)一定的條件下盡可能減小基陣面積，從而降低聲納的體積。

為達到設計要求，按照如下方式構造面陣：

1) 假設圓面陣的層數(shù)M=3(中心陣元不算做一層)，即圓面陣由M個同心圓環(huán)陣組成，第m層圓環(huán)陣半徑為md；

kmax(M)=3602arcsin(12M)

2) 計算第M層圓環(huán)陣陣元間距為d時能容納的最多陣元數(shù)

，其中?」表示向下取整。初始化搜索過程中的最外層陣元數(shù)變化量Θ=0；

kM(Θ)=2(kmax(M)2-Θ)

αm=2arcsin(12m)α

4) 令m=m-1，計算第m層圓環(huán)陣相鄰兩個陣元方向向量夾角

Km(Θ)=360αm

α，「?表示向上取整，即第m層圓環(huán)陣相鄰兩個陣元方向向量夾角必然為α的整數(shù)倍。第m層圓陣的陣元數(shù)為

；

Θ=kmax(M)22

6) 令Θ=Θ+1,回到第3步，統(tǒng)計并記錄K(M,Θ)，直至；

7) 求取K(M,Θ)的最大值K(M,Θmax)，則K(M,Θmax)即為當圓面陣層數(shù)為M時，能夠容納的最多陣元數(shù)；

8) 如果K(M,Θmax)≥Ke，則M即為圓面陣層數(shù)，Θmax對應的kM(Θ)即為圓面陣最外層陣元數(shù)，該圓面陣已滿足設計要求，搜索過程結束。如果K(M,Θmax)

按照以上步驟構造的圓面陣，是陣元數(shù)量大于Ke且最接近Ke的圓面陣，且在該數(shù)量下做到了孔徑最小，圖5為搜索圓面陣層數(shù)流程圖。

圖5 圓面陣層數(shù)搜索流程圖Fig.5 Flow chart of layer number searching of improved circular array

圖6為計算層數(shù)為M的圓面陣能容納陣元數(shù)量最大值的算法流程圖。

圖6 層數(shù)為M的圓面陣最大陣元數(shù)搜索流程圖Fig.6 Flow chart of maximum sensor number searching of M-layer improved circular array

構造過程實際是兩個嵌套的窮舉過程，首先從圓面陣可能的最小層數(shù)開始，計算圓面陣能夠包含的最多陣元數(shù)。如果陣元數(shù)大于期望陣元數(shù)Ke，則可以確定使得圓面陣陣元數(shù)大于Ke的最小層數(shù)。

在計算層數(shù)為M的圓面陣能夠容納陣元數(shù)的最大值時，首先根據(jù)陣元間距計算第M層最多陣元數(shù)，窮舉第M層陣元數(shù)為大于最多陣元數(shù)一半的所有偶數(shù)。計算對應的圓面陣能夠包含的陣元數(shù)，陣元數(shù)最大值即為層數(shù)為M的圓面陣至多能包含的陣元數(shù)。這樣構造的圓面陣，由層數(shù)及最外層陣元數(shù)唯一確定。

改進型圓面陣上，位于同一圓環(huán)陣上的相鄰兩個陣元方向向量夾角均為α的整數(shù)倍。假設圓面陣中心陣元位于圓面陣坐標系原點，則圓面陣可以看做由L=KM(Θmax)/2條穿過坐標原點的線陣組成。因此該圓面陣可以分解為多個圓環(huán)陣，相鄰圓陣的半徑差為d，也可以分解為多個稀疏線陣，線陣相鄰兩個陣元間距必然為d的整數(shù)倍。

圖7 改進型圓面陣實例Fig.7 Example of improved circular array

圖7為Ke=48的圓面陣。該圓面陣包含53個陣元，共4層，可以分解為4個等間距圓環(huán)陣，同時可以分解為12條線陣，每條線陣相鄰陣元間距為d的整數(shù)倍。

3 波束方向圖波束分布設計

圖7所示的圓面陣，是由12條線陣等角度旋轉拓撲而成。因此該圓面陣在波束形成時，等效為12條線陣波束形成結果的線性疊加。球坐標系下，層數(shù)為M，最外層陣元數(shù)為2L的改進型圓面陣在發(fā)射單頻矩形信號時[2]的遠場波束形成公式為

B(u)=

(1)

式中：ωln為第l條線陣上、第n個陣元的權重，如果該位置沒有陣元，則權重為0；Sln為該陣元收到的信號經(jīng)解調后得到的復信號；u=(ux,uy,uz)=(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)為波束的單位方向矢量。

由三角函數(shù)公式，(1)式可化為

(2)

令

(3)

(3) 式表示第l條線陣的波束形成過程。因此改進型圓面陣的波束形成過程，等效為L條線陣波束形成結果的線性疊加。

由于組成改進型圓面陣的每一條線陣均是對一個陣元間距為d的均勻線陣的稀疏抽取，因此只要合理地選取波束方向[9]，就可以使用一維FFT運算來計算每一條線陣的波束方向圖，從而降低計算量。

由于組成圓面陣的線陣不是平行的，而是等角度旋轉而形成的，如果波束方向選取不合理，會造成不同線陣在波束形成時，其FFT的長度不同，F(xiàn)FT長度越長，計算量越大。為獲得最低計算量，需要設計一種波束方向圖的波束分布方式，滿足如下兩個條件：

1)可以使用一次一維FFT運算來計算每一條線陣的波束形成過程；

2)組成圓面陣的每一條線陣波束形成時，所對應的一維FFT運算長度相等。

對于(3)式，假如存在整數(shù)k、Nl，使得

(4)

則(3)式可化為

因此當波束分布滿足(4)式的約束時，就可以采用一次一維FFT運算優(yōu)化每一條線陣的波束形成過程，從而滿足條件1.

條件2則要求：N0=N1=…=NL-1=N，即對于所有線陣，其FFT運算的長度均為N. 由(4)式可知，Nl的取值與cos(φ-lα)的值域集合相關。

當l取不同值時，如果cos(φ-lα)的值域集合完全相同，則必然有Nl=N. 因此為使波束分布滿足條件2，必須對φ的選取進行優(yōu)化。

若波束方向圖上每一個波束，其對應的φ滿足：

此時有Nl=N，l=0，2，…，L-1，則(2)式化為

(6)

p、H均為整數(shù)，因此當波束分布滿足(5)式的約束時，對于任意l，一維FFT運算的長度相等。

除滿足(4)式和(5)式外，波束分布同樣需要滿足視場范圍及測向精度的要求。假設需要計算的波束方向圖視場角為θ∈[0，θmax]，角分辨率為γ，則可以按照如下步驟，設計波束分布方式：

I=sinθmaxsinγ

1)所有波束分布在I個等間距同心圓環(huán)上，即sinθ=0∶sinγ∶sinθmax，則

2)在第i個圓環(huán)上，波束為均勻分布，數(shù)量為Ji，i=0，1，2，…，I-1，i=0表示波束位于波束方向圖中心，對應θ=0°；

3)計算θ=θmax圓環(huán)上夾角為γ的相鄰波束方位角φ的差值βγ，圖8為示意圖。

圖8 方位角差值計算示意圖Fig.8 Sketch of azimuth difference calculation

單位向量OA、OB為兩個俯仰角均為θ=θmax的波束方向向量，兩向量的夾角為角分辨率γ，向量OC、OD為OA、OB在Oxy平面內的投影向量，則向量OC、OD的夾角即為向量OA、OB所對應方位角的差值。

4)計算β：

β=ααβγ=αkα

，

當βγ<α時，α必為β的整數(shù)倍，當βγ≥α時，β=α,因此kα必為正整數(shù)；

βi，βi=2arcsin(sin(γ/2)sinθi)ββ=kiβ

Ji=360βi

5)計算位于第i個圓環(huán)上相鄰波束方位角φ的差值,即每一個波束對應的方位角φ必然為β的整數(shù)倍。該圓上包含的波束數(shù)量為，則位于第i個圓環(huán)上，第j個波束的方向矢量為u(i,j)=(sinθi·cos(jkiβ),sinθisin(jkiβ),cosθi),i=0,1,2,…,I-1,j=0,1,2,…,Ji-1.

至此，確定波束方向圖上所有需要計算的波束的方向矢量。

圖9為對應圖7圓面陣波束方向圖的波束分布，視場范圍θ∈[0°,8°]，φ∈[0°,360°],角分辨率γ=2°.

圖9 優(yōu)化的波束分布圖Fig.9 Optimized beam distribution

4 圓面陣遠場頻域FFT波束形成

當波束分布滿足(4)式和(5)式時，(6)式成立，此時波束形成過程等效為L次N點一維FFT運算結果的線性疊加。

由波束分布設計過程可以看到(5)式是可以嚴格滿足的，而(4)式中的等號很難嚴格成立，但必然存在一個正整數(shù)N,使得在某一精度要求下有

(7)

則

(8)

假設波束方向圖共包含Nb個波束，則運算量為L次N點FFT，(L-1)Nb次復數(shù)加法，LN次復數(shù)乘法。

N=2log2λdsinγsinβ

假設圓面陣陣元間距d=λ，期望陣元數(shù)為2 304,則根據(jù)圖5所示流程搜索到的圓面陣具有陣元T=2 314，由M=30個同心圓環(huán)陣組成。同時該圓面陣可分解為L=75條線陣，如圖10所示。

圖10 2 314陣元圓面陣陣元分布圖Fig.10 Distribution map of array elements of improved circular array

假定計算的波束方向圖視場范圍θ∈[0°,90°]，φ∈[0°,360°],角分辨率γ=1°，則該波束方向圖包含Nb=14 222個波束，F(xiàn)FT長度N=8 192.

由于每條線陣原始數(shù)據(jù)長度為2M+1=61?8 192，因此可以利用Partial FFT簡化運算，將一次8 192點Partial FFT分解為128次64點FFT.

相比于直接計算，采用頻域FFT波束形成，減少了92.5%的復數(shù)乘法以及85.6%的復數(shù)加法。

表2為圖10所示圓面陣使用(1)式直接波束形成及FFT頻域波束形成運算量比較。

表2 運算量比較Tab.2 Comparison of operation quantity

圖11為圖10所示圓面陣，在視場范圍θ∈[0°,90°]，φ∈[0°,360°]內，對俯仰角為0°方位點目標成像時的波束方向圖，主瓣寬度0.963 8°，主副瓣比19.06 dB.

圖11 對θ=0°方位點目標成像時的波束方向圖Fig.11 Beam pattern of θ=0° point target imaged by improved circular array

由于(8)式中，B(k)與B(u(i,j))并非嚴格相等，因此在對數(shù)波束方向圖上，F(xiàn)FT波束形成算法計算的BP(k)與通過(1)式直接計算的BP(u(i,j))之間存在一定的誤差。該誤差與FFT長度N的取值有關，N越大，誤差越小，計算量越大。在聲納設計時，需要根據(jù)實際情況取得誤差與計算量之間的折衷，以使聲納獲得最佳的綜合性能。

考察圖11中，所有波束高度高于-35 dB的波束與通過(1)式直接計算結果之間的誤差σ(i,j)：σ(i,j)=|BP(u(i,j))-BP(k)|，BP(u(i,j))>-35 dB,BP(k)>-35 dB.

圖12為σ(i,j)的統(tǒng)計直方圖,平均誤差為0.016 dB，最高誤差為0.058 dB.

圖12 波束高度大于-35 dB的波束誤差統(tǒng)計Fig.12 Error statistics of beam higher than -35 dB

表3為N取不同值時，誤差與計算量的比較。

5 改進型圓面陣柵瓣分析

改進型圓面陣能夠在布陣間距等于波長的條件下，對空間點目標成像不出現(xiàn)假目標[4-5]，是因為組成圓面陣的線陣是旋轉的，而不是平行的。

表3 N取不同值時誤差與計算量的比較Tab.3 Comparison of operation quantity and errors for different N

組成圓面陣的每一條線陣的布陣間距為波長，因此對于每一條線陣而言，其對點目標成像必然會出現(xiàn)柵瓣。但由于線陣是通過旋轉組成圓面陣的，因此所有線陣形成的柵瓣能量經(jīng)疊加后均勻分布在圓周上，而不是位于一點，因此不會出現(xiàn)假目標。

圖13為對位于θ=30°、φ=180°的點目標成像的波束方向圖。

圖13 θ=30°、φ=180°方位點目標成像的波束方向圖Fig.13 Beam pattern of θ=30°， φ=180° point target

圖13中點目標所形成的柵瓣能量近似均勻分布在圓周上，在平面直角坐標系下，該圓周的方程為

(x-x0)2+(y-y0)2=R2，

圖14 改進型圓面陣與方陣波束方向圖對比Fig.14 Comparison of beam patterns of improved circular array and square array

方陣波束方向圖上，在θ=30°、φ=0°方位出現(xiàn)柵瓣，而改進型圓面陣在該方位附近波束的最大高度為-21.9 dB.

6 結論

為降低采用圓面陣的三維成像聲納的信號處理系統(tǒng)復雜度，提出改進型圓面陣陣型設計及優(yōu)化波束方位的方法，使得改進型圓面陣的波束形成可等效為多次一維FFT運算結果的線性疊加。

仿真結果表明：

1)相比于傳統(tǒng)同心圓面陣的波束形成算法，改進型圓面陣的波束形成計算量大幅度降低。

2)采用改進型圓面陣的三維成像聲納的信號處理系統(tǒng)復雜度較低，易于實現(xiàn)，使得聲納可以同時兼顧視場范圍、測向精度、運算量、陣元數(shù)4個方面，具有良好的綜合性能。

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Design of Fast Beam Forming of Improved Circular Planar Array

YU Di-fei， ZHANG Chun-hua， HUANG Yong

(University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

In order to reduce the computational complexity of beam forming of 3D imaging sonar based on circular planar array, a method of improving the array design and optimizing the beam azimuth is proposed. The improved circular array consists of a plurality of linear arrays passing through the center, and the beam forming is equivalent to the superposition of the beam forming of all the linear arrays. By optimizing the beam azimuth, the beam forming process of each linear array is equivalent to a one-dimensional fast Fourier transform operation of equal length. The simulated results show that the beam forming computation of the improved circular array is significantly lower than that of the direct calculation. The use of improved circular array can significantly reduce the complexity of the signal processing system and improve the comprehensive performance of 3D imaging sonar.

acoustics; 3D underwater sonar; circular arrays; beam pattern; fast Fourier transform

2016-08-11

國家自然科學基金項目(11304343)

于滌非(1982—)， 男， 博士研究生。 E-mail: nacassoce@163.com

張春華(1962—)， 男， 研究員， 博士生導師。 E-mail: zch@mail.ioa.ac.cn

TB565+.2; TN911.72

A

1000-1093(2017)05-0959-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.05.016