王樂洋，陳漢清

1. 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌330013

?

多波束測深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法

王樂洋1,2,3，陳漢清1,2

1. 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌330013

針對利用最小二乘配置處理多波束測深數(shù)據(jù)，存在二次曲面數(shù)學(xué)模型通常無法精確表征海底地形的整體變化趨勢以及觀測數(shù)據(jù)存在粗差或異常點(diǎn)時(shí)，常規(guī)方法給出的協(xié)方差函數(shù)不能精確表征其統(tǒng)計(jì)特性的問題，本文提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法。該方法首先進(jìn)行協(xié)方差函數(shù)和觀測值方差陣初始化，以多面函數(shù)擬合趨勢項(xiàng)，然后應(yīng)用等價(jià)權(quán)抗差估計(jì)并通過迭代計(jì)算，最終給出穩(wěn)健的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)解及最小二乘配置解。利用本文提出的方法及傳統(tǒng)的方法處理實(shí)測的多波束測深數(shù)據(jù)，試驗(yàn)結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的方法，本文提出的方法能夠較好地表征海底地形的整體變化趨勢，一定程度上克服了多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)的影響。相比于傳統(tǒng)的抗差方法，本文方法更為有效地識(shí)別出測深數(shù)據(jù)中異常點(diǎn)，推估效果較好，具有穩(wěn)健性。

最小二乘配置；海底地形生成；協(xié)方差函數(shù)；抗差；趨勢項(xiàng)

近年來，在海底地形測量技術(shù)中多波束測深系統(tǒng)成為海洋測量的主要設(shè)備，給研究區(qū)域的海底地形構(gòu)建帶來了豐富的數(shù)據(jù)資料[1]。高精度的海底地形地貌信息是保障海上船只航行及艦艇作戰(zhàn)訓(xùn)練安全的必備資料，也是海洋工程、資源開發(fā)和海洋科學(xué)研究等多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)信息[2]。為了提高海底地形構(gòu)建的精度，必須采用合適的算法對多波束測深數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，眾多學(xué)者作了大量的研究工作[3]。文獻(xiàn)[3]提出了抗差Kriging擬合方法，該方法在精確估計(jì)的同時(shí)能夠檢測測深數(shù)據(jù)的異常點(diǎn)，但是該方法需要測深數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)假設(shè)或內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)，只能對平坦的海底數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

最小二乘配置最初是由Trarup提出，是用來研究地球形狀和重力場的一種數(shù)學(xué)方法[4]，隨后Moritz和Wolf對最小二乘配置作了進(jìn)一步研究[5-6]。如今，最小二乘配置已被廣泛應(yīng)用于地殼形變分析[7-9]、高程異常[10]、重力異常[11]、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[12]等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[13]將最小二乘配置應(yīng)用于海道測量非定位點(diǎn)的估計(jì)中，利用區(qū)域深度場信息解算出非定位點(diǎn)的水深值，該方法方便精度評估，取得了不錯(cuò)的效果。最小二乘配置能夠顧及多波束測深數(shù)據(jù)具有趨勢性和隨機(jī)性的影響，但無法探測出多波束測深數(shù)據(jù)中的粗差或異常點(diǎn)，針對于此問題，文獻(xiàn)[14]提出了一種抗差最小二乘配置方法進(jìn)行處理，取得了良好的效果。文獻(xiàn)[15]對多波束測深數(shù)據(jù)處理的傳統(tǒng)抗差最小二乘配置方法和抗差Kriging擬合方法進(jìn)行了比較分析，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了在多波束測深數(shù)據(jù)處理中，最小二乘配置在模型上優(yōu)于Kriging擬合方法。但現(xiàn)有的多波束測深數(shù)據(jù)處理的配置法均基于二次多項(xiàng)式擬合趨勢項(xiàng)，一般情況下，特別是在海底地形起伏較大時(shí)，二次多項(xiàng)式難以表征海底地形的整體變化趨勢，甚至擬合的地形可能會(huì)出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”[16]，從而導(dǎo)致后續(xù)的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)估計(jì)存在偏差；另一方面，由于海況環(huán)境、測量儀器以及人為等因素的影響，多波束測深數(shù)據(jù)不可避免的存在粗差點(diǎn)或異常點(diǎn)的情況，迫切需要一種有效的抗差方法進(jìn)行處理。

為了解決以上兩個(gè)問題，提高多波束測深數(shù)據(jù)處理的精度，本文提出一種抗差最小二乘配置迭代解法，該方法以多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二次多項(xiàng)式擬合海底地形的趨勢項(xiàng)，應(yīng)用Huber權(quán)函數(shù)并通過迭代的方式求出經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)參數(shù)估計(jì)和最小二乘配置解。最后利用本文方法、傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法及最小二乘配置方法進(jìn)行實(shí)際的多波束測深數(shù)據(jù)處理，驗(yàn)證了本文方法的有效性與可行性。

1 多波束測深數(shù)據(jù)處理的最小二乘配置方法

最小二乘配置方法能夠同時(shí)顧及到海底地形的趨勢項(xiàng)及隨機(jī)項(xiàng)，根據(jù)海底地形生成的特點(diǎn)，建立多波束測深觀測模型[17-18]

Z=GY+BX+Δ

(1)

(2)

式中，DΔ為測深值方差陣，PΔ為測深值權(quán)陣。將式(1)改寫成誤差方程形式

(3)

根據(jù)廣義最小二乘原則，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

(4)

式中，PX為多波束測深已測點(diǎn)與未測點(diǎn)的權(quán)陣，由式(4)求自由極值，并通過整理，得

(5)

將式(3)代入式(5)，通過法方程解算，得到多波束測深數(shù)據(jù)處理的最小二乘配置解[17]

(6)

式中，P=(DΔ+DS)-1；DS為測深值已測點(diǎn)信號(hào)協(xié)方差；DS′S為測深值未測點(diǎn)信號(hào)與已測點(diǎn)信號(hào)的協(xié)方差。其中，DS和DS′S由經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)給出，常選定高斯函數(shù)進(jìn)行擬合[8-9,14]

(7)

(8)

(9)

式中，(xi,yi)為i點(diǎn)測深值的坐標(biāo)，Y=[abc

def]T為二次多項(xiàng)式模型待估參數(shù)。但一般情況下，特別是在海底地形起伏較大的區(qū)域，利用二次多項(xiàng)式擬合海底的整體連續(xù)變化趨勢可能會(huì)出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”[16]，不能夠精確地表征海底地形的整體連續(xù)變化情況。本文針對此問題，提出利用多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二次多項(xiàng)式進(jìn)行海底地形整體變化趨勢的擬合。

文獻(xiàn)[19—20]提出了多面函數(shù)模型來逼近不規(guī)則表面的思想，即任何的一個(gè)數(shù)學(xué)表面均可由一系列的數(shù)學(xué)表面的總和，以任意的精度進(jìn)行逼近。文獻(xiàn)[21]提出了基于多面函數(shù)的最小二乘配置改進(jìn)方法，該方法利用多面函數(shù)擬合地殼形變的趨勢項(xiàng)，并得到了較好的效果。假設(shè)海底地形的整體趨勢是一個(gè)連續(xù)不規(guī)則變化的表面，基于多面函數(shù)的優(yōu)良特性，利用多面函數(shù)對海底地形的整體趨勢項(xiàng)進(jìn)行逼近[20]

(10)

式中，γi為待定系數(shù)，R為核函數(shù)，(xi,yi)為核函數(shù)的選定點(diǎn)坐標(biāo)。其中，核函數(shù)R的表達(dá)形式為

(11)

h=Rγ

(12)

以多面函數(shù)擬合海底地形的整體連續(xù)變化趨勢，在最小二乘配置的框架下，把多面函數(shù)融入最小二乘配置中，此時(shí)基于多面函數(shù)的最小二乘配置函數(shù)模型為

Z=Rγ+BX+Δ

(13)

式中，Rγ表示海底地形的整體連續(xù)變化部分；R為n×m維的核函數(shù)矩陣；γ為m×1維的待定系數(shù)向量；BX為海底地形不規(guī)則變化的隨機(jī)部分。同理，根據(jù)廣義最小二乘原理，解得基于多面函數(shù)的最小二乘配置解[21]

(14)

2 多波束測深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法

2.1 觀測值初始權(quán)陣的確定

多波束測深系統(tǒng)是現(xiàn)今海洋測深的主要數(shù)據(jù)采集設(shè)備，它獲取的數(shù)據(jù)覆蓋范圍廣，采樣密度高等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。但由于海洋測量相比于陸地測量存在較多的不穩(wěn)定因素，導(dǎo)致多波束測深數(shù)據(jù)存在粗差或異常點(diǎn)的情況較多，當(dāng)多波束測深數(shù)據(jù)含有粗差或異常點(diǎn)時(shí)，給出的最小二乘配置解并非是一個(gè)最優(yōu)解。針對多波束測深數(shù)據(jù)含有粗差或異常點(diǎn)的問題，在文獻(xiàn)[21—24]的基礎(chǔ)上，本文提出了抗差最小二乘配置方法處理含有粗差或異常點(diǎn)的多波束測深數(shù)據(jù)。該方法首先進(jìn)行觀測值權(quán)陣的初始化，具體權(quán)陣初始化步驟如下：

(1) 對多波束測深數(shù)據(jù)消除整體連續(xù)變化趨勢，求取初始?xì)埐钪?/p>

(15)

(2) 根據(jù)給出的殘差初始值，計(jì)算初始方差因子，利用該式去計(jì)算參數(shù)的抗差解具有50%的高崩潰污染率

(16)

(3) 選取Huber權(quán)函數(shù)計(jì)算權(quán)因子[14]

(17)

2.2 協(xié)方差函數(shù)的抗差擬合方法

經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)擬合的準(zhǔn)確性是求解最小二乘配置問題的關(guān)鍵。經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)的擬合主要為求解協(xié)方差函數(shù)(式(7))的兩個(gè)參數(shù)解D(0)和k。由上述得到的更新后的觀測值權(quán)陣，代入式(8)，得到抗差后的D(0)解

(18)

(19)

(20)

(1) 首先對式(20)左邊的k2開根號(hào)處理，并取其中位數(shù)，計(jì)算其殘差值，即

(21)

(2) 根據(jù)給出的殘差初始值，計(jì)算初始方差因子

(22)

(3) 選取Huber權(quán)函數(shù)計(jì)算權(quán)因子

(23)

最后通過迭代計(jì)算，給出穩(wěn)健的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)k的值?？共钭钚《伺渲玫夥ǖ挠?jì)算步驟如下：

(1) 初始化協(xié)方差函數(shù)，給出協(xié)方差函數(shù)的初始值D(0)(0)=1，k(0)=0。利用觀測值中位數(shù)，初始觀測值方差陣，以多面函數(shù)擬合趨勢項(xiàng)，計(jì)算得到最小二乘配置的初始解；

(2) 由步驟(1)得到的初始最小二乘配置解，去除趨勢項(xiàng)，根據(jù)Huber權(quán)函數(shù)更新觀測值方差陣，隨后進(jìn)行信號(hào)協(xié)方差統(tǒng)計(jì)，根據(jù)3.2節(jié)的方法得到協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)解D(0)和k；

(3) 由步驟(2)得到的新的協(xié)方差函數(shù)以及更新后的觀測值方差陣，計(jì)算信號(hào)協(xié)方差Ds，把Ds和更新后的觀測值方差陣代入式(14)，計(jì)算得到新的最小二乘配置解。

3 算例分析

本文數(shù)據(jù)來自于中國某海域，水深范圍為1100～1400 m，海底地形起伏變化較大。本文選取其中一個(gè)條帶作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)量較大，冗余點(diǎn)較多，首先進(jìn)行了數(shù)據(jù)抽稀處理，共選取886個(gè)多波束測深數(shù)據(jù)點(diǎn)，其中隨機(jī)抽取不含粗差的150個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，所有數(shù)據(jù)如圖1所示，星點(diǎn)為檢核點(diǎn)，其余為已測點(diǎn)。測深值等高線圖如圖2所示。

圖1 多波束測深數(shù)據(jù)分布圖Fig.1 Multi-beam data distribution map

圖2 原始數(shù)據(jù)測深等高線圖Fig.2 Contour map of raw data

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，分別利用本文算法、傳統(tǒng)抗差最小二乘配置方法、基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法和基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法進(jìn)行多波束測深數(shù)據(jù)處理，設(shè)計(jì)的4種方案如下所示：

方案1：基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置法，該法以二次多項(xiàng)式擬合趨勢項(xiàng)，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度；

方案2：基于二次多項(xiàng)式的傳統(tǒng)抗差最小二乘配置法，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度；

方案3：基于多面函數(shù)的最小二乘配置法，該法以多面函數(shù)擬合趨勢項(xiàng)，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度；

方案4：基于多面函數(shù)的抗差最小二乘配置迭代解法，該法以多面的函數(shù)擬合趨勢面，結(jié)合抗差的方法進(jìn)行協(xié)方差函數(shù)擬合，計(jì)算檢核點(diǎn)的水深值和外符精度。

通過以上4種方案對實(shí)際多波束測深數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，4種方案的外符精度如表1所示，殘差統(tǒng)計(jì)如圖3所示。

表1 4種方案檢核點(diǎn)的殘差統(tǒng)計(jì)情況

Tab.1 Residual statistics of external check points using four schemes m

通過表1可以看出，基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法的各項(xiàng)指標(biāo)均比傳統(tǒng)的基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置要優(yōu)。在外符精度上，基于多面函數(shù)的最小二乘配置(方案3)和基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法(方案1)的外符精度分別為0.935 86 m和1.205 97 m，相比于傳統(tǒng)的方法，基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法在外符精度上提高了0.270 11 m，說明了以多面函數(shù)擬合海底地形的趨勢項(xiàng)更能反映研究區(qū)域海底地形的整體連續(xù)變化的趨勢，去除趨勢項(xiàng)后得到的隨機(jī)變化部分也更為平穩(wěn)，因此可以利用該方法得到更為正確的信號(hào)值。通過比較兩種方法的殘差統(tǒng)計(jì)圖(圖3)，可以看出基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法給出的殘差小于傳統(tǒng)的基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法的殘差，進(jìn)一步驗(yàn)證多面函數(shù)擬合趨勢項(xiàng)的有效性。另一方面，通過比較分析傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法(方案2)與基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法(方案3)可以發(fā)現(xiàn)，雖然傳統(tǒng)的抗差方法進(jìn)行了抗差處理，但是由于二次多項(xiàng)式不能較好地表征海底地形的整個(gè)連續(xù)變化趨勢，使得后續(xù)由扣除趨勢項(xiàng)后得到的殘差進(jìn)行擬合得到的協(xié)方差函數(shù)發(fā)生了偏差，導(dǎo)致推估的效果比沒有考慮到抗差的基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法要差。最后，本文抗差最小二乘配置方法的推估效果最好，在外符精度上，比基于二次多項(xiàng)式的最小二乘配置方法提高了0.308 13 m，比傳統(tǒng)的抗差最小二乘配置方法提高了0.317 94 m，比基于多面函數(shù)的最小二乘配置方法提高了0.038 02 m，說明了本文抗差方法能在一定程度上克服多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)對最小二乘配置結(jié)果的影響；同時(shí)，相比傳統(tǒng)的抗差方法，本文方法推估精度更高。同樣的，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文抗差方法的有效性的，給出四種方案的經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)解，具體如表2所示。本文抗差最小二乘配置能夠在一定程度上抵抗多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)的影響，給出協(xié)方差函數(shù)更符合實(shí)際情況，更為客觀的反映點(diǎn)位之間的相關(guān)性。

表2 4種方案的協(xié)方差函數(shù)參數(shù)解

Tab.2 Fitting results of covariance function parameters using four schemes

參數(shù)方案1方案2方案3方案4D(0)13.9217813.006262.440060.93110k26.95240×10-86.87077×10-85.97079×10-83.35709×10-7

圖3 4種方案檢核點(diǎn)殘差統(tǒng)計(jì)圖Fig.3 Residual statistics chart of external check points using four schemes

圖4 原始多波束測深數(shù)據(jù)TIN圖Fig.4 TIN chart of original multi-beam data

圖5 傳統(tǒng)抗差方法處理后的多波束測深數(shù)據(jù)TIN圖Fig.5 TIN chart of multi-beam data using traditional robust least squares collocation

圖6 經(jīng)本文抗差方法處理后的TIN圖Fig.6 TIN chart of multi-beam data using robust least squares collocation was proposed in this paper

4 結(jié) 論

為了進(jìn)一步提高多波束測深數(shù)據(jù)處理的精度，本文提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法，給出了具體的求解公式以及迭代算法，通過算例驗(yàn)證了本文方法的有效性，得出了以下的結(jié)論：

(1) 針對現(xiàn)有配置法的趨勢項(xiàng)的二次曲面數(shù)學(xué)模型通常無法精確表征海底地形的整體連續(xù)變化趨勢的問題，本文提出以多面函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的方法擬合海底地形的趨勢項(xiàng)，通過算例驗(yàn)證了該方法的有效性，進(jìn)一步提高了配置法在多波束測深數(shù)據(jù)處理中的推估精度。

圖7 兩種抗差方法測深點(diǎn)等價(jià)權(quán)值概況Fig.7 Equivalent weight of sounding points for two robust methods

(2) 針對多波束測深數(shù)據(jù)存在粗差或異常點(diǎn)時(shí)，常規(guī)最小二乘配置方法給出的協(xié)方差函數(shù)不能精確表征其統(tǒng)計(jì)特性的問題，提出了一種抗差最小二乘配置迭代解法，以迭代計(jì)算的方式給出了經(jīng)驗(yàn)協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)估計(jì)和最小二乘配置解，通過算例驗(yàn)證了本文方法在一定程度上能夠克服多波束測深數(shù)據(jù)中粗差或異常點(diǎn)的影響，提高了推估的精度，相比于傳統(tǒng)的抗差方法，本文抗差方法能夠更為有效地識(shí)別出測深數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)。

最小二乘配置問題的關(guān)鍵是確定合理的協(xié)方差函數(shù)，接下來還需進(jìn)一步研究協(xié)方差函數(shù)的確定方法，從而進(jìn)一步提高最小二乘配置推估的精度。

致謝：感謝東華理工大學(xué)王勝平博士提供多波束測深數(shù)據(jù)。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

WANG Leyang (1983—), male, PhD, associate professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.

Multi-beam Bathymetry Data Processing Using Iterative Algorithm of Robust Least Squares Collocation

WANG Leyang1,2,3,CHEN Hanqing1,2

1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China; 2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China; 3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China

In the process of dealing with multi-beam bathymetry data by least squares collocation, the quadric curved mathematical model of trend term can not express accurately the whole variation trend of seafloor topography in general. Moreover, the covariance function estimated by general method is incapable of accurately expressing statistical characteristics with the multi-beam bathymetry data contains gross errors or outliers. So the iterative algorithm of robust least squares collocation is proposed in this paper. Firstly, the initial weight matrix of observations and the initial parameters of covariance function are both given in this method, then the trend term is fitted by polyhedral function and equivalent weights scheme is applied into robust estimation in this method. Finally, the robust parameters of covariance function and solutions of least squares collocation are iteratively calculated. The experimental results show that the method proposed in this paper can express well the whole variation trend of seafloor topography and overcome the effect of gross error or outlier in multi-beam bathymetry data to a certain extent. Compared with the conventional robust method, the proposed method in this paper more effectively probes the outliers in bathymetry data with the robust and better predicted results.

least squares collocation; seabed terrain generation; covariance function; robust; trend term

National Natural Science Foundation of China (Nos.41664001; 41204003); Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province (No.20162BCB23050); National Key Research and Development Program(No.2016YFB0501405); Science and Technology Project of the Education Department of Jiangxi Province (No.GJJ150595); the Project of Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province(No.DLLJ201705).

王樂洋，陳漢清.多波束測深數(shù)據(jù)處理的抗差最小二乘配置迭代解法[J].測繪學(xué)報(bào)，2017,46(5)：658-665.

10.11947/j.AGCS.2017.20160491. WANG Leyang, CHEN Hanqing.Multi-beam Bathymetry Data Processing Using Iterative Algorithm of Robust Least Squares Collocation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(5):658-665. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160491.

2016-10-17

王樂洋(1983—)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榇蟮販y量反演及大地測量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： wleyang@163.com

P229

A

1001-1595(2017)05-0658-08

國家自然科學(xué)基金 (41664001; 41204003)；江西省杰出青年人才資助計(jì)劃項(xiàng)目(20162BCB23050)；國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2016YFB0501405)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ150595) ；江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金(DLLJ201705)

修回日期： 2017-04-13