張靖華，趙幸幸，李世榮

(1.蘭州理工大學理學院，甘肅 蘭州730050；(2.揚州大學建筑科學與工程學院，江蘇 揚州 225127)

Hamilton體系下功能梯度梁的熱沖擊動力屈曲分析*

張靖華1，趙幸幸1，李世榮2

(1.蘭州理工大學理學院，甘肅 蘭州730050；(2.揚州大學建筑科學與工程學院，江蘇 揚州 225127)

在Hamilton體系下，基于Euler梁理論研究了功能梯度材料梁受熱沖擊載荷作用時的動力屈曲問題；將非均勻功能梯度復合材料的物性參數(shù)假設(shè)為厚度坐標的冪函數(shù)形式，采用Laplace變換法和冪級數(shù)法解析求得熱沖擊下功能梯度梁內(nèi)的動態(tài)溫度場：首先將功能梯度梁的屈曲問題歸結(jié)為辛空間中系統(tǒng)的零本征值問題，梁的屈曲載荷與屈曲模態(tài)分別對應于Hamilton體系下的辛本征值和本征解問題，由分叉條件求得屈曲模態(tài)和屈曲熱軸力，根據(jù)屈曲熱軸力求解臨界屈曲升溫載荷。給出了熱沖擊載荷作用下一類非均勻梯度材料梁屈曲特性的辛方法研究過程，討論了材料的梯度特性、結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和熱沖擊載荷參數(shù)對臨界溫度的影響。

功能梯度材料；Euler梁；熱沖擊；辛方法；動力屈曲

功能梯度材料(functionally graded materials, FGM)是由兩種或以上不同材料制成的非均勻復合材料，具有以梯度形式連續(xù)變化的材料組份，使得其物理性能也沿梯度方向連續(xù)變化，可使構(gòu)件中的應力集中降到最小[1-2]。由熱障FGM所制成的結(jié)構(gòu)常工作在高溫梯度環(huán)境中，受靜態(tài)或動態(tài)熱載荷作用，所引起的熱屈曲和熱過屈曲吸引了很多力學工作者的研究興趣[1-11]。

FGM結(jié)構(gòu)的靜態(tài)或動態(tài)熱屈曲或熱過屈曲問題，由于控制方程為變系數(shù)的微分方程而很難解析求解，目前一般都采用數(shù)值法近似求解，例如傳統(tǒng)的有限元法、差分法、攝動法、打靶法等都用于該問題的求解。S.M.N.Mehrian等[3]基于L-S耦合熱彈理論，研究了徑向熱沖擊載荷作用下FGM環(huán)板的動態(tài)穩(wěn)定特性。B.Mirzavand等[4]結(jié)合物性參數(shù)的溫度依賴性研究了壓電FGM圓柱殼的熱沖擊動態(tài)屈曲問題，用Budiansky穩(wěn)定判別準則求解獲得動態(tài)屈曲溫度；同時B.Mirzavand等[5]又在文獻[4]研究的基礎(chǔ)上，基于高階剪切變形殼理論，求解獲得相同結(jié)構(gòu)的動態(tài)后屈曲平衡路徑和屈曲溫度。以上將常規(guī)的有限元法或有限差分法用于FGM結(jié)構(gòu)的分析，由于材料性質(zhì)宏觀上的非均勻性，求解時需要劃分大量的單元或網(wǎng)格，計算工作量巨大。L.S.Ma[6]基于剪切變形板理論，采用打靶法研究了FGM圓板在機械和熱載荷共同作用下的非線性彎曲及過屈曲；S.R.Li等[7-8]采用打靶法分別研究了可伸長FGM Timoshenko梁和FGM缺陷板在熱、機載荷同時作用下的屈曲與后屈曲，指出對于邊界固支的FGM梁和完善板，即使作用非均勻升溫載荷，其變形仍為分叉屈曲，而缺陷FGM板在熱載荷作用下無分叉屈曲。但采用打靶法時，對于外形規(guī)則結(jié)構(gòu)的靜態(tài)屈曲容易實現(xiàn)，對于動力屈曲問題的偏微分方程卻無法求解。N.L.Shegokar等[9]采用攝動法研究了壓電FGM梁在熱、電、機多種載荷同時作用下的過屈曲；M.Shariyat[10]考慮預應力和初始缺陷的影響研究了熱-力沖擊功能梯度圓柱殼的動態(tài)屈曲特性，并由改進的Budiansky穩(wěn)定判別準則求得屈曲臨界載荷；K.J.Sohn[11]研究了功能梯度材料板受熱和空氣動力載荷作用時的靜態(tài)穩(wěn)定和顫振特性。然而這些研究都是通過近似求解高階微分或者是偏微分方程而實現(xiàn)，對于靜態(tài)穩(wěn)定性問題尚可，但是對于動力穩(wěn)定性問題，由于需考慮載荷隨時間的變化特性等重要因素，若仍然采用經(jīng)典彈性力學方法求解，難度將很大。并且求解中還常采用“模態(tài)”展開法將偏微分方程退化為常微分方程，該法很難判定是否還存在其他形式屈曲模態(tài)。

相比之下，在Hamilton體系[12]下基于辛幾何方法[13]，利用分離變量、辛本征展開等方法研究結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定特性，避免了經(jīng)典彈性力學方法需要求解偏微分方程組的瓶頸，容易得到問題的解答。并且將臨界載荷與屈曲模態(tài)的求解歸結(jié)為辛本征值與本征解的求解，無需選擇屈曲判別準則。劉淼[14]針對FGM結(jié)構(gòu)，提出了的辛空間有限元-時間子域法的列式方法，該方法中引入了動量作為基本變量,通過對時間域離散，可將動力學問題的求解退化為求解線性方程組，通過分析FGM矩形板的動力響應，表明了辛空間有限元-時間子域法的計算精度高、實用性強。辛方法在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性方面的應用，褚洪杰等[15]在Hamilton體系下，采用辛本征解展開法，研究了均勻梁的熱屈曲和熱過屈曲；J.B.Sun[16]采用辛方法研究了熱和壓縮載荷作用下FGM圓柱殼的靜態(tài)屈曲。目前，采用辛方法求解FGM結(jié)構(gòu)熱沖擊穩(wěn)定性的研究成果極為少見。本文中，建立熱沖擊下功能梯度Euler梁動態(tài)熱屈曲的辛方法求解過程，借助于Hamilton體系的完備性解析求解完備的屈曲模態(tài)空間，并探索臨界載荷、屈曲模態(tài)與辛體系中的辛本征值、本征解的相互對應關(guān)系，并用數(shù)值模擬方法討論其變化規(guī)律和影響因素。

1 基本方程

考慮一長為l，厚為h，寬為b的矩形截面FGM梁。梁的上表面為純金屬，下表面是純陶瓷，中間由陶瓷和金屬依照變化的體積含量連續(xù)過渡復合而成。選取變形前的軸線作為x軸，原點在左端面形心處。梁兩端固定，無初始變形及速度，在下表面受均布熱沖擊載荷作用，上表面與外部環(huán)境進行熱交換，研究其熱沖擊屈曲特性。

假設(shè)FGM組分材料的體積分數(shù)沿厚度方向以冪函數(shù)形式連續(xù)變化，以k表示陶瓷的體積分數(shù)指數(shù)(0≤k<∞)，其等效物性參數(shù)(彈性模量E、熱膨脹系數(shù)α、密度ρ、熱傳導系數(shù)K以及熱容C等)基于Voigt等應變假設(shè)，表示為成分體積分數(shù)的函數(shù)[2,8]。通常材料的泊松比ν變化很小，為了簡化計算，假定ν為常數(shù)[2,8,17]。

1.1 正則方程

基于Euler梁理論，考慮FGM為線性熱彈性，則FGM梁表示能量的Lagrange函數(shù)為：

(1)

式中：Ek和Ep分別為系統(tǒng)的動能和勢能；w(x,t)為梁軸線上x點的撓度，t為時間；κ為曲率；I為FGM梁單位長度的質(zhì)量，D為FGM梁的剛度系數(shù)；NT和MT分別為有溫度T引起的熱軸力和熱彎矩。I、D、NT、MT定義為：

(2a)

(2b)

(2c)

式中：T(z,t)為溫度的變化，簡稱升溫。

(3)

根據(jù)Hamilton原理，利用Hamilton體系下的對偶正則方程，由上式可得：

(4)

同時，考慮兩端固定的FGM梁，撓度和轉(zhuǎn)角為0的邊界條件在Hamilton體系下寫為：

(5)

式(4)～(5)分別表示Hamilton體系下辛空間中功能梯度梁熱沖擊動力穩(wěn)定問題的對偶正則方程以及邊界條件，方程中含有未知的隨溫度變化的熱軸力，我們首先求得非均勻功能梯度梁中的瞬態(tài)溫度場方可求解該方程組。

1.2 熱傳導方程及其求解

考慮功能梯度梁的下表面從t=0時刻開始加升溫載荷T(-h/2,t)=ΔT·f(t)，ΔT為載荷幅值，f表示熱載荷隨時間變化的規(guī)律。功能梯度梁的上表面與外界進行熱交換，換熱系數(shù)用hr表示，該一維熱傳導問題的熱傳導方程及初邊值條件由傅立葉熱傳導定律描述如下：

(6a)

(6b)

具體計算時考慮指數(shù)函數(shù)形式的升溫載荷，即f(t)=1-e-at，其中a為熱載荷參數(shù)。式(6a)為變系數(shù)偏微分方程，直接求解較困難。采用Laplace變換法，令ψ(z,s)=L[T(z,t)]，將式(6a)和(6b)對時間t進行Laplace變換可得：

(7a)

(7b)

(7c)

式(7)為關(guān)于ψ(z,s)的變系數(shù)常微分方程和初邊值條件，其中s為復變量。假定方程(7a)有級數(shù)解為如下形式：

(8)

2 正則方程的求解

(9)

式中：X=x/l,Q=q/l,θ=NTL2/D。方程(9)為線性齊次方程，其通解為：

(10)

式中：C1、C2、C3、C4為待定常數(shù)。根據(jù)量綱一邊界條件Q|X=0=Q|X=1=0, (?Q/?X)|X=0=(?Q/?X)|X=1，可由式(10)得：

(11)

功能梯度梁屈曲的條件是式(11)具有非零解，此時它的系數(shù)行列式必為0，將該行列式展開并化簡，即可得本問題的分叉條件：

(12)

求解特征方程(12)的根可得無量綱特征值θ1,θ2,…,θn,…，將特征值θn依次代入θ=NTl2/D中，并結(jié)合式(2c)求解可獲得屈曲載荷幅值ΔT。

對于線性齊次代數(shù)方程組(11)，采用歸一化方法，令積分常數(shù)C4=1，并求解可得其余3個常數(shù):

(13)

然后將以上常數(shù)代入式(10)中，可以得到FGM梁的第n階屈曲模態(tài)：

(14)

3 數(shù)值結(jié)果及討論

3.1 屈曲模態(tài)

采用Newton-Raphson法求解功能梯度材料梁的屈曲分叉條件(式(11))，可得一組量綱一特征值:θ1=39.47，θ2=80.76，θ3=157.91，θ4=238.72，θ5=355.31，θ6=475.60，…。將所得無量綱特征值θn依次代入式(12)可得各階屈曲模態(tài)。FGM梁的前四階熱沖擊屈曲模態(tài)如圖1～4所示?？梢钥闯觯煌臒釠_擊載荷作用下功能梯度梁的失穩(wěn)構(gòu)形也不同。

圖1 第一階臨界屈曲模態(tài)Fig.1 First order critical buckling mode

圖2 第二階屈曲模態(tài)Fig.2 Second order critical buckling mode

圖3 第三階屈曲模態(tài)Fig.3 Third order critical buckling mode

圖4 第四階屈曲模態(tài)Fig.4 Fourth order critical buckling mode

3.2 屈曲升溫載荷

為了說明本文理論推導、數(shù)值計算的正確性和辛方法求解FGM梁熱屈曲的有效性，令體積分數(shù)指數(shù)k=0將FGM梁退化為均勻陶瓷梁，采用辛方法計算了靜態(tài)熱載荷作用下兩端固定Euler梁的臨界屈曲載荷，并將數(shù)值結(jié)果與文獻[7]中Euler梁和考慮剪切效應的Timoshenko梁的打靶法計算結(jié)果同時列于表1中，其中選取了文獻[7]所采用的量綱一熱載荷參數(shù)λcr=L2αmTm。由表可見，本文中采用辛方法所得結(jié)果與文獻[7]采用打靶法計算所得結(jié)果極其接近，說明辛方法計算結(jié)果正確可靠。表格中兩種梁理論的結(jié)果之間的差別反映了剪切變形對臨界熱載荷的影響。顯然由于考慮剪切變形時梁的柔性增加，臨界載荷較低，但從表中也發(fā)現(xiàn)剪切變形的影響隨著FGM梁的長細比的增加而逐步減弱，所以對于細長梁可將剪切變形忽略而看作Euler梁。

表1 陶瓷梁的靜態(tài)熱屈曲量綱一臨界溫度

以下求解升溫載荷時，選取組分材料分別為陶瓷SiC和金屬Ni，兩種材料的物理性能參數(shù)請見文獻[17]。若無特別指出，熱沖擊載荷參數(shù)給定為a=10，作用時間為Δt=5 s，F(xiàn)GM梁的幾何尺寸為h=1 cm,l=40 cm；換熱系數(shù)為hr=50。表2首先列出了給定不同體積分數(shù)指數(shù)k，即不同體積含量的FGM梁熱沖擊時的前三階屈曲升溫ΔT。

表2 功能梯度梁的各階屈曲升溫

圖5 FGM梁的1、2階屈曲升溫隨k的變化Fig.5 Variations of first and second order buckling temperature rise with k

圖5進一步繪出了FGM梁受熱沖擊時第一階和第二階屈曲升溫ΔT隨體積分數(shù)指數(shù)k的變化關(guān)系曲線。由表2和圖5可見，隨著模態(tài)階數(shù)的增高，屈曲載荷值增大，且模態(tài)階數(shù)的變化對屈曲載荷值有顯著的影響。對于本文中給定的指數(shù)函數(shù)型的熱沖擊載荷作用下，F(xiàn)GM梁的屈曲升溫介于均質(zhì)陶瓷和均質(zhì)金屬梁的屈曲升溫之間，且隨著組份材料的體積分數(shù)指數(shù)k的增大而減小，即隨著k的增大，結(jié)構(gòu)的強度降低，承受熱沖擊的能力減小。同時可見，當k<2時減小的幅度較大，而當k>2時曲線較平緩，對結(jié)構(gòu)的強度及屈曲升溫的影響也變小。

表3列出了給定不同換熱系數(shù)時體積含量不同的FGM梁受熱沖擊時的臨界屈曲升溫(ΔT)l。由表可見，不同換熱系數(shù)時FGM梁的臨界載荷值基本不變，即換熱系數(shù)對臨界屈曲升溫基本無影響。

表3 不同換熱系數(shù)(hr)時FGM梁的臨界屈曲升溫

表4列出了不同長細比的FGM梁受熱沖擊時的臨界屈曲升溫，可以看出，隨著長細比λ的逐漸增大，受熱沖擊時的臨界屈曲升溫(ΔT)l明顯減小，這是由于其彎曲剛度減小的緣故。

表4 不同長細比(λ)下FGM梁的臨界屈曲升溫(ΔT)l

圖6 不同a時FGM梁的臨界屈曲升溫(ΔT)lFig.6 Variations of critical temperature for specified values of a

圖6為給定不同載荷參數(shù)a時FGM梁熱沖擊屈曲的臨界升溫(ΔT)l隨體積分數(shù)指數(shù)k的變化關(guān)系曲線。由圖可見，臨界屈曲升溫隨著a的逐漸增大而緩慢減小。當參數(shù)a<5時，a對臨界溫度有影響；但參數(shù)a>5時由于臨界屈曲升溫基本不隨a的增大而變化，所以基本無影響；不同參數(shù)a下，F(xiàn)GM梁受熱沖擊時的臨界屈曲升溫隨組份參數(shù)k的變化趨勢都相同。

表5列出了載荷作用時間Δt不同時體積含量不同的FGM梁受熱沖擊時的屈曲臨界屈曲升溫(ΔT)l。由表可見，功能梯度梁的臨界屈曲升溫隨載荷作用時間的增加而逐漸減小。當Δt<5 s時，隨作用時間的延長有較大變化，當Δt>5 s時變化很小，最終隨時間的增大而趨于一定值。其原因在于，熱沖擊載荷作用時間越長，梁內(nèi)的溫度分布越均勻，對屈曲臨界屈曲升溫的影響也逐漸消失。

表5 熱沖擊載荷作用時間(Δt)不同時FGM梁的臨界屈曲升溫(ΔT)l

4 結(jié) 論

通過對熱沖擊載荷作用下FGM梁的動力屈曲特性的研究，得出以下結(jié)論：

(1)利用辛方法在Hamilton體系下求解FGM結(jié)構(gòu)的熱沖擊屈曲是可行的，繞開了經(jīng)典彈性力學解偏微分方程的瓶頸，容易得到問題的解答；

(2)熱沖擊下FGM梁隨著體積分數(shù)指數(shù)的增大，強度降低，其臨界屈曲升溫介于均質(zhì)陶瓷梁和均質(zhì)金屬梁的相應結(jié)果之間，隨著梯度材料的體積分數(shù)指數(shù)的增大而逐漸減小；

(3)熱沖擊載荷作用時間對FGM梁的臨界屈曲升溫有較大影響，但介質(zhì)換熱系數(shù)和載荷變化參數(shù) 對FGM梁的臨界屈曲升溫影響不大。

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(責任編輯 王小飛)

Dynamic buckling analysis of functionally graded beam under thermal shock in Hamilton system

Zhang Jinghua1, Zhao Xingxing1, Li Shirong2

(1.SchoolofSciences,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050,Gansu,China;2.SchoolofCivilScienceandEngineering,YangzhouUniversity,Yangzhou225127,Jiangsu,China)

Based on the Euler beam theory, the dynamic buckling of the functionally graded beam subjected to thermal shock was investigated in the Hamilton system. The material properties of the functionally graded beam were assumed to be graded in the thickness direction according to a simple power law distribution in terms of the volume fractions of the constituents. The transient temperature fields were solved analytically using the Laplace transform and power series method. It was shown that the dynamic buckling problem can be reduced to a zero-eigenvalue problem in the symplectic space, the buckling loading and the buckling mode of the FGM beam correspond to the generalized eigenvalue and eigen solution. The buckling mode and the buckling thermal axial forces can be obtained through bifurcation condition, and the buckling temperature rise of the FGM beam can be obtained by inverse solution. In this research, the solution process for dynamic buckling of the FGM beam subjected to thermal shock using the symplectic method were given, and the effects of the material constitution, geometric parameters and the parameters of thermal shock load on the critical temperature were discussed.

functionally graded materials; Euler beam; thermal shock; symplectic method; dynamic buckling

10.11883/1001-1455(2017)03-0431-08

2015-11-23；

2016-06-20

國家自然科學基金項目(11662008,11262010)

張靖華(1979- ),女,博士，副教授，zjhhrb@163.com。

O347.2 國標學科代碼： 13015

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