吳奎霖, 劉 倩

(1. 貴州大學 數(shù)學系, 貴州 貴陽 550025; 2. 西南民族大學 計算機科學與技術學院, 四川 成都 610041)

一類可逆系統(tǒng)周期軌道的周期函數(shù)的單調性判斷

吳奎霖1, 劉 倩2

(1. 貴州大學 數(shù)學系, 貴州 貴陽 550025; 2. 西南民族大學 計算機科學與技術學院, 四川 成都 610041)

研究了一類可逆系統(tǒng)周期軌道的周期函數(shù)單調性問題.給出一個周期函數(shù)單調性的判別方法,并根據(jù)該判別方法證明了2個系統(tǒng)的周期函數(shù)是單調的.

可逆系統(tǒng)； 周期函數(shù)； 等時中心

微分系統(tǒng)的奇點q稱為中心如果存在奇點q的一個鄰域,使得該鄰域全部由圍繞奇點q的周期軌道組成.這樣的最大鄰域稱為中心q的周期環(huán)域,通常記為P.對于一般的可積微分系統(tǒng)

(1)

不妨假設原點O(0,0)是系統(tǒng)(1)的中心,H(x,y)是其首次積分.圍繞O(0,0)的周期環(huán)域記為P:={γh:H(x,y)=h,h∈Σ},其中Σ為h的極大存在區(qū)間,使得軌道γh是系統(tǒng)(1)的周期軌道.則周期軌道γh的周期為

(2)

稱函數(shù)T(h)為系統(tǒng)(1)的周期函數(shù),周期函數(shù)T(h)的極值點稱為系統(tǒng)(1)對應中心O(0,0)的臨界周期.如果周期函數(shù)T(h)是一個常值函數(shù),即T′(h)≡0,則稱中心O(0,0)是等時中心.周期函數(shù)的相關問題有很多重要的應用,例如:分支理論方面的應用[1]、Neumann問題解的存在性[2]等.研究周期函數(shù)相關性質請參見文獻[3-11].

本文考慮如下解析的非哈密頓系統(tǒng)

(3)

假設原點O(0,0)是系統(tǒng)(3)的一個中心,且系統(tǒng)(3)有如下形式的首次積分

H(x,y)=B(x)y2+A(x).

顯然，

且

是系統(tǒng)(3)對應首次積分H(x,y)的積分因子.這里總假設A(x)、B(x)是解析函數(shù),且U(x)y與F(x,y)沒有公因子.

對于擬二次哈密頓系統(tǒng)H(x,y)=A(x)+B(x)y+C(x)y2的等時性問題,A.Cima等[12]已經(jīng)給出了相關的結果.根據(jù)系統(tǒng)(3)的首次積分形式,本文研究系統(tǒng)(3)的周期軌道的周期單調性問題.

假設原點O是方程(3)的非退化中心,且U(0)>0,則

B(0)≠0,A′(0)=0,B(0)A″(0)>0.

(4)

設P為原點O的周期環(huán)域.不妨設H(0,0)=0,且

H(x,y)>0, ?(x,y)∈P{(0,0)}.

記首次積分H在周期環(huán)域P上的取值范圍為(0,h0)(h0≤∞),其中H=h0是對應于周期環(huán)域的外邊界.定義開區(qū)間

(xl,xr)={x∈R|?y∈R,s.t.(x,y)∈P}.

對每個h∈(0,h0),記γh為包含于集合{(x,y)∈P|H(x,y)=h}的周期軌道,T(h)為其周期.此外，記周期軌道γh在x-軸上的投影為(x0(h),x1(h)),即

(x0(h),x1(h))={x∈R|?y∈R,
s.t.(x,y)∈γh}.

1 主要結論的證明

在證明本文的主要結論之前需要首先介紹幾個引理.

引理 1.1 考慮系統(tǒng)(3),則下列結論成立:

1)B(x)>0,U(x)>0,?x∈(xl,xr);

2)A(x)>0,xA′(x)>0,?x∈(xl,xr){0},此外,A(0)=A′(0)=0,A″(0)>0;

3)A(x)→h0,如果xxl或者xxr;

4) 周期軌道γh的周期為

(5)

其中,A(x0(h))=A(x1(h))=h.

證明 該引理的詳細證明請參照文獻[13].

引理 1.2 設φ:[a,b)→R是解析的,并且ψ:(a,b)×(a,b)→(0,+∞)滿足下列關系

(6)

證明 該引理的詳細證明請參照文獻[12].

∮γhF(x)y2k-1dx=∮γhG(x)y2k+1dx,

其中

證明 詳細證明請參照文獻[14].

為了刻畫周期函數(shù)T(h)的單調性及等時性,引入輔助函數(shù)

定理 1.1 設原點O是系統(tǒng)(3)的非退化中心,U(x)、A(x)和B(x)是區(qū)間(xl,xr)上的解析函數(shù).定義函數(shù)

其中

則有:

(a) 系統(tǒng)(3)的周期函數(shù)是單調的,如果對任意x∈(0,xr)(x∈(xl,0)),Ψ(x)-Ψ(σ(x))定號;

(b) 原點O是系統(tǒng)(3)的等時中心,如果對任意x∈(0,xr)(x∈(xl,0)),

Ψ(x)-Ψ(σ(x))≡0.

證明 由周期函數(shù)定義及引理1.3,得到

對上式2邊關于h求導可得

令z=g(x),則z2=A(x),且

注意g(x)=-g(σ(x)).因此對任意x∈(0,xr)(或x∈(xl,0)),Ψ(x)-Ψ(σ(x))定號,則T′(h)定號.由引理1.2可得:如果對任意x∈(0,xr)(或x∈(xl,0)),

Ψ(x)-Ψ(σ(x))≡0,

則T′(h)≡0.因此原點O是系統(tǒng)(3)的等時中心.

推論 1.1 設原點O是系統(tǒng)(3)的非退化中心,U(x)、A(x)和B(x)是區(qū)間(xl,xr)上的解析偶函數(shù).如果

Φ(x)U(x)-B(x)≡0,

則原點O是系統(tǒng)(3)的等時中心.

證明 如果U(x)、A(x)和B(x)是區(qū)間(xl,xr)上的解析偶函數(shù),則對合函數(shù)σ(x)=-x,且Ψ(x)=Ψ(σ(x)).故由定理1.1即可證明結論.

2 應用

例 2.1I.Pleshkan[15]證明了下面的系統(tǒng)(7)是等時系統(tǒng)

(7)

系統(tǒng)(7)的首次積分為

取

根據(jù)定理1.1直接計算可得

Φ(x)U(x)-B(x)≡0.

例 2.2 下面是一個7次的Liénard-van der Pol系統(tǒng):

(8)

系統(tǒng)(8)有3個奇點:鞍點O(0,0)、中心P-1(-1,0)和中心P1(1,0),2個中心對應的周期環(huán)域關于y軸對稱,見圖1.

圖 1 系統(tǒng)(8)的相圖

系統(tǒng)(8)的首次積分為

首先作變換X=x+1把中心P1平移到原點.中心P1對應的周期環(huán)域的周期函數(shù)為

取U(X)=1,B(X)=1/2,根據(jù)定理1.1直接計算可得

令Z=σ(X),則由

可知

Q(X,Z)=2X+X2+2Z+Z2≡0,

其中

P(X,Z)=2X2(1+X)3(2+X)3+
2X(1+X)4(2+X)3Z+
(1+X)3(2+X)3(2+2X+X2)Z2+
(3+X)(2+2X+X2)×
(12+18X+15X2+6X3+X4)Z3+
(2+2X+X2)(66+63X+33X2+9X3+X4)Z4+
(2+2X+X2)(63+33X+9X2+X3)Z5+
(2+2X+X2)(33+9X+X2)Z6+
(9+X)(2+2X+X2)Z7+(2+2X+X2)Z8.

要證明Ψ(X)-Ψ(Z)在區(qū)間(-1,0)或(0,+∞)定號,只需證明多項式P(X,Z)與Q(X,Z)沒有公共零點即可.用數(shù)學軟件Mathematica計算多項式P(X,Z)與Q(X,Z)關于變量Z的結式得到

Resultant[P,Q,Z]=X6(2+X)6×
(8-20X2-20X3+11X4+32X5+24X6+8X7+X8).

容易判斷代數(shù)方程Resultant[P,Q,Z]=0在區(qū)間(-1,0)或(0,+∞)沒有實根.根據(jù)結式的性質可知多項式P(X,Z)與Q(X,Z)沒有公共零點.從而可證明Ψ(X)-Ψ(Z)在區(qū)間(-1,0)或(0,+∞)定號.因此,根據(jù)定理1.1,就證明了系統(tǒng)(8)的2個周期環(huán)域所對應的周期函數(shù)都是單調的.

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2010 MSC：34C07; 34C08; 34C25

(編輯 周 俊)

Monotonicity for Period Function of Periodic Orbits of a Class of Reversible Systems

WU Kuilin1, LIU Qian2

( 1.DepartmentofMathematics,GuizhouUniversity,Guiyang550025,Guizhou;
2.SchoolofComputerScienceandTechnology,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610041,Sichuan)

In this paper we deal with the monotonicity of the period functions of periodic orbits for a class of reversible systems. We give a criteria for monotonicity of period function. Applying this criteria to the period functions of two systems, we prove their monotonicity.

reversible systems; period function; isochronous center

2016-07-11

國家自然科學基金(11661017)和貴州省科學技術基金(黔科合J字[2015]2036號)

吳奎霖(1981—),男,副教授,主要從事微分方程定性理論的研究,E-mail:wkuilin@163.com

O123.4

A

1001-8395(2017)03-0324-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.009