何英

優(yōu)化學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的課堂小結(jié)研究
——以“等差數(shù)列前n項和求最值”教學(xué)為例

何英

實際課堂中，各種各樣的原因使得課堂小結(jié)往往形同虛設(shè)。其實課堂小結(jié)可以作為優(yōu)化學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的重要環(huán)節(jié)。教師應(yīng)將課堂小結(jié)這個環(huán)節(jié)交給學(xué)生，給學(xué)生留足時間自主建構(gòu)概念域、命題域，從而達(dá)到完善CPFS結(jié)構(gòu)的目的。

CPFS結(jié)構(gòu)；課堂小結(jié)；自主建構(gòu)

一堂好課，要有引人入勝的課題導(dǎo)入，扎實有效的課堂建構(gòu)，畫龍點睛的課堂小結(jié)。但實際課堂中，教師或因時間預(yù)設(shè)不充分，抽不出時間小結(jié)，或因課堂中每個節(jié)點都已經(jīng)小結(jié)過，覺得沒必要小結(jié)，課堂小結(jié)往往形同虛設(shè)，給教學(xué)留下了遺憾。其實，課堂小結(jié)可以作廣義的理解，即師生在完成一項任務(wù)后對所學(xué)知識的歸納總結(jié)。在這里，課堂小結(jié)并非僅僅是知識與技能的簡單回顧，我們可以利用課堂小結(jié)來完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)。

一、CPFS結(jié)構(gòu)概述

南京師范大學(xué)喻平教授對學(xué)生的認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)做了深入的研究，提出了CPFS結(jié)構(gòu)這個觀點。喻平教授將概念域 （concept field）、 概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）形成的心理結(jié)構(gòu)稱為CPFS結(jié)構(gòu)。

1.概念域與概念系。

概念C的所有等價定義的圖式，叫作概念C的概念域。具體地說，概念域的含義是指某個概念的一些等價定義（知識）在個體頭腦中形成的知識網(wǎng)絡(luò)，是個體對數(shù)學(xué)知識的表征。

如果一組概念 C1，C2，…，Cn存在關(guān)系C1R1C2R2…Rn-1Cn（*），其中Ri（i=1，2，…，n）表示強(qiáng)抽象、弱抽象、廣義抽象這3種數(shù)學(xué)關(guān)系中的任意一種，那么稱*式為一條概念鏈，記為λ={C1，C2，…，Cn}。如果兩條概念鏈的交集非空，則稱這兩條鏈相交。如果m條概念鏈中至少有一條與其余的鏈都相交，那么稱這m條鏈的圖式為概念系。

2.命題域與命題系。

命題域（系）是概念域（系）的自然推廣。如果命題A成立，當(dāng)且僅當(dāng)命題B成立，那么就稱A與B是等價命題，記為A?B。與命題A等價的所有命題組成的命題集叫作命題A的等價命題類，記為{A1}，并稱A為典型命題。典型命題A的等價命題類{A1}連同這些命題之間的（互推）關(guān)系所形成的結(jié)構(gòu)叫作等價命題網(wǎng)絡(luò)。我們稱一個等價命題網(wǎng)絡(luò)的圖式為典型命題A的命題域。

如果一組命題A1，A2，…，An存在推出關(guān)系（廣義抽象）A1?A2?…?An，則稱其為一條命題鏈，記為λ={A1，A2，…，An}。如果m條命題鏈中的每一條都至少與其余一條相交（交集非空），那么稱這m條鏈組成的系統(tǒng)為半等價命題網(wǎng)絡(luò)。一個半等價命題網(wǎng)絡(luò)的圖式稱為命題系。命題系是命題域的推廣，命題域往往作為某個命題系的子圖式。

概括而言，CPFS結(jié)構(gòu)的含義是：（1）個體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。各知識點（概念、命題）在這個網(wǎng)絡(luò)中處于一定位置，知識點之間具有等值抽象（等價）關(guān)系，或強(qiáng)抽象關(guān)系，或弱抽象關(guān)系，或廣義抽象關(guān)系。（2）由于網(wǎng)絡(luò)中知識點之間具有某種抽象關(guān)系，而這些抽象關(guān)系本身就蘊(yùn)涵著思維方法，因而網(wǎng)絡(luò)中各知識點之間的連線包含著數(shù)學(xué)方法。（3）CPFS結(jié)構(gòu)既包含了表征陳述性知識的圖式，又包含表征程序性知識的產(chǎn)生式系統(tǒng)。

由上述內(nèi)容，我們可知，CPFS結(jié)構(gòu)包含了學(xué)生解題時需要動用的一切信息，所以若CPFS結(jié)構(gòu)不完善，即使學(xué)生課上能聽懂，但自己解題時仍舊會感覺困難。一方面可能因為題目已將命題或概念換了一個表述方法，而由于學(xué)生不完善的CPFS結(jié)構(gòu)缺乏這個信息，所以連題目都無法讀懂；另一方面，即使學(xué)生看懂題意，但在不完善的CPFS結(jié)構(gòu)中調(diào)動不出相應(yīng)環(huán)節(jié)的命題域或命題系，所以找不到解決問題的辦法。

二、實施案例

CPFS結(jié)構(gòu)是學(xué)生根據(jù)自己特有的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等對所學(xué)過的相關(guān)信息（概念、命題、思維方法）在頭腦中存儲的有規(guī)律的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其他人是看不見的，甚至學(xué)生自己在解決數(shù)學(xué)問題時也是無意識地在調(diào)動他的CPFS結(jié)構(gòu)中的信息。要想檢視學(xué)生的這個結(jié)構(gòu)是否完善，首先需要將這種看不見的思維變成可視的形式，所以我們要借助一切有效的方式把學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出來，概念圖就是一種有效的工具。

概念圖是一種用節(jié)點代表概念、連線表示概念間關(guān)系的圖示法，一般由“節(jié)點”“連線”和“有關(guān)文字標(biāo)注”組成。節(jié)點是利用幾何圖形、圖案、文字等表示某個概念，每個節(jié)點表示一個概念，一般同一層級的概念用同種的符號（圖形）標(biāo)識。連線表示不同節(jié)點間的有意義的關(guān)系，常用各種形式的線聯(lián)結(jié)不同節(jié)點，這其中表達(dá)了構(gòu)圖者對概念的理解程度。文字標(biāo)注可以表示不同節(jié)點上的概念的關(guān)系，也可以是對節(jié)點上的概念詳細(xì)闡述，還可以是對整幅圖進(jìn)行有關(guān)說明。它是一種知識以及知識之間的關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形化表征，也是思維可視化的表征。將抽象的思維變成可視的、形象的圖示，便于學(xué)生檢查和修改CPFS結(jié)構(gòu)中不完善的部分，也便于學(xué)生理解記憶。

下面借助一節(jié)關(guān)于等差數(shù)列的前n項和Sn求最值的新授課來進(jìn)行說明。

1.教學(xué)過程。

（1）復(fù)習(xí)回顧等差數(shù)列前n項和公式的多種表達(dá)形式。

（2）典例呈現(xiàn)。

例1 已知an=4n-37，求使得Sn取最小值時的n的值。

方法1 學(xué)生把Sn求出來，從二次函數(shù)的角度求得了最值，教師提醒要注意定義域。

方法2 教師引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列單調(diào)性的特征出發(fā)，列出不等式組，求得了n的值。

變式1 等差數(shù)列{an}中，a4=36，d=-6，求Sn最大值。

變式2 已知{an}為等差數(shù)列，a1＞0，S4=S9，求n為何值時，Sn最大？使Sn＞0的最小正整數(shù)為多少？

變式3 已知{an}為等差數(shù)列，a1＞0，S9＞0，S10＜0，求n為何值時，Sn最大？

2.基于優(yōu)化CPFS結(jié)構(gòu)的課堂小結(jié)設(shè)計。

為了讓學(xué)生完善CPFS結(jié)構(gòu)，教師可以以問題為驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生先建構(gòu)各種概念（命題）系、概念（命題）域。

師：今天我們學(xué)習(xí)了如何求等差數(shù)列的前n項和的最值，追本溯源，請同學(xué)們思考以下問題：

問題1 為何等差數(shù)列的前n項和有最值？

學(xué)生在回答這個問題時就要建構(gòu)以下概念域或概念系。

概念域：函數(shù)的最大（?。┲导炊x域中函數(shù)值的最大（小）值。

函數(shù)圖像的最高（低）點的縱坐標(biāo)即為該函數(shù)的最大（?。┲?。

概念鏈λ1={C1，C2，C3}，C1：函數(shù)的定義。C2：二次函數(shù)的定義。C3：公差不為0的等差數(shù)列前n項和Sn為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)。

由上述信息綜合得等差數(shù)列的前 n項和是定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)，所以一定有最值。

問題2 如何求等差數(shù)列的前n項和的最值？

問題3 等差數(shù)列的前n項和的先增后減（或先減后增）的特點本質(zhì)上是由數(shù)列的什么性質(zhì)決定的？

學(xué)生繼續(xù)在頭腦中提取相關(guān)信息，構(gòu)建概念（命題）域：

{an}是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)an+1-an=d，d為常數(shù)，n∈N*?

{an}是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng) an+1-an=an-an-1，n≥2，n∈N*?

{an}是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)an+1=a1+（n-1）d，n≥2，n∈N*?

{an}是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng) an=am+（n-m）d，d為常數(shù)，n，m∈N*?

{an}是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)an=dn+（a1-d），d為常數(shù)，n∈N*。

概念鏈λ2={C1，C4，C5}

C1：函數(shù)的定義；C4：一次函數(shù)的定義；C5：公差不為0的等差數(shù)列通項公式an為定義域為正整數(shù)的一次函數(shù)。

概念鏈λ3={C6，C7，C8，C9}

C6：函數(shù)的性質(zhì)。C7：函數(shù)的單調(diào)性。C8：一次函數(shù)的單調(diào)性。C9：等差數(shù)列的通項公式的單調(diào)性。

圖1

綜合這些信息，學(xué)生得到等差數(shù)列通項的相關(guān)性質(zhì)：d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，若d＞0，則an單調(diào)遞增，若d＜0，則an單調(diào)遞減；若等差數(shù)列的首項為負(fù)數(shù)，公差為正數(shù)，則該數(shù)列中的項會由負(fù)數(shù)遞增為正數(shù)，當(dāng)前n項和再加上一個負(fù)數(shù)項時，和變小，加上一個正數(shù)項時，和變大，所以前n項和先減后增，加上最后一個非正數(shù)的項后即求得和的最小值；反之，若等差數(shù)列的首項為正數(shù)，公差為負(fù)數(shù)，則等差數(shù)列的前n項和先增后減，加上最后一個非負(fù)數(shù)的項后即求得和的最大值。所以，若a1＜0，d＞0，則由求使Sn取最小值的n；若a1＞0，d＜0，則由求使Sn取最大值的n。

上述信息可用概念圖表示，如文末圖1。

若學(xué)生能親歷小結(jié)的過程，必將在頭腦中搜索到上述相關(guān)概念系及命題系。若學(xué)生能自主歸納出兩種解法的原理及方法，必能更靈活地運(yùn)用它們解決相關(guān)問題，如變式2，3。

課堂小結(jié)對學(xué)生的語言組織能力、概括抽象能力、知識的理解程度有很高的要求，所以初始嘗試時教師須給予學(xué)生悉心的指導(dǎo)、耐心的幫助以及熱情的鼓勵，教師若能長期堅持，學(xué)生的學(xué)習(xí)定會達(dá)到事半功倍的效果。

［1］喻平，單墫．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（01）.

［2］喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

［3］曹才翰，章建躍．?dāng)?shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，1999．

G633.6

A

1005-6009（2017）27-0043-03

何英，江蘇省太湖高級中學(xué)（江蘇無錫，214125）教師，一級教師。