桂思銘

借力技術(shù)工具 發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)

桂思銘

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)工具逐漸成為一種必然，因?yàn)檫@既是發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)的需要，也是國(guó)際數(shù)學(xué)教育的趨勢(shì)。為此，需要借鑒發(fā)達(dá)國(guó)家在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)技術(shù)工具的運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，更好地服務(wù)于我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)，服務(wù)于學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展。

技術(shù)工具；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；核心素養(yǎng)

“核心素養(yǎng)”是當(dāng)今一個(gè)被普遍關(guān)注的話(huà)題，按北京師范大學(xué)中國(guó)學(xué)生核心素養(yǎng)研究成果發(fā)布會(huì)的提法：“核心素養(yǎng)”主要指學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力。本文中提到的技術(shù)工具主要是指用于數(shù)學(xué)的計(jì)算機(jī)軟件、圖形計(jì)算器等，它包含用于代數(shù)和數(shù)值計(jì)算的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、用于自動(dòng)函數(shù)作圖、畫(huà)方程曲線(xiàn)的工具、動(dòng)態(tài)幾何工具、電子表格與統(tǒng)計(jì)工具等工具。目前不少文章探討的是運(yùn)用信息技術(shù)發(fā)展核心素養(yǎng)，但為了更好地聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐，突出運(yùn)用工具進(jìn)行操作活動(dòng)來(lái)感知、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，本文希望將視角更好地聚焦到平日實(shí)際的教學(xué)和學(xué)生的活動(dòng)上，并以此來(lái)引起大家對(duì)信息技術(shù)運(yùn)用更廣泛和深入的思考。

一、從核心素養(yǎng)看技術(shù)工具運(yùn)用的必然

既然“核心素養(yǎng)”是學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力，那么技術(shù)工具的運(yùn)用自然是當(dāng)今人們的一個(gè)必然選擇與關(guān)鍵能力。隨著科技的進(jìn)步與時(shí)代的發(fā)展，技術(shù)工具的使用變得越來(lái)越普遍，成為每個(gè)人的一種常態(tài)。事實(shí)上，各個(gè)國(guó)家和組織雖然在“核心素養(yǎng)”的理解表達(dá)上各有不同，但所體現(xiàn)的都是對(duì)人的發(fā)展的關(guān)注，且都強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)具有層次性。例如，國(guó)際經(jīng)濟(jì)合作組織（OECD）所提出的核心素養(yǎng)中的一項(xiàng)就是能互動(dòng)地運(yùn)用工具，其中提到：不僅需要熟悉工具本身，也要理解它能如何改變一個(gè)人與世界互動(dòng)的方式，如何利用工具去實(shí)現(xiàn)更多更大的目標(biāo)，工具并不只是一個(gè)被動(dòng)的媒介，也是個(gè)體與周?chē)h(huán)境對(duì)話(huà)所需要的主動(dòng)設(shè)備。［1］

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決中也需要運(yùn)用工具。PISA考試中就有一項(xiàng)要求學(xué)生使用電腦來(lái)作答，用以擴(kuò)展測(cè)評(píng)能力的范圍，這反映出信息和計(jì)算機(jī)技術(shù)作為現(xiàn)代社會(huì)媒介的重要性。這些題目的作答要求熟悉計(jì)算機(jī)操作，同時(shí)還要有運(yùn)用技術(shù)工具的素養(yǎng)和意識(shí)。此外，美國(guó)的“21世紀(jì)的技能”中有一項(xiàng)是信息、媒體和技術(shù)技能，英國(guó)的核心素養(yǎng)中也包括了信息與通訊技術(shù)素養(yǎng)，這表明國(guó)際上都普遍關(guān)注信息技術(shù)工具的運(yùn)用。在這樣的背景下，技術(shù)工具的運(yùn)用在許多國(guó)家的教學(xué)及評(píng)價(jià)中已日漸普及，并成為一種很自然的學(xué)習(xí)方式。這在幫助許多學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)和克服對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理恐懼等方面都發(fā)揮了很大的作用。同時(shí)，技術(shù)工具的運(yùn)用讓更多的人體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，能更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流，而不是機(jī)械地解題和死記套路與公式。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)并不是為了少數(shù)的數(shù)學(xué)精英，而是面對(duì)所有的學(xué)生，技術(shù)工具的運(yùn)用能滿(mǎn)足更多學(xué)生的更廣泛的需求，學(xué)生能從個(gè)人的角度，用不同的方式來(lái)理解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并在動(dòng)手操作中獲得更多的體驗(yàn)，從而提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

二、運(yùn)用技術(shù)工具有利于落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

目前業(yè)內(nèi)所主張的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析這幾個(gè)方面。技術(shù)工具能在提升不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面發(fā)揮獨(dú)特的作用。例如，在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)上，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象需要為學(xué)生提供足夠多的素材，讓學(xué)生從各個(gè)不同的角度來(lái)全面準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)。目前國(guó)際數(shù)學(xué)教育中提倡的多元聯(lián)系，就是讓學(xué)生能從數(shù)值的、幾何的、代數(shù)的等不同的側(cè)面來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題，而技術(shù)工具能方便地實(shí)現(xiàn)多元聯(lián)系，讓學(xué)生將更多的精力放在高層次的思維發(fā)展上。

在數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)上，基于技術(shù)工具的數(shù)據(jù)分析能使學(xué)生通過(guò)真實(shí)的問(wèn)題情境來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)，進(jìn)行真實(shí)的問(wèn)題解決而不是簡(jiǎn)單湊幾個(gè)數(shù)來(lái)解題。在現(xiàn)行的大多數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容多涉及固定的算法，學(xué)生更多的精力放在了一些知識(shí)技能的學(xué)習(xí)上，而現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)生所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題可能會(huì)復(fù)雜得多，也未必具有常規(guī)性。有了技術(shù)工具的深度介入，會(huì)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義也更富創(chuàng)造力。

在直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)上，技術(shù)工具的優(yōu)勢(shì)在于提供動(dòng)態(tài)圖形、自動(dòng)計(jì)算結(jié)果，學(xué)生據(jù)此“抱果索因”。更為積極的是，技術(shù)工具提供了創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的途徑和空間，不同的學(xué)生可以通過(guò)工具來(lái)實(shí)現(xiàn)自己的想法，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。至于數(shù)學(xué)運(yùn)算，有些人覺(jué)得技術(shù)工具的介入會(huì)削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。事實(shí)上，有計(jì)劃有引導(dǎo)地運(yùn)用工具會(huì)極大地提升學(xué)生的運(yùn)算能力，讓許多學(xué)生從繁復(fù)的數(shù)值運(yùn)算中解脫出來(lái)，“策略性地使用工具”會(huì)使學(xué)生有更多的精力來(lái)關(guān)心算理、優(yōu)化運(yùn)算的方法。

由上述分析可以看到，在現(xiàn)階段技術(shù)工具不是“要不要用”的問(wèn)題，而是“如何去用好”的問(wèn)題。在這一點(diǎn)上，國(guó)外在課程目標(biāo)的設(shè)定、教材內(nèi)容的處理、教師的技術(shù)素養(yǎng)和技能的發(fā)展等方面的一些做法值得研究借鑒。

三、技術(shù)工具運(yùn)用的一些經(jīng)驗(yàn)

許多新的學(xué)習(xí)方式是伴隨著技術(shù)工具的介入和學(xué)習(xí)環(huán)境的變化而產(chǎn)生的，是與學(xué)習(xí)理念和課程的要求聯(lián)系在一起的。從人的發(fā)展出發(fā)，國(guó)外的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)技術(shù)運(yùn)用有要求，美國(guó)在2000年全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就提出了技術(shù)性原則，美國(guó)《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“策略性地使用工具”。美國(guó)各個(gè)州在計(jì)算器等工具的運(yùn)用上結(jié)合具體的年段與考試類(lèi)型作了明確的規(guī)定，這有利于幫助和規(guī)范學(xué)生對(duì)技術(shù)工具的運(yùn)用。我注意到eudcation.ti. com上所提供的每個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)案例都有相關(guān)的課程標(biāo)準(zhǔn)要求的鏈接，讓使用者可以有的放矢地去思考運(yùn)用技術(shù)工具的價(jià)值和意義，從而使教師在開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)活動(dòng)方案時(shí)能把握好方向。

國(guó)外的教材一般也帶有多樣性、選擇性，在同一個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)下會(huì)有多種不同版本的教材，這樣的做法能關(guān)注個(gè)體的差異、適合不同學(xué)習(xí)者的需求，有些教材會(huì)強(qiáng)調(diào)技術(shù)工具的運(yùn)用。例如美國(guó)的學(xué)校數(shù)學(xué)方案 （UCSMP）中的教材Functions，Statistics，and Trigonometry在前言中就對(duì)技術(shù)工具的運(yùn)用做了說(shuō)明和要求；在例題、探究活動(dòng)中有技術(shù)工具運(yùn)用的安排；在部分例題的解法上，除了用傳統(tǒng)的方法解題以外，還用技術(shù)工具來(lái)解題；教材許多地方附有技術(shù)工具運(yùn)用的提示和運(yùn)用意圖的說(shuō)明，一部分習(xí)題還專(zhuān)門(mén)做了標(biāo)記，表示這些題若用技術(shù)工具則有利于思考，等等。教材有機(jī)地融入了技術(shù)工具使用的要求與學(xué)法指導(dǎo)，這對(duì)于學(xué)生的思維和學(xué)習(xí)方式會(huì)形成一定的影響，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)和理解，也有利于學(xué)生的問(wèn)題解決。

此外，在學(xué)業(yè)考試中，許多國(guó)家對(duì)不同的考試有不同的技術(shù)工具運(yùn)用的要求。例如澳大利亞維多利亞州的考試有些只能用筆，而有些可以用帶有計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)（CAS）的計(jì)算器、計(jì)算機(jī)。這些工具在考試前不需要清除內(nèi)存，具體細(xì)則可登入Victorian Curriculum and Assessment Authority的網(wǎng)站（vcaa.vic.edu.au），在上面查找以往的試卷和工具使用的要求，閱讀之后會(huì)讓人感覺(jué)到工具的介入帶給試題形式、試題內(nèi)容的變化，以及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展帶來(lái)的影響。

我國(guó)現(xiàn)在也越來(lái)越重視和強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)的運(yùn)用，但在具體的操作層面還缺乏規(guī)劃指導(dǎo)和落實(shí)，在學(xué)習(xí)內(nèi)容及考試上還缺乏選擇性，在教材的呈現(xiàn)上缺少一些能反映技術(shù)工具運(yùn)用特點(diǎn)的內(nèi)容以滿(mǎn)足不同的需求。在教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展上需要有更多能適應(yīng)實(shí)際教學(xué)的針對(duì)性培訓(xùn)，需要在不同的層面上拓展技術(shù)工具運(yùn)用的范圍，這些我們可以汲取國(guó)外的一些成功的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合我們的實(shí)際來(lái)進(jìn)行一些有效的變革，更好地帶動(dòng)學(xué)法的改變和對(duì)人的培養(yǎng)的重視，真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、技術(shù)工具運(yùn)用的教學(xué)案例

技術(shù)工具的運(yùn)用有一個(gè)從熟悉、理解到整合課程內(nèi)容的過(guò)程，熟悉工具是第一步，也是用好工具的基礎(chǔ)，從核心素養(yǎng)出發(fā)深入理解認(rèn)識(shí)工具在學(xué)習(xí)中的作用與價(jià)值，了解學(xué)生各自不同的需求，有序地安排工具的逐步介入，從人的需求出發(fā)合理地使用工具，最后要根據(jù)學(xué)生和所學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)運(yùn)用才能真正地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展?；诩夹g(shù)工具的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)途徑，它可以增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂(lè)趣，也是解決更具有實(shí)際價(jià)值的挑戰(zhàn)性問(wèn)題的重要途徑。我們看一個(gè)例子。

例：在函數(shù) y=xn（n∈N*）的學(xué)習(xí)過(guò)程中，運(yùn)用技術(shù)工具學(xué)生能獲得不一樣的體驗(yàn)和收獲。

圖1

圖2

圖3

圖4

學(xué)生可先作函數(shù)y=x2的圖象，在函數(shù)圖象上任取點(diǎn)并測(cè)得其坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義作出該點(diǎn)的切線(xiàn)并測(cè)得其斜率（圖1），反復(fù)上面的步驟，在電子表格中記錄數(shù)據(jù)，讓學(xué)生猜想y=x2的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是怎樣的，當(dāng)然也可以通過(guò)作散點(diǎn)圖來(lái)進(jìn)行直觀觀察（圖2）；接下來(lái)可將y=x2改成y=x3（圖3，圖4）重復(fù)前面的過(guò)程……，學(xué)生可以切實(shí)地認(rèn)識(shí)y=xn（n∈N*）的導(dǎo)數(shù)，在歸納猜想中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，在實(shí)踐操作中理解認(rèn)識(shí)了概念。學(xué)生還可以進(jìn)行拓展將指數(shù)推廣為負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)，并能用代數(shù)系統(tǒng)來(lái)確認(rèn)結(jié)果的正確與否，這里學(xué)生獲得的不僅僅是知識(shí)，同時(shí)收獲了思考解決問(wèn)題的方法。

這樣的例子可以有許多，例如用若干個(gè)函數(shù)圖象來(lái)作一個(gè)圖形，可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域?qū)ΨQ(chēng)性等），有利于發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力和想象力，而這個(gè)活動(dòng)沒(méi)有技術(shù)工具是不能實(shí)現(xiàn)的；又如許多解析幾何的內(nèi)容非常抽象，有了技術(shù)工具可以方便學(xué)生類(lèi)比、推廣、思辨，降低了教學(xué)的難度。技術(shù)工具可以幫助我們進(jìn)行多樣化的教學(xué)，使許多學(xué)生都能真實(shí)地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，切實(shí)地提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

技術(shù)工具為多元化的學(xué)習(xí)提供了可能，學(xué)生可以通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦進(jìn)行操作活動(dòng)。在此期間教師的設(shè)計(jì)引導(dǎo)至關(guān)重要，要站在“核心素養(yǎng)”的高度充分為學(xué)生的發(fā)展思考著想，使用技術(shù)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生從中獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，理解并掌握數(shù)學(xué)。我們可以向國(guó)外的教學(xué)學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)問(wèn)題融入學(xué)生的操作活動(dòng)中，讓學(xué)生進(jìn)行探究、轉(zhuǎn)化、歸納、驗(yàn)證，在問(wèn)題的引導(dǎo)下使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具有數(shù)學(xué)的特質(zhì)，借力技術(shù)工具發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，用技術(shù)工具促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的優(yōu)化，讓學(xué)生學(xué)習(xí)更好的數(shù)學(xué)。

［1］OECD.The Definition and Selection of Key Competencies:Executive Summary［EB/OL］.http:// www.oecd.org/pisa/35070367.pdf，2005-05-27.

G633.6

A

1005-6009（2017）27-0015-03

桂思銘，上海市曹楊第二中學(xué)（上海，200062）教師，上海市特級(jí)教師，華東師范大學(xué)基礎(chǔ)教育特聘教授。