魯仁偉

判定平行四邊形的幾種猜想

魯仁偉

同學(xué)們都已學(xué)習(xí)過“三角形全等的判定條件”了，試試將這部分知識遷移到平行四邊形中.已知四邊形ABCD，下面有7個(gè)猜想：

（1）兩組對角相等；

（2）一組對邊相等且另一組對邊平行；

（3）一組對邊相等且一組對角相等；

（4）一組對邊平行且一組對角相等；

（5）一組對邊相等且一條對角線被另一條對角線平分；

（6）一組對邊平行且一條對角線被另一條對角線平分；

（7）一組對角相等且一條對角線被另一條對角線平分.

這7個(gè)猜想能判定四邊形ABCD是平行四邊形嗎？接下來，我們將一一論證.

猜想1：兩組對角相等的四邊形是平行四邊形

已知四邊形ABCD，如圖1，∠A=∠C，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖1

證明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，

∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，

∴AD//BC，同理，AB//CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

因此，猜想1正確.

猜想2：一組對邊相等且另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

滿足猜想2的四邊形可以是等腰梯形，所以猜想2是不成立的.

猜想3：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形

圖2

如圖2，以平行四邊形ABCD的邊BC為半徑，以點(diǎn)B為圓心畫圓，再作△BCD的外接圓，與⊙B交于點(diǎn)C和點(diǎn)C′，連接C′B、C′D，

∵BC′=BC，∴AD=BC′，

∵∠C=∠C′，∴∠A=∠C′，

∴四邊形ABC′D有一組對邊相等和一組對角相等，但不是平行四邊形，所以猜想3不正確.

猜想4：一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形

已知四邊形ABCD，如圖3，AB//CD，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖3

證明：∵AB//CD，∴∠A+∠D=180°，

∵∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∴AD//BC.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.所以猜想4正確.

猜想5：一組對邊相等且一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形

圖4

如圖4，以平行四邊形ABCD的邊AB為半徑，以點(diǎn)A為圓心畫弧，交對角線BD于點(diǎn)B′，連接AB′和B′C，則四邊形AB′CD符合猜想5的條件，但不是平行四邊形，所以猜想5不正確.

猜想6：一組對邊平行且一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形

已知四邊形ABCD，如圖5，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB//CD，AO=OC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖5

證明：∵AB//CD，

∴∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠DCA，

在△AOB與△COD中，OA=CO，∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠DCA，

∴△AOB≌△COD.∴OB=OD.

∵OA=OC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，猜想6正確.

猜想7：一組對角相等且一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形

圖6

如圖6所示，已知線段AC垂直平分BD，垂足為O，顯然OB=OD.依據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，連接A、B、C、D，易得AB=AD，CB=CD.依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，易得∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，所以∠ABC=∠ADC.四邊形ABCD滿足猜想7的條件，但不是平行四邊形，所以猜想7不正確.

同學(xué)們，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能局限于教材.類比全等三角形的判定方法，探究平行四邊形的判定方法，你有什么收獲嗎？

江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)）