安徽省臨泉縣第一中學(236400) 曹勝龍

橢圓外切四邊形的一個幾何恒等式

安徽省臨泉縣第一中學(236400) 曹勝龍

文[1]給出了三角形內切橢圓的一個如下幾何恒等式:

命題1設△ABC的一個內切橢圓分別與BC,CA,AB邊切于D,E,F,則下列等式恒成立

筆者讀后受到啟發(fā)進而思考,這個結論既然在三角形中成立,而在平面幾何中,三角形是最基本、最簡單的多邊形,如果將三角形的邊數進行拓展四邊形,結論是否還會成立?按照馬老師的探索思路,發(fā)現這個幾何恒等式對四邊形也是成立的,故而得到如下結果:

命題2 設橢圓外切四邊形ABCD的邊DA,AB,BC,CD與橢圓切于E,F,G,H,則下列等式恒成立

證明如圖所示,設P,Q是橢圓的兩個焦點,P關于AD,AB的對稱點分別是M,N,由橢圓的光學性質知M,N兩點必落在直線EQ,FQ上且MQ=NQ=2a(橢圓的長軸長).又由于AM=AN=AP,所以△AMQ∽△ANQ,因此∠AMQ=∠ANQ,設∠AEP=α,∠AFP=β,則在△AME中,由正弦定理得

圖1

同理在△ANF中

由AM=AN=AP,∠AMQ=∠ANQ,并結合①②得

在△EPQ中由余弦定理得

所以b2=EP·EQsin2α同理,在△FPQ中,b2=FP· FQsin2β.所以

按此思路,繼續(xù)擴大邊數,我們可得橢圓外切n邊形A1,A2,...,An也有此恒等式

可類比猜想得

[1]馬利國.三角形內切橢圓的又一個幾何恒等式[J].中學數學教學參考,2011,4.

[2]周峻民.三角形內切橢圓的一個幾何恒等式[J].數學通報,2010,8.