華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 黃紫敬

巧用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式*

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 黃紫敬

本文主要以十二道《數(shù)學(xué)通報(bào)》征解問題的另證為例,說明如何通過觀察題目結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造凸函數(shù),從而利用琴生不等式解題.

不等式 構(gòu)造函數(shù) 琴生不等式

分式不等式的證明靈活多變,技巧性非常強(qiáng),構(gòu)造函數(shù)法是證明分式不等式的有效手段之一.利用構(gòu)造函數(shù)法來證明不等式實(shí)質(zhì)上是對(duì)凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,其關(guān)鍵在于找到恰當(dāng)?shù)耐购瘮?shù).本文主要以十二道《數(shù)學(xué)通報(bào)》征解問題的另證為例,說明如何通過觀察題目的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造凸函數(shù),從而利用琴生不等式解題.

一、直接構(gòu)造

例1(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2045號(hào)數(shù)學(xué)問題)x,y,z＞0,且x+y+z=1.求證:

整理即得原不等式成立.

在例1中,題目中有已知條件“和為1”,其實(shí),即使是題目中沒有已知條件“和為1”,對(duì)于具有輪換對(duì)稱性質(zhì)的不等式證明,我們也可以構(gòu)造條件“和為1”,從而利用琴生不等式簡化解題.

證明待證不等式具有輪換對(duì)稱特點(diǎn),不妨設(shè)x+y+z=1,則待證不等式

易得f(a)是(0,1)區(qū)間的上凸函數(shù),由琴生不等式即得原不等式成立.

二、巧用不等式變形

用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),前面例子題目結(jié)構(gòu)特征非常明顯,可以直接構(gòu)造函數(shù)解題.而對(duì)于結(jié)構(gòu)特征不太明顯的題目,我們可以通過均值不等式巧妙對(duì)已知條件進(jìn)行變形,從而利用構(gòu)造函數(shù)法解題.

易得f(x)是(0,1)上的下凸函數(shù),再由琴生不等式可得待證不等式成立.

三、借助變量代換

前面我們介紹了如何通過均值不等式對(duì)已知條件進(jìn)行變形,從而利用構(gòu)造函數(shù)法解題.其實(shí),對(duì)于更為復(fù)雜的不等式證明題,我們還可以通過變量代換方法簡化證明.

例5(《數(shù)學(xué)通報(bào)》1752號(hào)數(shù)學(xué)問題)已知a,b,c＞0,證明:

四、利用推廣的凸函數(shù)性質(zhì)

對(duì)前面例子中的單向不等式,琴生不等式發(fā)揮了巨大的作用,它實(shí)質(zhì)上是對(duì)凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.而對(duì)于形如M1≤F(a1,a2,...,an)＜M2或M1＜F(a1,a2,...,an)≤M2的雙向不等式,我們也可以通過對(duì)琴生不等式進(jìn)行推廣,從而利用構(gòu)造函數(shù)法解題.

[1]王毅,朱琨.琴生不等式的推廣應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2009,03:61-62.

*本文受華南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目資助.