浙江慈溪滸山中學(xué)(315300) 褚金芬 施利云

源于教材 高于教材
——平面向量中的兩個(gè)重要的恒等式及應(yīng)用

浙江慈溪滸山中學(xué)(315300) 褚金芬 施利云

中學(xué)數(shù)學(xué)中存在著大量的等量關(guān)系,如完全平方公式,立方和差公式,兩角和與差公式,平行四邊形兩對(duì)角線平方和等于兩鄰邊的平方和的兩倍等等.在高中數(shù)學(xué)中常常可以看到這些等量關(guān)系的運(yùn)用,但有些等量關(guān)系課本上沒(méi)直接給出,需要我們教師去挖掘,去拓展;并在課堂上引導(dǎo)學(xué)生參與到探究之中,讓他們自己發(fā)現(xiàn)并加以積累,然后會(huì)靈活地去解決相關(guān)問(wèn)題,它往往可以起到立竿見(jiàn)影的效果,甚至可以起到“秒殺”的效果.以下筆者舉例說(shuō)明.

1 極化恒等式

1.1極化恒等式設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,則a·b=

1.2出處人教版必修4 P109頁(yè)2.5.1平面幾何中的向量方法的例1,可以進(jìn)一步探究得到.

1.3 幾何意義兩個(gè)非零向量的數(shù)量積等于以這兩個(gè)向量鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”和差對(duì)角線平方差的四分之一.特殊地,△ABC中,其中AD為△ABC的BC邊上的中線.極化恒等式建立了向量與幾何長(zhǎng)度之間的橋梁,實(shí)現(xiàn)了向量與代數(shù)、幾何的巧妙結(jié)合.

1.4 極化恒等式的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)向量a,b是在e上的投影確定的兩個(gè)變化量,利用極化恒等式巧妙地把雙變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了單變量問(wèn)題,于是就迎刃而解了.類似地有2013年浙江省理科高考題第7題,2013年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)聯(lián)賽試題(這兩題從略),2016年浙江六校聯(lián)考第8題,2016年新高考研究聯(lián)盟二模第13題等.

點(diǎn)評(píng)此題如果通過(guò)建系,利用點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)得到關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的方程,根據(jù)點(diǎn)P的位置分四種情況討論方程各有二解時(shí)的取值范圍,最后取它們的交集,計(jì)算量明顯較大,而利用極化恒等式大大簡(jiǎn)化了計(jì)算.

點(diǎn)評(píng)利用極化恒等式很快地找到了動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡,比通過(guò)建系得到點(diǎn)P的軌跡方程的方法簡(jiǎn)潔了許多.

例4 (2016年浙江高考15題)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對(duì)任意單位向量e,均有則

2 數(shù)量積的余弦定理式

例8 (2016年鎮(zhèn)海最后卷第15題)如圖,在平面四邊形ABCD中,已知E、F、G、H分別是棱AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),若|EG|2?|HF|2=1,設(shè) |AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,則的最大值是

圖10

點(diǎn)評(píng)此題首利用四邊形EFGH為平行四邊形,結(jié)合平行四邊形法則及共線向量定理把條件轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為4個(gè)向量數(shù)量積,利用數(shù)量積的余弦定理式可以得到x,y,z的關(guān)系.

3 幾點(diǎn)反思

(1)這兩個(gè)恒等式源于教材又高于教材.所以在平時(shí)的教學(xué)中,我們要深入,挖掘教材,必要時(shí)要進(jìn)行一些拓展和提高.

(2)用這兩個(gè)恒等式處理具有三角幾何背景的問(wèn)題尤為簡(jiǎn)單,讓“秒殺”向量問(wèn)題成為一種可能.

(3)向量是既有大小又有方向的量,大小是向量的“血肉”,方向是向量的靈魂,它同時(shí)具有代數(shù)形式、幾何形式的雙重身份,是數(shù)形結(jié)合的典范.浙江的一些經(jīng)典考題或模擬題,其深刻厚重的幾何韻味,無(wú)不讓人心曠神怡,拍手叫絕!這兩個(gè)恒等式把向量的數(shù)量積問(wèn)題用形象、直觀的幾何圖形表現(xiàn)地淋漓盡致.