福建省惠安第三中學(362100) 江志杰

探析含絕對值函數(shù) 關(guān)注數(shù)學核心素養(yǎng)

福建省惠安第三中學(362100) 江志杰

含絕對值的函數(shù)通常是指有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號之內(nèi)的一類函數(shù),簡稱絕對值函數(shù).縱觀近幾年高考試題,有關(guān)含絕對值函數(shù)的最值問題層出不窮,它與方程、不等式、分段函數(shù)等密切交匯,立意新穎、綜合性強、能力要求高、解題難度大,常以壓軸題的形式出現(xiàn),彰顯數(shù)學重要思想方法,在高考命題中獨占鰲頭、經(jīng)久不衰.由于絕對值概念簡單熟悉,再加上絕對值本身具有非負特性以及表示距離的幾何特征,可移植性強,其與初等函數(shù)模型結(jié)合有助于開拓學生思維品質(zhì),培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和遷移能力,能較全面地考查學生的基本數(shù)學素養(yǎng).然而我們在高三復(fù)習中,由于缺乏對經(jīng)典題型進行解法探究與歸類,導(dǎo)致在該類熱點問題上往往出現(xiàn)思維混亂、解答困難的局面.為此,筆者擬對含絕對值的函數(shù)圖像和性質(zhì)進行梳理,并對此類題型的常用求解策略進行例析,僅供參考.

一、運用絕對值的幾何意義

我們知道:在數(shù)軸上,|a|表示實數(shù)a對應(yīng)的點與原點之間的距離,|a?b|表示實數(shù)a對應(yīng)的點與實數(shù)b對應(yīng)點之間的距離.說明很多含絕對值的函數(shù)蘊藏著“距離”的幾何特征,我們可憑借其幾何意義來化解問題.比如函數(shù)f(x)=|x?2|+|x+1|可形象地理解為:數(shù)軸上“動點x”與“定點2”、“定點?1”的距離之和,易得f(x)min=3.甚至以此可推廣出:諸如函數(shù)f(x)=|g(x)?a|±|g(x)?b||的最值問題,可代換為|t?a|±|t?b|的形式借助絕對值的幾何意義來解決.

類似地,對于一次含多個絕對值的和型函數(shù)f(x)=|x?a1|+|x?a2|+...+|x?an|,也可理解“動點x”與一系列“定點”(即各絕對值對應(yīng)的“零點”)的距離之和,憑借幾何直觀可以發(fā)現(xiàn):其最小值應(yīng)在一系列“零點”排序后的“中位數(shù)”處取得.

例1(2015年重慶高考理16)若函數(shù)f(x)=|x+1|+ 2|x?a|的最小值為5,則實數(shù)a=___.

解析因為f(x)=|x+1|+|x?a|+|x?a|,將其“絕對值零點”從小到大排序:

1)若a≥?1時,?1,a,a的中位數(shù)為a,由fmin(x)=f(a)=|a+1|=5得a=4;

2)若a＜?1時,a,a,?1的中位數(shù)為a,由fmin(x)=f(a)=|a+1|=5得a=?6.故a的值為4或?6.

二、利用絕對值三角不等式

在絕對值三角不等式“||a|?|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”的結(jié)構(gòu)中,當a±b為定值時,可求得|a|+|b|的最小值,或可求得||a|?|b||的最大值(需注意等號成立的條件).對照該不等式的結(jié)構(gòu),我們常以此來求某些絕對值函數(shù)的最值,如關(guān)于x的函數(shù)f(x)=|mx+c|±|nx+d|或f(x)=|mg(x)+c|±|ng(x)+d|(其中m,n,c,d為常數(shù),并且|m|=|n|),也就是當“變量部分”的系數(shù)相等或相反時,利用該重要不等式模型求最值無疑顯得極為簡明、快捷!

例2(2016年全國高考新課標III卷文理)已知函數(shù)f(x)=|2x?a|+a.

(I)當a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x?1|.當x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.

解析(I)略;(II)依題意得|2x?a|+|2x?1|≥3?a在R上恒成立,由絕對值三角不等式得|2x?a|+|2x?1|≥|a?1|,故得左邊的最小值為|a?1|.從而|a?1|≥3?a,解得a≥2.

例3(2016年浙江高考理15)已知向量|b|=2,若對任意單位向量e,均有則a·b的最大值是____.

解析本題雖是以平面向量的數(shù)量積為背景,卻離不開絕對值三角不等式的關(guān)鍵性轉(zhuǎn)換,依題意得兩邊平方得|a|2+2a·b+|b|2≤6,解得即得a·b的最大值是在此絕對值三角不等式儼然是個功能強大的數(shù)學模型,絕對起到了工具性的作用,而且不知不覺地遷移滲透在數(shù)學其他領(lǐng)域.

三、借助絕對值函數(shù)的圖像

上述運用絕對值三角不等式求最值時,我們很關(guān)注絕對值函數(shù)“變量部分”的系數(shù)是否相等(或相反),倘若系數(shù)不具備如此特征或不符合絕對值三角不等式的結(jié)構(gòu)時,則絕對值三角不等式失效,此時可通過作出絕對值函數(shù)的圖像,考慮從數(shù)形結(jié)合角度來求解問題,比如函數(shù)f(x)=|x?2|+|3x+1|的最小值可通過作出其分段函數(shù)的圖像直觀求得.值得一提的是形如y=f(|x|)或y=|f(x)|的函數(shù)圖像可由y=f(x)的圖像經(jīng)過適當?shù)摹胺邸弊儞Q得到的,其有助于我們快速精準把握圖像的關(guān)鍵特征.

例4(2013年全國高考 (課標 I)理 11)已知函數(shù)若|f(x)|≥ax.則a的取值范圍是( )

A.(?∞,0] B.(?∞,1] C.[?2,1] D.[?2,0]

解析本題關(guān)鍵分析函數(shù)y=|f(x)|的圖像與直線y=ax的位置關(guān)系(如圖),利用導(dǎo)數(shù)知識求得左側(cè)曲線在原點處的切線斜率為?2,依題意得到a∈[?2,0],故答案選D.

圖1

四、逐一進行分段或分類討論

含絕對值的函數(shù)本身就是分段函數(shù)的“縮影”,為了簡化絕對值函數(shù)的結(jié)構(gòu)和全面掌握絕對值函數(shù)的性質(zhì)特征,我們經(jīng)常對其逐一進行分段研究,或就其所含參數(shù)變化引發(fā)的各種可能情況(如圖形位置的不確定性)進行分類討論,體現(xiàn)了將數(shù)學問題化整為零、化繁為簡的解題原則,應(yīng)該說絕對值函數(shù)就是培養(yǎng)分類整合、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學思想的上佳素材.

例5(2016年全國高考 (新課標 III)理 21)設(shè)函數(shù)f(x)=acos2x+(a?1)(cosx+1),其中a＞0,記|f(x)|的最大值為A.

(I)求f′(x);(II)求A;(III)證明:|f′(x)|≤2A.

解析(I)易得f′(x)=2asin2x?(a?1)sinx;(II)注意到f(x)可化為關(guān)于cosx的二次函數(shù):

且|g(1)|=2?3a＞a=|g(?1)|.故A=2?3a;

(III)由絕對值三角不等式可得:|f′(x)|=|?2asin2x?(a?1)|≤2a+|a?1|,鑒于A是關(guān)于a的分段函數(shù),要證|f′(x)|≤2A,即證2a+|a?1|均不大于2A的各段函數(shù).只要作差構(gòu)造函數(shù)

易得φ(a)≥0在(0,+∞)上的各段均成立,從而不等式得證.

點評上述解法思路始終遵循高中數(shù)學的通性通法,如第(II)小題研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,以及第(II)、(III)小題通過作差法來比較大小或證明不等式,其注重知識方法的基礎(chǔ)性又兼顧問題的綜合性,充分展現(xiàn)問題的檢測與選拔功能,有效考量學生在數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)學抽象、直觀想象等方面的核心素養(yǎng).

例6(2016年浙江高考理 19)已知a≥3,函數(shù)F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2},其中

(I)求使得等式F(x)=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍;

(II)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

解析(I)依題意得x2?2ax+4a?2≤2|x?1|(其中a≥3),該不等式可化為:

(II)(i)由(I)得

其中當x∈(?∞,2)∪(2a,+∞),在x=1處函數(shù)2|x?1|取到最小值0;當x∈[2,2a],在x=a處函數(shù)x2?2ax+4a?2取到最小值為?a2+4a?2.令?a2+4a?2＞0(a≥3)得故

五、圍繞絕對值函數(shù)的最值特征

若連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為M、最小值為m,則其對應(yīng)的絕對值函數(shù)y=|f(x)|在區(qū)間[a,b]上的最大值為max{|M|,|m|}.這說明要研究|f(x)|max,關(guān)鍵是先明確原函數(shù)的f(x)min,f(x)max從而才能切中絕對值函數(shù)最值問題的要害之處.

例7(2016年天津高考理20)設(shè)函數(shù)f(x)=(x?1)3?ax?b,x∈R,其中a,b∈R.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)設(shè)a＞0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于

解析(I)由f′(x)=3(x?1)2?a,且注意到3(x?1)2≥0. i)當a≤ 0時,f′(x)≥0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間;

ii)當a＞0時,

點評本題求|f(x)|max的關(guān)鍵是討論三次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值情況,尤其是極值與區(qū)間端點函數(shù)值的大小不確定性,是我們引發(fā)分類討論的“根源”.合理利用導(dǎo)數(shù)將“原函數(shù)”的圖像性質(zhì)研究透徹,自然就為研究絕對值函數(shù)的性質(zhì)架設(shè)了基礎(chǔ)“橋梁”!

結(jié)束語通過以上含絕對值函數(shù)最值問題的例析,可以看出其在高考中獨樹一幟、常考常新,解決該類問題的有效途徑歸根結(jié)底在于分類討論、作圖觀察.分類討論可以培養(yǎng)思維品質(zhì)的條理性、縝密性、概括性,其當仁不讓成為高考必不可少的熱點.對于該類函數(shù)而言,引發(fā)分類討論的主要原因不外乎以下若干情形:1)由絕對值概念引起的;2)由數(shù)學運算引起的;3)由性質(zhì)定理公式的限制引起的;4)由圖形的不確定性引起的;5)由參數(shù)的變化引起的.只有充分理解掌握分類根源,方能使探析討論過程線索清晰、有條不紊.另外,絕對值函數(shù)圖像是研究該類函數(shù)性質(zhì)的直觀載體,其具有化難為易、事半功倍之效,簡潔明快之感,常見作圖方法有:1)折線法(適合于一次絕對值函數(shù));2)翻折法(如y=f(|x|))或y=|f(x)|);3)分段法(將原函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)后作圖).熟練掌握絕對值函數(shù)作法技巧,有助于我們形象把握函數(shù)的本質(zhì)特征或快速找到解決問題的切入點.可以說,解決含絕對值函數(shù)最值問題就是要恰如其分地發(fā)揮分類整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想,其有利于促進學生形成數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、推理論證、數(shù)學建模等方面的核心素養(yǎng).