東莞高級(jí)中學(xué)(523128) 劉心華

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)用好課本的幾點(diǎn)思考
——源于課本的求軌跡方程高考題

東莞高級(jí)中學(xué)(523128) 劉心華

高中新課程倡導(dǎo)“用教材教”,而不是“教教材”,其目的就是要求教師能夠靈活地、創(chuàng)造性地使用教材.但是在高三的復(fù)習(xí)迎考中,相當(dāng)多的教師認(rèn)為課本沒有什么好講,老師不太喜歡使用課本中的例習(xí)題,學(xué)生也覺得課本沒有什么好做,認(rèn)為課本中的例習(xí)題過于簡(jiǎn)單,對(duì)訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維并沒有多大幫助,而是從一些教輔資料中選擇例題與習(xí)題或者干脆使用高考題.

實(shí)際上,教材中的例習(xí)題是編者精心挑選,再三醞釀后挑中的,具有典型性、示范性和針對(duì)性,既可以幫助學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)、進(jìn)行思維訓(xùn)練,又可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)發(fā)展能力.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)重視課本的例習(xí)題,把分散在課本中的相關(guān)例習(xí)題聚結(jié)串聯(lián)起來,可以加深一類問題的深刻理解;把課本中的一些例習(xí)題織網(wǎng)匯面,形成知識(shí)模塊,可以獲得求解一類問題的通性通法;對(duì)課本中例習(xí)題及隱含于其中的方法進(jìn)行連片整理總結(jié),可以提煉一類問題的數(shù)學(xué)思想方法.本文以人教版《數(shù)學(xué)》選修2-1中的例習(xí)題為例,結(jié)合近幾年高考中的求軌跡方程問題,談?wù)勛约簩?duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)用好課本的幾點(diǎn)思考.

一、結(jié)成點(diǎn)—熟練基本技能

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的在于熟練基本技能,提高學(xué)生解決問題的能力.將課本中的形異質(zhì)同的例習(xí)題聚結(jié)成點(diǎn),揭示知識(shí)與方法的聯(lián)系,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與方法的內(nèi)化,提高學(xué)生解決問題的基本技能.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第36頁(yè)例3)已知一條直線l和它上方的一個(gè)點(diǎn)F,點(diǎn)F到直線l的距離是2.一條曲線也在l的上方,它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到l的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求這條曲線的方程.

問題2(教科書第47頁(yè)例6)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到直線l:x=的距離的比是常數(shù)求點(diǎn)M的軌跡.

問題3(教科書第50頁(yè)習(xí)題2.2B組第3題)點(diǎn)M與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離的比是1:2,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明它是什么圖形.

問題4(教科書第59頁(yè)例5)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)求點(diǎn)M的軌跡.

問題5(教科書第62頁(yè)習(xí)題2.3B組第3題)求到定點(diǎn)F(c,0)和它到定直線l:距離之比是)的點(diǎn)M的軌跡方程.

本組課本中的例習(xí)題運(yùn)用直接法不難求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,從問題2到問題5,以上題組可以統(tǒng)一為:到定點(diǎn)距離與到定直線距離之比等于定值(大于1、等于1、小于1)的點(diǎn)的軌跡問題.高三復(fù)習(xí)課中將課本中的這些問題集中到一起解決,一方面使學(xué)生掌握解決這類問題的基本方法,另一方面可以讓學(xué)生了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義,學(xué)生可以更好的認(rèn)識(shí)圓錐曲線的有關(guān)概念,這樣既符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,又有利于學(xué)生整體上的提高.以下高考題中的求軌跡方程問題來自本組課本問題:

問題(2013年陜西高考文20)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.

二、串成線—總結(jié)解題規(guī)律

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的在于總結(jié)解題規(guī)律,提高學(xué)生綜合解題的能力.由于高一、高二學(xué)生所學(xué)的知識(shí)是零散的,高三復(fù)習(xí)的一個(gè)重要任務(wù)就是把相對(duì)零散的知識(shí)串聯(lián)起來,形成有機(jī)的知識(shí)鏈,一方面加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)的理解,另一方面讓學(xué)生以更高的觀念審視數(shù)學(xué),以更靈活的方法解答問題.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第41頁(yè)例 3)如圖 1,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(?5,0),(5,0),直 線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是求點(diǎn)M軌跡方程.

圖1

問題2(教科書第 55頁(yè)探究)如圖2,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(?5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是試求點(diǎn)M軌跡方程.

圖2

問題3(教科書第 42頁(yè)練習(xí) 4)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(?1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點(diǎn)M軌跡是什么?為什么?

圖3

問題4(教科書第74頁(yè)B組第3題)已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(?1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2,求點(diǎn)M的軌跡方程.

問題5(教科書第80頁(yè)A組第10題)已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(?5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m/=0),試探求頂點(diǎn)C的軌跡.

問題6(教科書第81頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第5題)已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(?1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之和是2,求點(diǎn)M的軌跡方程.

課本中本組例習(xí)題要解決的是動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線斜率的和、差、積(正數(shù)、負(fù)數(shù))、商的軌跡問題,運(yùn)用直接法,求出的軌跡為橢圓、雙曲線、拋物線等曲線方程.若對(duì)問題1與問題2進(jìn)行一般推廣,還可以得到橢圓與雙曲線的另外一種“定義”方式.高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中要充分利用課本中的這些例習(xí)題,把握問題間的聯(lián)系,尋找一般解法,總結(jié)解題規(guī)律.掌握了解答此類問題的基本方法,可以解決以下求軌跡方程的高考題:

三、織成網(wǎng)—完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的在于完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò).運(yùn)用知識(shí)之間的交叉、滲透和組合,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)問題是高考命題的特點(diǎn).高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要利用好課本中的例習(xí)題,挖掘知識(shí)點(diǎn)間橫向聯(lián)系,抓住起支撐作用的主干,完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò),促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第35頁(yè)例2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(?1,?1),(3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.

問題2(教科書第37頁(yè)習(xí)題2.1A第2題)求和點(diǎn)O(0,0),A(c,0)距離的平方差為常數(shù)c的點(diǎn)的軌跡方程.

問題3(教科書第37頁(yè)習(xí)題2.1A第3題)兩個(gè)定點(diǎn)的距離為6,點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26,求點(diǎn)M的軌跡方程.

問題4(教科書第54頁(yè)例2)已知A,B兩地相距800 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s,且聲速為340 m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.

問題5(教科書第62頁(yè)習(xí)題2.3B組第2題)相距1400 m的A,B兩個(gè)哨所,聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3 s,已知聲速為340m/s,問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上,為什么?

問題6(教科書第41頁(yè)例2)如圖2.2-5,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么?為什么?

問題7(教科書第74頁(yè)B組第1題)從拋物線y2=2px(p＞0)上各點(diǎn)向x軸作垂線段,求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

問題8(教科書第50頁(yè)習(xí)題 2.2B組第1題)如圖,DP⊥x軸,點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上,且當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.與例2相比,你有什么發(fā)現(xiàn)?

圖4

課本中本組例習(xí)題的解決可以運(yùn)用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、幾何法,針對(duì)課本例習(xí)題不同的類型,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中尋求問題解決的途徑.數(shù)學(xué)知識(shí)本身系統(tǒng)性很強(qiáng),把握好知識(shí)的交匯點(diǎn),才能溝通知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò),促進(jìn)知識(shí)與方法的融會(huì)貫通,進(jìn)而靈活運(yùn)用.以下高考題中的求軌跡方程問題來自本組課本問題:

問題1(2014年福建高考文21)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=?3的距離小2.

(1)求曲線Γ的方程;

(2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B,試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.

問題2(2014年湖北高考理21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1,記點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P(?2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.

四、匯成面—領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想

新課程高考顯著特點(diǎn)是在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上,突出對(duì)數(shù)學(xué)思想與核心能力的考察.教師應(yīng)在關(guān)注通性通法的前提下,交匯成面,重視問題中數(shù)學(xué)思想的滲透,幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第37頁(yè)練習(xí)第3題)如圖,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2),過點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),求點(diǎn)M的軌跡方程.

圖5

問題2(教科書第37頁(yè)習(xí)題2.1A組第4題)過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2?6x+5=0相交于A,B兩點(diǎn),求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

問題3(教科書第37頁(yè)習(xí)題2.1B組第1題)過點(diǎn)P(3,4)的動(dòng)直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A,B,過A,B分別做兩軸的垂線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

問題4(教科書第37頁(yè)習(xí)題2.1B組第2題)一動(dòng)圓截直線3x?y=0和3x+y=0所得弦長(zhǎng)分別為8,4,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

問題5(變式題)設(shè)A1,A2是橢圓的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn),P1,P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn),求直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)的軌跡方程.

課本中本組例習(xí)題的解決可以運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法、幾何法、參數(shù)法、交軌法,特別是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程、分類討論的思想貫穿本組問題的解題整過過程.數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之中,它與數(shù)學(xué)知識(shí)的形成同步發(fā)展,教師應(yīng)充分挖掘課本例習(xí)題的潛力,引導(dǎo)學(xué)生積極思考,探索問題的解決途徑,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想.以下高考題中的求軌跡方程問題來自本組課本問題:

問題1(2015年廣東高考文理20)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2?6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);

(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線l:y=k(x?4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.

問題2(2014年全國(guó)新課標(biāo)1文20)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2?8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求M的軌跡方程;

(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.

問題3(2013年全國(guó)新課標(biāo)II文20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,己知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為在y軸上截得線段長(zhǎng)為

(1)求圓心P的軌跡方程;

(2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為求圓P的方程.

問題4(2013年陜西高考理20)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;

(2)已知點(diǎn)B(?1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點(diǎn).

問題5(2016年全國(guó)新課標(biāo)1理20)設(shè)圓x2+y2+2x?15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

五、連成片—提升思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)是以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力為目的,能力考查也是高考的重點(diǎn)和永恒主題.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要實(shí)現(xiàn)知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化,就要充分發(fā)揮課本例習(xí)題的價(jià)值,把一些“不起眼”例習(xí)題連片歸納推廣,挖掘課本例習(xí)題的內(nèi)涵和外延,提升思維能力.來看課本中的一組軌跡問題:

問題1(教科書第49頁(yè)A組第7題)如圖6,圓O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是什么?為什么?

圖6

問題2(教科書第62頁(yè)A組第5題)如圖7,圓O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O外一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是什么?為什么?

圖7

問題3(教科書第50頁(yè)習(xí)題2.2B組第2題)一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時(shí)與圓x2+y2?6x?91=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

問題4(教科書第 50頁(yè)B組第 4題)如圖 8,矩形ABCD中,|AB|=8,|BC|=6.E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),R,S,T是線段OF的四等分點(diǎn),R′,S′,T′是線段CF的四等分點(diǎn).請(qǐng)證明直線ER與GR′,ES與GS′、ET與GT′的交點(diǎn)L,M,N都在橢圓

圖8

課本中本組例習(xí)題的解決可以運(yùn)用定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法,但如果就題講題,本組例習(xí)題應(yīng)有的功效就沒有發(fā)揮出來,對(duì)于問題4可以從多個(gè)角度,運(yùn)用不同的方法求解,在常見中求新意,在平凡中見奇效.對(duì)問題4的多角度多方法求解,解決以下高考題中的求軌跡方程問題就顯得駕輕就熟:

問題1(2013年全國(guó)新課標(biāo) I理 20)已知圓M: (x+1)2+y2=1,圓N:(x?1)2+y2=9,動(dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程;

(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),求|AB|.

問題2(2013年福建高考理18)如圖,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10).分別將線段OA和AB十等分,分點(diǎn)分別記為A1,A2,...,A9和B1,B2,...,B9,連結(jié)OBi,過Ai做x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N?,1≤i≤9).

圖9

(1)求證:點(diǎn)Pi(i∈N?,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;

(2)過點(diǎn)C做直線與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M,N,若△OCM與△OCN的面積比為4:1,求直線的方程.

高考試題源于課本.課本在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中占據(jù)無(wú)可替代的作用.課本的例習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)點(diǎn)、解題技巧、數(shù)學(xué)思想方法.我們?nèi)裟軐?duì)課本中的例習(xí)題進(jìn)行認(rèn)真地研究,挖掘其內(nèi)在的潛能,在高三復(fù)習(xí)中合理地再利用,不僅可以幫助學(xué)生擺脫“題?！?也有利于提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的質(zhì)量.

[1]劉紹學(xué).數(shù)學(xué)選修2-1[M].人民教育教育出版社,2014,6.

[2]徐愛勇.教材:高考復(fù)習(xí)的“根據(jù)地”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2012,3.