林其清

華南師范大學(xué) 政治與行政學(xué)院

linqiqing@foxmail.com

梁曉龍

中山大學(xué) 邏輯與認(rèn)知研究所

lianghillon@gmail.com

鄰域語(yǔ)義與修正真理論

林其清

華南師范大學(xué) 政治與行政學(xué)院

linqiqing@foxmail.com

梁曉龍

中山大學(xué) 邏輯與認(rèn)知研究所

lianghillon@gmail.com

古普塔和赫茲伯格在1982年各自獨(dú)立地提出了修正真理論，建立了可用于分析真與相關(guān)悖論的修正序列。修正真理論根據(jù)語(yǔ)句在所有修正序列中的表現(xiàn)，對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行分類。然而，修正真理論在某些語(yǔ)句的分類上不能令人滿意，如修正真理論把柯瑞悖論的逆命題斷定為絕對(duì)地真，這與直覺(jué)不一致。本文將從兩種路徑引入鄰域語(yǔ)義研究修正真理論。路徑一是在基模型上引入鄰域基模型，建立鄰域基模型修正序列。這類修正序列比經(jīng)典修正序列更多，增加的修正序列可使包括柯瑞悖論的逆命題在內(nèi)的一些語(yǔ)句的病態(tài)呈現(xiàn)出來(lái)。路徑二是通過(guò)引入鄰域語(yǔ)義模型，使得對(duì)任意不含模態(tài)詞的公式?，模態(tài)公式□?在后繼階段的真值可以反映?在上一階段的真值，并且□?在極限階段的真值可以反映?在至這個(gè)極限階前是否穩(wěn)定真。從而可以通過(guò)□?的真值來(lái)限定T┍?┑的真值，使得滿足相應(yīng)限制的模型類表示了相應(yīng)的修正序列。本文最后將對(duì)兩個(gè)路徑進(jìn)行整合，構(gòu)造出能表示鄰域基模型修正序列的整體修正序列模型。

修正真理論；修正序列；鄰域語(yǔ)義；柯瑞悖論的逆命題

1 修正真理論與關(guān)系語(yǔ)義

1.1 修正真理論

塔斯基認(rèn)為一個(gè)合理的（相當(dāng)于某個(gè)）語(yǔ)言的真謂詞定義必須蘊(yùn)含(T)模式的所有代入特例：

其中p可以代入該語(yǔ)言的任何語(yǔ)句，S是p在該語(yǔ)言中的名稱。由于說(shuō)謊者類型語(yǔ)句的存在，塔斯基認(rèn)為句法資源豐富的語(yǔ)言無(wú)法定義自身真謂詞。

古普塔和貝爾納普認(rèn)為(T)模式的“當(dāng)且僅當(dāng)”不應(yīng)該看作實(shí)質(zhì)等值，而應(yīng)該看作是在下定義，(T)模式的每個(gè)代入特例都是真謂詞的一個(gè)部分定義，所有這些部分定義的總體給出了真謂詞的完整定義，真謂詞是一個(gè)循環(huán)概念。古普塔和貝爾納普認(rèn)為循環(huán)概念有其合理性及其運(yùn)作方式，傳統(tǒng)定義理論要求定義項(xiàng)中不能直接或者間接地出現(xiàn)被定義項(xiàng)的要求是不合理的。非循環(huán)的定義，如G(x)=dfA(x)，其中A(x)不包含G直接或者間接的出現(xiàn)，這類型的定義提供了一條“絕對(duì)”的規(guī)則供我們判斷一個(gè)對(duì)象是否屬于G的外延：若對(duì)象d滿足A，那么d就屬于G的外延；反之，d不屬于G的外延。循環(huán)定義并不提供一條絕對(duì)的規(guī)則，而是提供了一條“修正”的規(guī)則。由于循環(huán)定義的定義項(xiàng)中包含了被定義項(xiàng)，所以只有先給出被定義項(xiàng)的假設(shè)的解釋，才可以通過(guò)定義來(lái)產(chǎn)生被定義項(xiàng)的新的解釋，即通過(guò)定義“修正”對(duì)被定義項(xiàng)的假設(shè)的解釋，產(chǎn)生被定義項(xiàng)的新的解釋，這個(gè)新的解釋比原來(lái)的假設(shè)更好。古普塔和貝爾納普認(rèn)為我們?nèi)粘Ｋ褂玫恼嬷^詞就是循環(huán)定義的一個(gè)特例。他們聲稱：根據(jù)對(duì)真謂詞的這個(gè)看法，真謂詞的大部分行為，無(wú)論是正常的行為還是病態(tài)的行為，都可以得到解釋。（[5]，第137頁(yè)）

若L是由一階語(yǔ)言L?加入一個(gè)特殊的一元謂詞符T膨脹所得的一階語(yǔ)言，并且L?滿足對(duì)于L中的任意語(yǔ)句φ，┍φ┑都是L?的常元符，那么就把L稱為真語(yǔ)言，把L?稱為L(zhǎng)的基語(yǔ)言，把┍φ┑這樣的常元符稱為引用常元符，把不是引用常元符的常元符稱為非引用常元符。稱模型M=〈D,I〉為真語(yǔ)言L的基模型，如果模型M滿足以下三個(gè)條件：

1.M是基語(yǔ)言L?的經(jīng)典模型；

2.記L中所有語(yǔ)句的集合為Sent(L)，Sent(L)?D；

3.對(duì)于任意的φ∈Sent(L)，I(┍φ┑)=φ。

L為一個(gè)真語(yǔ)言，M=〈D,I〉是L的基模型，如果h是Sent(L)的一個(gè)子集，則把h稱為一個(gè)假設(shè)。如果M′=〈D,I′〉是M相對(duì)于L的膨脹模型，并且I′(T)=h，則把M′記為M+h。若M+h?φ，則稱φ在模型M+h下為真；若M+hφ，則稱φ在模型M+h下為假。若φ∈h，則稱h把φ斷定為真；若φ?h，則稱h把φ斷定為假。

給定真語(yǔ)言L，L的基模型M=〈D,I〉，修正規(guī)則τM把假設(shè)映射到假設(shè)，τM規(guī)定如下（為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，在不引起混淆的情況下，僅以τ表示τM）：

任給T的嘗試性的解釋，不妨記作h，τ作用在h上產(chǎn)生一個(gè)比h更好地作為T的解釋的假設(shè)τ(h)，τ的再一次作用又可以產(chǎn)生比這個(gè)新的解釋更好的解釋，假設(shè)τ(τ(h))，簡(jiǎn)記為τ2(h)，以此類推可以得到一個(gè)ω長(zhǎng)的假設(shè)序列：τ3(h),τ4(h),τ5(h),···,τn(h),···。為了使修正可以超窮地進(jìn)行下去，除了修正規(guī)則外還需要一個(gè)極限規(guī)則。有了極限規(guī)則后，就能得到以h為初始假設(shè)的全序數(shù)長(zhǎng)的修正序列。

1982年古普塔和赫茲伯格各自獨(dú)立地提出修正真理論時(shí)他們所提出的極限規(guī)則是不一樣的。同一年，貝爾納普對(duì)他們的極限規(guī)則進(jìn)行批判，并提出了一個(gè)更加自由的極限規(guī)則。三位作者都同意：在極限階段之前穩(wěn)定下來(lái)的語(yǔ)句（指從這個(gè)極限階段之前的某個(gè)階段起至這個(gè)極限階段以前一直被斷定為真或一直被斷定為假的語(yǔ)句）應(yīng)該被斷定為同樣的真值。但是他們對(duì)至這個(gè)極限階段不穩(wěn)定的語(yǔ)句（指至這個(gè)極限階段并非穩(wěn)定的語(yǔ)句）采取了不同的對(duì)待。古普塔認(rèn)為至這個(gè)極限階段不穩(wěn)定的語(yǔ)句如果在初始假設(shè)被斷定為真，則這個(gè)極限階段應(yīng)該把它斷定為真，否則應(yīng)該把它斷定為假。把這樣的極限規(guī)則稱作G-極限規(guī)則，按照G-極限規(guī)則建立起來(lái)的修正序列稱作G-修正序列。赫茲伯格認(rèn)為至這個(gè)極限階段不穩(wěn)定的語(yǔ)句應(yīng)該一律被斷定為假。把這樣的極限規(guī)則稱作H-極限規(guī)則，按照H-極限規(guī)則建立起來(lái)的修正序列稱作H-修正序列。貝爾納普認(rèn)為至這個(gè)極限階段不穩(wěn)定的語(yǔ)句可以隨意地被斷定為真或者被斷定為假。把這樣的極限規(guī)則稱作B-極限規(guī)則，按照B-極限規(guī)則建立起來(lái)的修正序列稱作B-修正序列。當(dāng)不指明時(shí)，修正序列指B-修正序列。

古普塔在其1982年的論文《真與悖論》（[4]）中提出，給定真語(yǔ)言L和L的基模型M=〈D,I〉，可以根據(jù)L中語(yǔ)句在所有修正序列中的表現(xiàn)（“穩(wěn)定地被斷定為真”又簡(jiǎn)稱為“穩(wěn)定真”；“穩(wěn)定地被斷定為假”又簡(jiǎn)稱為“穩(wěn)定假）對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行分類：

①在所有修正序列中穩(wěn)定真；

②在所有修正序列中穩(wěn)定假；

③在某些修正序列中穩(wěn)定真，在其它修正序列中穩(wěn)定假；

④在某些修正序列中穩(wěn)定真，在其它修正序列中不穩(wěn)定；

⑤在某些修正序列中穩(wěn)定假，在其它修正序列中不穩(wěn)定；

⑥在一些修正序列中穩(wěn)定真，在另一些修正序列中穩(wěn)定假，在其它修正序列中不穩(wěn)定；

⑦在所有的修正序列中都不穩(wěn)定。

修正真理論把第①類語(yǔ)句稱為絕對(duì)真語(yǔ)句，把第②類語(yǔ)句稱為絕對(duì)假語(yǔ)句，把其它類型語(yǔ)句合稱為病態(tài)的語(yǔ)句。③、④、⑤、⑥、⑦這五類語(yǔ)句又相當(dāng)于是對(duì)病態(tài)語(yǔ)句的一個(gè)劃分，反映出存在五種不同類型的病態(tài)。

1.2 線性修正序列模型

在修正序列中某一個(gè)后繼階段上T謂詞的解釋決定于該階段的前繼中語(yǔ)句的真假情況。這個(gè)規(guī)定類似于可能世界語(yǔ)義中對(duì)于模態(tài)詞的解釋，熊明于《塔斯基定理與真理論悖論》（[12]）一書中表達(dá)過(guò)這個(gè)思想，他的相對(duì)化T模式正是把這一認(rèn)識(shí)推廣到了任意的關(guān)系框架上得到：

其中：S為給定的通達(dá)關(guān)系（[12]，第43頁(yè)）。

受這個(gè)認(rèn)識(shí)的啟發(fā)，我們給出線性序列模型和線性修正序列模型的定義。

定義1(線性序列模型) 給定一個(gè)真語(yǔ)言L，稱M=〈W,R,D,I,H〉為一個(gè)線性序列模型，其中W={wn|n∈ω}為可能世界集（本文中ω指第一個(gè)可數(shù)無(wú)窮序數(shù)，也指自然數(shù)集），R?W×W為可能世界之間的通達(dá)關(guān)系，且R={(wn+1,wn)|n∈ω}，〈D,I〉為L(zhǎng)的基模型，H是一個(gè)由W到P(Sent(L))的函數(shù)。對(duì)任意w∈W，記H(w)為hw。

這個(gè)模型實(shí)質(zhì)是在語(yǔ)言L的基礎(chǔ)上增加了模態(tài)詞□所得的語(yǔ)言L□的可能世界語(yǔ)義模型?？煽闯鯮的逆關(guān)系的傳遞閉包在W上剛好形成一個(gè)序型與(N,＜)一樣的嚴(yán)格良基線序。線性序列模型上的R關(guān)系圖示如下：

定義2(真值條件) 給定可能世界w∈W、任意L□中公式?,ψ及指派σ，為由σ根據(jù)〈D,I〉擴(kuò)展到從L的項(xiàng)的集合到D的函數(shù)，線性序列模型的真值條件規(guī)定如下：

規(guī)定：M,w??，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意指派σ有M,w?σ?。

定義3(線性修正序列模型) 稱M=〈W,R,D,I,H〉為一個(gè)線性修正序列模型，如果M為一個(gè)線性序列模型，且對(duì)于任意n∈ω及L中語(yǔ)句?，M,wn+1?T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?□?。

在上述定義的線性修正序列模型中，我們要求模型中的可能世界集W 及W上的關(guān)系R同構(gòu)于自然數(shù)集及其“減一”運(yùn)算的結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)下的線性修正序列模型實(shí)際上只能模擬一個(gè)ω長(zhǎng)的修正序列。但是在修正真理論中，對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行區(qū)分時(shí)，不僅要考慮該語(yǔ)句在一個(gè)修正序列中的表現(xiàn)，而且要考慮該語(yǔ)句在所有修正序列中的表現(xiàn)。故我們給出一個(gè)新定義，這個(gè)定義可以容納多個(gè)甚至全部的ω長(zhǎng)的修正序列。

定義4(序列模型) 給定一個(gè)真語(yǔ)言L和非空集合WB，稱模型M=〈W,R,D,I,H〉為一個(gè)序列模型，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}為可能世界集，R?W×W為可能世界之間的通達(dá)關(guān)系，R={(wi+1,wi)|w∈WB,i∈ω}，〈D,I〉為L(zhǎng)的基模型，H是一個(gè)由W到P(Sent(L))的函數(shù)。對(duì)任意w∈W，記H(w)為hw。序列模型上的真值條件定義方式與定義2相同。

定義5(修正序列模型) 稱M=〈W,R,D,I,H〉為一個(gè)修正序列模型，如果M為一個(gè)序列模型，且對(duì)于任意w∈WB、n∈ω及L中語(yǔ)句?，M,wn+1? T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?□?。

由定義可知，一個(gè)線性（修正）序列模型也是一個(gè)（修正）序列模型，此時(shí)WB為一個(gè)單點(diǎn)集。

若M=〈W,R,D,I,H〉是一個(gè)修正序列模型（W={wn|w∈WB,n∈ω}），如果對(duì)于任意w∈WB，〈H(wn)〉n∈ω都是一個(gè)ω長(zhǎng)的修正序列，則稱M表示了該組修正序列。

定理1 一個(gè)修正序列模型表示了一組ω長(zhǎng)的修正序列；給定任意一組ω長(zhǎng)的修正序列，可構(gòu)造一個(gè)修正序列模型表示該組修正序列。

證明:給定修正序列模型M=〈W,R,D,I,H〉，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}。需證對(duì)任意w∈WB及n∈ω，有：H(wn+1)=τ(H(wn))。根據(jù)定義，對(duì)任意L中語(yǔ)句?：?∈τ(H(wn))，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+H(wn)??，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn??，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?□?，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1?T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈H(wn+1)。第一個(gè)命題得證。

給定基模型M=〈D,I〉，給定一組ω長(zhǎng)的修正序列(Sj)j∈J，J為這組修正序列的標(biāo)號(hào)集。對(duì)任意自然數(shù)n、任意j∈J，記Sj的第n階段假設(shè)為Sj(n)。存在非空集合WB以及函數(shù)f使得f為WB到J上的雙射。

構(gòu)造序列模型M=〈W,R,D,I,H〉，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}，R={(wn+1該語(yǔ)句在直觀上不應(yīng)是絕對(duì)的語(yǔ)句的觀點(diǎn)可參考王文方的文章《古普塔及貝爾納普的真理修正理論述評(píng)》（[11]）。,wn)|w∈WB,n∈ω}，H(wn)=Sf(w)(n)，只需證M為一個(gè)修正序列模型。對(duì)于任意w∈WB、n∈ω及L中語(yǔ)句?有：M,wn+1|=T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈H(wn+1)，當(dāng)且僅當(dāng)?∈Sf(w)(n+1)，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+Sf(w)(n)|=?，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn|=?，當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1|=□?。故M為修正序列模型，第二個(gè)命題得證。 □

2 鄰域語(yǔ)義與修正真理論

經(jīng)典修正真理論中會(huì)把一些直觀上認(rèn)為是病態(tài)的語(yǔ)句斷定為絕對(duì)的語(yǔ)句，例如柯瑞悖論的逆命題：如果說(shuō)謊者語(yǔ)句φ是真的，那么這句話是真的。1該語(yǔ)句在直觀上不應(yīng)是絕對(duì)的語(yǔ)句的觀點(diǎn)可參考王文方的文章《古普塔及貝爾納普的真理修正理論述評(píng)》（[11]）。我們認(rèn)為這類病態(tài)語(yǔ)句之所以被斷定為絕對(duì)的語(yǔ)句，是因?yàn)樵诮?jīng)典修正真理論中修正序列不夠多。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)在基模型基礎(chǔ)之上引入鄰域語(yǔ)義模型時(shí)，修正序列的數(shù)量會(huì)大大地增多，這些增加的修正序列能夠讓這類型語(yǔ)句的病態(tài)呈現(xiàn)出來(lái)。2引入規(guī)范的非經(jīng)典的賦值模式來(lái)建立修正真理論也能使得修正序列數(shù)量增多，具體可參考林其清、熊明的文章《克林強(qiáng)三值模式與修正過(guò)程》（[10]）。但引入鄰域語(yǔ)義基模型的方法可以在保持經(jīng)典賦值模式的同時(shí)增加修正序列數(shù)量。

根據(jù)前文分析可知，任意一個(gè)ω長(zhǎng)的經(jīng)典修正序列，都能相應(yīng)地被一個(gè)滿足“對(duì)于任意n∈ω及L中語(yǔ)句?，M,wn+1|=T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)M,wn+1|=□?”的關(guān)系語(yǔ)義模型表示。當(dāng)我們想要把類似的結(jié)論推廣到超窮長(zhǎng)的修正序列時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，用（僅有一個(gè)模態(tài)詞的）關(guān)系語(yǔ)義模型行不通。于是，我們從另一種路徑引入鄰域語(yǔ)義模型，通過(guò)對(duì)極限階段的可能世界的鄰域進(jìn)行規(guī)定，使得□?在極限階段的真值能反映出?是否在該階段前穩(wěn)定真，從而使得類似的結(jié)論可以推廣到超窮長(zhǎng)的修正序列。

2.1 基于鄰域基模型的修正序列

首先我們?cè)诨Ｐ偷幕A(chǔ)上引入鄰域基模型。由于我們僅關(guān)心對(duì)T謂詞的修正，我們假設(shè)在各個(gè)可能世界上的論域一樣，并且各個(gè)可能世界上對(duì)L中除T外的部分的解釋也一樣。

定義6(固定論域鄰域框架和固定論域鄰域模型3固定論域鄰域模型（Constant Domain Neighborhood Model）的定義可參考帕克特的介紹鄰域語(yǔ)義的教材（[8]）。) 給定一個(gè)語(yǔ)言L，稱F=〈W,N,D〉為一個(gè)固定論域鄰域框架，如果W是一個(gè)非空的可能世界集，N為從W到P(P(W))的函數(shù)，D為一個(gè)集合。稱N為鄰域函數(shù)，稱D為論域。稱M=〈F,V〉=〈W,N,D,V〉為一個(gè)固定論域鄰域模型，如果V為一個(gè)賦值函數(shù)，且對(duì)任意w∈W，〈D,V(w)〉為語(yǔ)言L的模型。也稱M為基于固定論域鄰域框架F上的固定論域鄰域模型。

定義7(固定論域鄰域模型的真值條件)（[8]）給定可能世界w∈W、任意L□中公式?,ψ及任意指派σ，w為由σ根據(jù)〈D,V(w)〉擴(kuò)展到L的項(xiàng)的集合到D的函數(shù)，固定論域鄰域模型的真值條件規(guī)定如下：

定義8(鄰域基模型和鄰域假設(shè)) 設(shè)〈D,I〉為語(yǔ)言L的一個(gè)基模型，稱固定論域鄰域模型M=〈W,N,D,V〉為基于〈D,I〉的一個(gè)鄰域基模型，如果對(duì)任意w∈W，V(w)=I。稱函數(shù)H:W→P(Sent(L))是鄰域基模型M上的一個(gè)鄰域假設(shè)，對(duì)于任意w∈W，記H(w)為hw。若M′=〈W,N,D,V′〉，且對(duì)于任意w∈W有〈D,V′(w)〉=〈D,I〉+H(w)，則把M′記作M+H。

在經(jīng)典的修正真理論中，是在基模型的基礎(chǔ)上對(duì)謂詞T的一個(gè)假設(shè)進(jìn)行修正，而在本文中，我們?cè)卩徲蚧Ｐ偷幕A(chǔ)上同時(shí)對(duì)所有可能世界上的假設(shè)進(jìn)行修正。我們規(guī)定一個(gè)作用在鄰域假設(shè)集HM上的修正規(guī)則δM，其中HM為鄰域基模型M上所有鄰域假設(shè)構(gòu)成的集合。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，在不引起混淆的情況下，僅以δ表示δM。

定義9(修正規(guī)則) 給定鄰域基模型M，及任意的鄰域假設(shè)H，規(guī)定δ(H)如下：對(duì)任意L中語(yǔ)句?，?∈δ(H)(w)，當(dāng)且僅當(dāng)，{v∈W|M+H,v? ?}∈N(w)。

根據(jù)上述定義以及鄰域語(yǔ)義中的模態(tài)詞真值條件可知，對(duì)于任意一個(gè)鄰域基模型M，鄰域假設(shè)H，可能世界w∈W，及任意L中語(yǔ)句?：M+H,w?□?，當(dāng)且僅當(dāng)模型M+H中?為真的可能世界形成的集合是w的一個(gè)鄰域，當(dāng)且僅當(dāng)?∈δ(H)(w)，當(dāng)且僅當(dāng)M+δ(H),w?T┍?┑。

定義10(鄰域基模型修正序列) 稱一個(gè)鄰域假設(shè)的序列〈Hγ〉γ∈ON為一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的基于鄰域基模型M的修正序列，如果對(duì)于任意序數(shù)γ∈ON，有Hγ+1=δ(Hγ)；若γ是極限序數(shù)，對(duì)于任意L中語(yǔ)句?及M中可能世界w，若?在〈Hβ(w)〉β∈γ中穩(wěn)定地被斷定為真，則?∈Hγ(w)；若?在〈Hβ(w)〉β∈γ中穩(wěn)定地被斷定為假，則??Hγ(w)。

在不引起混淆的情況下，一個(gè)鄰域基模型修正序列也被簡(jiǎn)稱為一個(gè)修正序列。若〈Hγ〉γ∈ON為一個(gè)修正序列，我們也把〈Hγ(w)〉γ∈ON稱為一個(gè)修正序列。類似地，我們可以定義出α長(zhǎng)的修正序列〈Hγ〉γ∈α和〈Hγ(w)〉γ∈α。若鄰域基模型M基于基模型M，我們也把基于M的鄰域基模型修正序列稱為基于M的鄰域基模型修正序列。

定理2 任意一組全序數(shù)長(zhǎng)的經(jīng)典修正序列，可以用一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列表示；類似地，給定非零序數(shù)α，任意一組α長(zhǎng)的經(jīng)典修正序列，可以用一個(gè)α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列表示。

證明:給定基模型為〈D,I〉的一組修正序列(Sj)j∈J，J為這組修正序列的標(biāo)號(hào)集。記任一修正序列Sj的第γ階段假設(shè)為Sj(γ)，γ為任意序數(shù)。構(gòu)造基于〈D,I〉的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉，其中W={wj|j∈J}，N(w)={A∈P(W)|w∈A}，構(gòu)造序列〈Hγ〉γ∈ON，使得Hγ(wj)=Sj(γ)。需證〈Hγ〉γ∈ON為基于M的修正序列。

極限階段的要求可直接通過(guò)定義得到。對(duì)于任意L中語(yǔ)句?，對(duì)于任意序數(shù)γ：?∈Hγ+1(wj)，當(dāng)且僅當(dāng)?∈Sj(γ+1)，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+Sj(γ)??，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+Hγ(wj)??，當(dāng)且僅當(dāng){v∈W|M+Hγ,v??}∈N(wj)，當(dāng)且僅當(dāng)?∈δ(Hγ)(wj)。故定理的第一部分得證。

類似地，可證得定理的第二部分。 □

定理3 任意一組基于基模型M的全序數(shù)長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列，可以用一個(gè)基于M的鄰域基模型修正序列表示；類似地，給定非零序數(shù)α，任意一組基于M的α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列，可以用一個(gè)基于M的α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列表示。

證明:類似于定理2的證明，僅需對(duì)這組序列中的鄰域基模型進(jìn)行不交并操作。 □

給定語(yǔ)言L，基模型M=〈D,I〉，基于M的鄰域基模型有很多，考慮一個(gè)語(yǔ)句的表現(xiàn)時(shí)，不應(yīng)考慮所有基于M的鄰域基模型。因?yàn)槿绻贛的某個(gè)鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉上的某個(gè)可能世界w的其中一個(gè)鄰域?yàn)榭占敲礋o(wú)論我們以任意鄰域假設(shè)H0作為初始假設(shè)構(gòu)建的任意修正序列〈Hγ〉γ∈ON，L中的邏輯矛盾式（例如φ∧?φ，φ為L(zhǎng)中語(yǔ)句）都會(huì)在序列〈Hγ(w)〉γ∈ON上穩(wěn)定地被斷定為真。這不是我們想要的結(jié)果，所以我們要求M中不存在這樣的可能世界。假設(shè)我們期望L中的邏輯有效式（例如φ∨?φ，φ為L(zhǎng)中語(yǔ)句）在我們考慮的修正序列上都穩(wěn)定地被斷定為真，那么必須要求W為所有可能世界的一個(gè)鄰域，即對(duì)任意w∈W，有W∈N(w)。除此之外，對(duì)任意鄰域假設(shè)H，任意可能世界w，若想使得δ(H)(w)為一個(gè)一致的假設(shè)，可要求N(w)滿足有窮交非空的性質(zhì)。

定義11(MM) 任給基模型M，定義基于M的鄰域基模型的類MM如下：任給基于M的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉，M在模型類MM中，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意w∈W有W∈N(w)且N(w)滿足有窮交非空性質(zhì)。

推論1 任意一組全序數(shù)長(zhǎng)的基于基模型M的經(jīng)典修正序列，可以用一個(gè)基于MM中的鄰域基模型的修正序列表示；任意一組基于MM中的鄰域基模型的修正序列，可以用一個(gè)基于MM中的鄰域基模型的修正序列表示。類似地，任給非零序數(shù)α：任意一組基于基模型M的α長(zhǎng)的經(jīng)典修正序列，可以用一個(gè)基于MM中的鄰域基模型的α長(zhǎng)的修正序列表示；任意一組基于MM中的鄰域基模型的α長(zhǎng)的修正序列，可以用一個(gè)基于MM中的鄰域基模型的α長(zhǎng)的修正序列表示。

定義12(絕對(duì)真/絕對(duì)假/病態(tài)語(yǔ)句) 給定真語(yǔ)言L，基模型M=〈D,I〉及L中語(yǔ)句?，若對(duì)任意M∈MM，任意基于M的修正序列〈Hγ〉γ∈ON，任意M中可能世界w，?都在〈Hγ(w)〉γ∈ON中穩(wěn)定地被斷定為真，則稱?是絕對(duì)真的語(yǔ)句；若對(duì)任意M∈MM，任意基于M的修正序列〈Hγ〉γ∈ON，任意M中可能世界w，?都在〈Hγ(w)〉γ∈ON中穩(wěn)定地被斷定為假，則稱?是絕對(duì)假的語(yǔ)句；否則，稱?是病態(tài)的語(yǔ)句。

若L中含有常元符g，容易驗(yàn)證g=g，T┍g=g┑，……這些直觀上真的語(yǔ)句都是絕對(duì)真的，而g≠g，T┍g≠g┑，……這些直觀上假的語(yǔ)句則都是絕對(duì)假的。L中的邏輯有效式都是絕對(duì)真的；L中的邏輯矛盾式都是絕對(duì)假的。根據(jù)推論1可知，這里分析一個(gè)語(yǔ)句的表現(xiàn)所考慮的修正序列比經(jīng)典修正真理論所考慮的修正序列更多，經(jīng)典修正序列構(gòu)成的類是這里所考慮的修正序列構(gòu)成的類的真子類。故這個(gè)定義下絕對(duì)真的語(yǔ)句，也是經(jīng)典修正真理論中的絕對(duì)真的語(yǔ)句；這個(gè)定義下絕對(duì)假的語(yǔ)句，也是經(jīng)典修正真理論中的絕對(duì)假的語(yǔ)句。

例1(柯瑞悖論的逆命題) L是含有兩個(gè)非引用常元符a,b的真語(yǔ)言?！碊,I〉為真語(yǔ)言L的基模型，且I(a)=?Ta，I(b)=Ta→Tb?？紤]語(yǔ)句Ta→Tb。在經(jīng)典的修正真理論中，語(yǔ)句Ta→Tb在任意修正序列中均穩(wěn)定真，故經(jīng)典的修正真理論斷定Ta→Tb為絕對(duì)真。

我們構(gòu)造如下的鄰域基模型：M=〈W,N,D,V〉，其中W={u,v,w,z}；N(u)={{u},{u,w},W}，H0(u)={I(a)}；N(v)={{v},{v,z},W}，H0(v)=?；N(w)={{u,w},{v,w},{u,w,z},W}，H0(w)={I(a),I(b)}；N(z)= {{u,z},{v,z},{v,w,z},W}，H0(z)=?。

以H0為初始鄰域假設(shè)構(gòu)造修正序列，在每個(gè)極限階段，在任意可能世界上，對(duì)至該極限階段不穩(wěn)定的語(yǔ)句的斷定均與初始階段相同。所得的修正序列如下：

語(yǔ)句Ta→Tb在修正序列〈Hγ(u)〉γ∈ON和修正序列〈Hγ(v)〉γ∈ON中穩(wěn)定假；在修正序列〈Hγ(w)〉γ∈ON和修正序列〈Hγ(z)〉γ∈ON中不穩(wěn)定。由此我們看出柯瑞悖論的逆命題不是絕對(duì)真的語(yǔ)句，而是一個(gè)病態(tài)的語(yǔ)句。

庫(kù)克在[2]中提出了一組語(yǔ)句S1-S4，這組語(yǔ)句有唯一一組一致的真值指派，但經(jīng)典修正真理論中這些語(yǔ)句都屬于病態(tài)的語(yǔ)句。因此庫(kù)克認(rèn)為這組語(yǔ)句說(shuō)明了“古普塔和貝爾納普的修正真理論在捕捉直觀上的真概念上并不如我們想的那么成功?！保╗2]，第22頁(yè)）同年，克萊默在[7]中對(duì)庫(kù)克提出的反例進(jìn)行了回應(yīng)。他認(rèn)為S1-S4雖然有唯一一組一致真值指派，但卻是病態(tài)的?？巳R默分析了這些語(yǔ)句病態(tài)的原因，同時(shí)也解釋了為什么這組語(yǔ)句能有一致真值指派。因此，克萊默認(rèn)為“修正真理論把庫(kù)克的四個(gè)語(yǔ)句S1-S4看作是病態(tài)的而不是悖論的語(yǔ)句是正確的，而存在唯一一組與塔斯基條件句一致的真值指派只是這些語(yǔ)句的病態(tài)性恰好能夠相互取消的副產(chǎn)品?！保╗7]，第336頁(yè)）之后，庫(kù)克在[3]中提出了另一組語(yǔ)句這組語(yǔ)句同樣具有克萊默分析S1-S4時(shí)所指出的病態(tài)，但在修正真理論中卻屬于絕對(duì)的語(yǔ)句。所以庫(kù)克認(rèn)為，克萊默所認(rèn)為的S1-S4是病態(tài)語(yǔ)句的理由不充分。因而庫(kù)克得出結(jié)論“修正真理論的擁護(hù)者仍然欠我們一個(gè)關(guān)于是什么使得S1-S4是病態(tài)語(yǔ)句的解釋，并且該解釋須與有確定真值的事實(shí)相一致。”（[3]，第261頁(yè)）

我們構(gòu)造如下的鄰域基模型：M=〈W,N,D,V〉，其中W={u,v,w,z}；N(u)={{u},{u,v,z},W}，H0(u)={I(b)}；N(v)={{v},{v,w,z},W}，H0(v)={I(a)}；N(w)={{w},{u,w,z},W}，H0(w)=?；N(z)={A∈P(W)|z∈A}，H0(z)={I(a)}。

以H0為初始鄰域假設(shè)構(gòu)造修正序列，在每個(gè)極限階段，在任意可能世界上，對(duì)至該極限階段不穩(wěn)定的語(yǔ)句的斷定均與初始階段相同。所得的修正序列如下：

語(yǔ)句Ta??Tb和語(yǔ)句Ta?Tb，在修正序列〈Hγ(u)〉γ∈ON、〈Hγ(v)〉γ∈ON和修正序列〈Hγ(w)〉γ∈ON中均不穩(wěn)定。由此我們看出這組語(yǔ)句不是絕對(duì)的語(yǔ)句，而是病態(tài)的語(yǔ)句。

這個(gè)結(jié)論支持了庫(kù)克的觀點(diǎn)，修正真理論在真概念的描述問(wèn)題上并不如我們所想的那么成功；也支持了克萊默所提出的斷定語(yǔ)句為病態(tài)語(yǔ)句的標(biāo)準(zhǔn)。

類似于前文序列模型和修正序列模型的定義，我們可以給出相應(yīng)的定義用以表示ω長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列。

定義函數(shù)?W:P(P(W))→P(P(W))，使得對(duì)任意S?P(W)，

對(duì)于任意集合A及元素w∈A，任意序數(shù)集B及序數(shù)β∈B，以下列記號(hào)簡(jiǎn)記相應(yīng)的集合：[A]β=df{vβ|v∈A}；w[B]=df{wα|α∈B}；[A][B]=df{wα|w∈A,α∈B}。

定義13(鄰域基序列模型) 給定一個(gè)真語(yǔ)言L，給定一個(gè)基于〈D,I〉的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉及M上的鄰域假設(shè)H，稱N=M+H為一個(gè)鄰域基序列模型，如果存在基于〈D,I〉的鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉，使得：

也稱N為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的鄰域基序列模型。

定義14(鄰域基修正序列模型) 稱鄰域基序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個(gè)鄰域基修正序列模型，如果對(duì)于任意n∈ω,w∈WB及任意L中語(yǔ)句?有：N,wn+1?T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)N,wn+1?□?。

若N=〈W,N,D,V〉+H為一個(gè)基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的鄰域基修正序列模型，對(duì)于任意n∈ω，定義函數(shù)Hn:WB→P(Sent(L))，使得對(duì)任意w∈WB：Hn(w)=H(wn)。如果〈Hn〉n∈ω是一個(gè)基于〈WB,N0,D,VB〉的ω長(zhǎng)的修正序列，則稱N表示了這個(gè)修正序列。

定理4 一個(gè)鄰域基修正序列模型表示了一個(gè)ω長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列；給定一個(gè)ω長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)鄰域基修正序列模型表示該修正序列。

若M=〈W,R,D,I,H〉是一個(gè)基于〈D,I〉的序列模型，N=〈W,N,D,V〉+H是基于〈D,I〉的鄰域基序列模型。若對(duì)任意指派σ、任意w∈W及任意L□中公式?，有M,w?σ?當(dāng)且僅當(dāng)N,w?σ?，則稱N表示了M。

定理5 所有的序列模型均能被一個(gè)鄰域基序列模型表示；特別地，所有的修正序列模型均能被一個(gè)鄰域基修正序列模型表示。

證明:給定任意序列模型M=〈W,R,D,I,H〉，其中W={wn|w∈WB,n∈ω}。

構(gòu)造鄰域基序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，其中〈WB,N0,D,VB〉為基于〈D,I〉的鄰域基模型，對(duì)任意w∈WB，N0(w)={A∈P(WB)|w∈A}，且對(duì)任意n∈ω有，(wn+1,v)∈R?v∈B}。由關(guān)系語(yǔ)義與鄰域語(yǔ)義之間的關(guān)系可知，對(duì)任意指派σ和任意L□中公式?，有M,w?σ?當(dāng)且僅當(dāng)N,w?σ?。特別地，根據(jù)定義，若M為修正序列模型，則N為鄰域基修正序列模型。 □

2.2 不同種類修正序列對(duì)應(yīng)的模型類

我們希望在定義3的基礎(chǔ)上增加表示ω階段的可能世界wω。在線性修正序列模型的定義中，由于wn+1的唯一后繼是wn，故對(duì)任意L中語(yǔ)句?，?在wn上為真當(dāng)且僅當(dāng)□?在wn+1上為真?！?在n+1階段上的真值恰好反映出?在n階段的真值，所以可以通過(guò)□?在n+1階段的真值來(lái)規(guī)定n+1階段T的外延。但在關(guān)系語(yǔ)義中，（僅有一個(gè)模態(tài)詞時(shí)）一個(gè)可能世界僅擁有一個(gè)唯一的后繼集，在經(jīng)典的修正序列中，語(yǔ)句在極限階段是否屬于T謂詞的外延取決于語(yǔ)句的“穩(wěn)定性”（我們暫時(shí)考慮赫茲伯格的H-極限規(guī)則，即極限階段T謂詞的外延僅包含穩(wěn)定真的語(yǔ)句）。在ω階段，無(wú)論是W={wn|n∈ω+1}的哪個(gè)子集作為wω的后繼，都無(wú)法使得“對(duì)任意L中語(yǔ)句?，□?在wω上為真當(dāng)且僅當(dāng)?至ω階段之前穩(wěn)定真”成立。而引入鄰域語(yǔ)義則可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題。不妨令A(yù)為所有ω的“ω余有界”的子集（一個(gè)ω的子集是ω余有界，是指其在ω中的補(bǔ)集是在ω中有界的），即A={A∈P(ω)|sup(ω?A)＜ω}（對(duì)任意一個(gè)序數(shù)集B，sup(B)為：在全序數(shù)構(gòu)成的類ON中，在嚴(yán)格偏序“＜”下，序數(shù)集B的上確界）。令wω的鄰域集合為N(wω)=?W{w[A]|A∈A}。對(duì)任意L中語(yǔ)句?，□?在wω上為真，當(dāng)且僅當(dāng)，存在A∈A使得?在w[A]上均為真，由于A∈A是ω余有界的，所以當(dāng)且僅當(dāng)?在ω階段前穩(wěn)定真。故□?在wω上的真值可以反映?是否至ω階段前穩(wěn)定真。同理，□??在wω上的真值可以反映?是否至ω階段前穩(wěn)定假，即：□??在wω上為真當(dāng)且僅當(dāng)?至ω階段前穩(wěn)定假。對(duì)任意自然數(shù)n＞0，為了使得□?在n階段的真值可以反映?在n?1階段的真值，須把N(wn)規(guī)定為由{wn?1}生成的主超濾，而?W({w[A]|A?n,sup(n?A)＜n})恰好是由{wn?1}生成的主超濾，故令N(wn)=?W({w[A]|A?n,sup(n?A)＜n})。有了這些規(guī)定，我們就可以通過(guò)在一個(gè)階段（對(duì)應(yīng)的可能世界）中□?的真值來(lái)規(guī)定T在該階段（對(duì)應(yīng)的可能世界）的外延，從而使得滿足這些限制條件的模型可以刻畫一個(gè)相應(yīng)的ω+1長(zhǎng)的修正序列。這種規(guī)定可以推廣到任意超窮序數(shù)α上。

定義15(鄰域序列模型)給定基于〈D,I〉的鄰域基模型M=〈W,N,D,V〉及鄰域假設(shè)H，稱N=M+H為基于〈D,I〉的一個(gè)α長(zhǎng)的鄰域序列模型（α＞0），如果：

在鄰域序列模型中：對(duì)于任意0＜γ∈α的可能世界wγ，N(wγ)是W 上的一個(gè)濾子；當(dāng)γ為一個(gè)后繼序數(shù)時(shí)，N(wγ)是一個(gè)由{wγ?1}生成的主超濾，并且是擴(kuò)張的。

定義16(H-修正序列模型) 稱α長(zhǎng)的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個(gè)α長(zhǎng)的H-修正序列模型，如果對(duì)任意0＜γ∈α，任意L中語(yǔ)句?有：N,wγ?T┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)N,wγ?□?。

定理6 任給非零序數(shù)α，任意α長(zhǎng)的H-修正序列模型均表示一個(gè)α長(zhǎng)的H-修正序列；任給一個(gè)α長(zhǎng)的H-修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)α長(zhǎng)的H-修正序列模型表示它。

證明:給定α長(zhǎng)的H-修正序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，根據(jù)N的定義，對(duì)任意β+1∈α，τ(H(wβ))=H(wβ+1)；對(duì)任意極限序數(shù)β∈α，?∈H(wβ)當(dāng)且僅當(dāng)?至β階段前穩(wěn)定真。對(duì)任意β∈α，令hβ=H(wβ)，則〈hγ〉γ∈α為α長(zhǎng)的H-修正序列。

給定α長(zhǎng)的H-修正序列〈hγ〉γ∈α，可以構(gòu)造α長(zhǎng)的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，使得對(duì)任意β∈α，H(wβ)=hβ。需證N為α長(zhǎng)的H-修正序列模型。

對(duì)任意β+1∈α，任意L中語(yǔ)句?：N,wβ+1?T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈hβ+1，當(dāng)且僅當(dāng)〈D,I〉+hβ??，當(dāng)且僅當(dāng)N,wβ??，當(dāng)且僅當(dāng)N,wβ+1?□?。對(duì)任意極限序數(shù)β∈α，任意L中語(yǔ)句?：N,wβ?T┍?┑，當(dāng)且僅當(dāng)?∈hβ，當(dāng)且僅當(dāng)?至β階段前穩(wěn)定真，當(dāng)且僅當(dāng){v∈W|M,v??}∈N(wβ)，當(dāng)且僅當(dāng)N,wβ?□?。故N為一個(gè)α長(zhǎng)的H-修正序列模型。 □

我們可以把一些固定論域鄰域框架上的一些結(jié)論，用于分析H-修正序列模型及后文將要定義的各種修正序列模型中語(yǔ)句的表現(xiàn)。首先我們引用如下的一些關(guān)于固定論域鄰域框架的結(jié)論。

定理7 給定任意固定論域鄰域框架F=〈W,N,D〉及任意可能世界w∈W，有：

?F滿足RE規(guī)則：φ???□φ?□?；

?N(w)向上封閉，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理模式M：□(φ∧ψ)→(□φ∧□ψ)；

?N(w)有窮交封閉，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理模式C：(□φ∧□ψ)→□(φ∧ψ)；

?W∈N(w)，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理N：□?；

?N(w)為一個(gè)W上的濾子，當(dāng)且僅當(dāng)，(F,w)滿足公理系統(tǒng)K（即EMCN）；

?若N(w)是擴(kuò)張的（濾子且任意交封閉），則(F,w)滿足公理模式BF：?x□φ(x)→□?xφ(x)。

證明:具體證明可參考帕克特的介紹鄰域語(yǔ)義的教材（[8]）。 □

給定一個(gè)α長(zhǎng)的H-鄰域序列模型N，可知：對(duì)任意后繼序數(shù)β∈α，N(wβ)都是擴(kuò)張的，所以K+BF系統(tǒng)中的定理在這些可能世界上均為真；而對(duì)于極限序數(shù)β∈α，N(wβ)不再是擴(kuò)張的而只是濾子，所以只能保證K系統(tǒng)中的定理在其上為真。

例3(H-修正序列模型ω階段不滿足公理模式BF的例子) L為包含一元謂詞符P、二元謂詞符Q、常元符、一元函數(shù)符s的真語(yǔ)言。歸納定義如下：對(duì)任意自然數(shù)n，歸納定義如下：對(duì)任意自然數(shù)m,n，若n=m+1＞1，則。L的基模型〈D,I〉滿足I(s)|ω為ω上的后繼函數(shù)?？芍碔(P),I(s)〉為皮亞諾算術(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型。令ψ(x)=df?y(Q(x,y)∧T(y))，φ(x)=dfP(x)→ψ(x)，現(xiàn)考慮公式：?x□φ(x)→□?xφ(x)。

考慮基于〈D,I〉的ω+1長(zhǎng)的H-修正序列模型N，其中H(w0)=?。容易驗(yàn)證，對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)i,j，當(dāng)且僅當(dāng)i＜j，所以對(duì)于任意自然數(shù)i，故對(duì)任意指派σ，有N,wω?σ□φ(x)。但是，對(duì)任意自然數(shù)j，?xφ(x)H(wj)，所以N,wω□?xφ(x)，因而N,wω?x□φ(x)→□?xφ(x)。故存在ω階段不滿足公理模式BF的H-修正序列模型。

若對(duì)定義16中的鄰域函數(shù)或者□與真謂詞T之間的關(guān)系進(jìn)行調(diào)整，我們可以定義出用以表示不同類型修正序列的不同的模型類。

一個(gè)B-修正序列是一個(gè)MCS-修正序列，當(dāng)且僅當(dāng)，該序列在任意階段的假設(shè)均為真語(yǔ)言L的極大一致語(yǔ)句集。

定義17(MCS-修正序列模型) 稱固定論域鄰域模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個(gè)α長(zhǎng)的MCS-修正序列模型，如果存在一個(gè)α長(zhǎng)的鄰域序列模型N′=〈W,N′,D,V〉+H，使得，H(w0)為真語(yǔ)言L的極大一致語(yǔ)句集，且對(duì)任意0＜γ∈α，任意L中語(yǔ)句?有：

因?yàn)槿我庖粋€(gè)濾子可以擴(kuò)張成一個(gè)超濾，所以該定義是一個(gè)良定義。

定理8 任給非零序數(shù)α，任意α長(zhǎng)的MCS-修正序列模型均表示一個(gè)α長(zhǎng)的MCS-修正序列；任給一個(gè)α長(zhǎng)的MCS-修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)α長(zhǎng)的MCS-修正序列模型表示它。

證明:給定α長(zhǎng)的MCS-修正序列模型N=〈W,N,D,V〉+H，根據(jù)N的定義，對(duì)任意0＜β∈α，N(wβ)是W上的超濾，故H(wβ)為L(zhǎng)的極大一致集。若β=γ+1∈α，則由定義可得τ(H(wγ))=H(wβ)；若β為極限序數(shù)且β∈α，顯然H(wβ)包含所有至β階段前穩(wěn)定真的語(yǔ)句，并且，對(duì)任意H(wβ)中語(yǔ)句?有：?至β階段前并非穩(wěn)定假（若?至β階段前穩(wěn)定假，則??至β階段前穩(wěn)定真，因而??∈H(wβ)，這與H(wβ)為極大一致集矛盾）。令hβ=H(wβ)，則〈hγ〉γ∈α為α長(zhǎng)的MCS-修正序列。

給定α長(zhǎng)的MCS-修正序列〈hγ〉γ∈α，構(gòu)造α長(zhǎng)的鄰域序列模型N′=〈W,N′,D,V〉+H，使得對(duì)于任意β∈α，H(wβ)=hβ，然后構(gòu)造固定論域鄰域模型N=〈W,N,D,V〉+H，使得：

1.對(duì)任意后繼序數(shù)β∈α，N(wβ)=N′(wβ)，顯然N(wβ)為W上的超濾；

2.對(duì)任意極限序數(shù)β∈α，N(wβ)為W上的超濾，滿足：N(wγ)?N′(wγ)，且對(duì)任意hβ中語(yǔ)句?，{wγ|N,wγ??}∈N(wβ)。

需證，對(duì)任意極限序數(shù)β∈α，條件2中的超濾N(wβ)存在，且N為α長(zhǎng)的MCS-修正序列模型。考慮集合A=N′(wγ)∪{{wγ|N,wγ??}|?∈hβ}。由于hβ為極大一致集，且hβ中的語(yǔ)句都不會(huì)至β階段前穩(wěn)定假，所以集合A滿足有窮交非空性質(zhì)。故存在滿足條件的超濾(wβ)。

證明N為α長(zhǎng)的MCS-修正序列模型時(shí)，后繼階段的情況與定理6的證明類似。對(duì)于極限序數(shù)β∈α，對(duì)任意L中語(yǔ)句?，顯然N,wβ?T┍?┑?N,wβ□?。另一方面，N,wβT┍?┑??hβ???∈hβ?N,wβ?□???N,wβ□?。故N為α長(zhǎng)的MCS-修正序列模型。 □

定義18(B-修正序列模型) 稱α長(zhǎng)的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個(gè)α長(zhǎng)的B-修正序列模型，如果對(duì)任意γ∈α，任意L中語(yǔ)句?有：

1.若N,wγ?□?，則N,wγ?T┍?┑；

2.若N,wγ?□??，則N,wγ??T┍?┑。

對(duì)于N,wγ/□?且N,wγ□??的情況，B-修正序列模型并不要求?是否屬于wγ上T謂詞的外延。

定理9 任給非零序數(shù)α，任意α長(zhǎng)的B-修正序列模型均表示一個(gè)α長(zhǎng)的B-修正序列；任給一個(gè)α長(zhǎng)的B-修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)α長(zhǎng)的B-修正序列模型表示它。

證明:證明過(guò)程與定理6的證明類似。 □

在α長(zhǎng)的B-修正序列模型中，不再滿足“對(duì)任意序數(shù)0＜γ∈α及L中語(yǔ)句?，N,wγT┍?┑當(dāng)且僅當(dāng)N,wγ□?”這個(gè)限制，為方便起見(jiàn)，后文將把這個(gè)限制稱為“□～T”限制。如果保留該限制，那么可以通過(guò)放寬對(duì)鄰域函數(shù)N的要求，以獲得一些其他類型的模型。下面按照這個(gè)思路給出E-修正序列模型的定義。

定義19(E-修正序列模型) 稱固定論域鄰域模型N=〈W,N,D,V〉+H為一個(gè)α長(zhǎng)的E-修正序列模型，如果存在一個(gè)α長(zhǎng)的鄰域序列模型N′=〈W,N′,D,V〉+H，使得，對(duì)任意0＜γ∈α，任意L中語(yǔ)句?有：

E-修正序列模型在保留了“□～T”限制的情況下放寬了對(duì)鄰域函數(shù)N的要求。我們把一個(gè)α長(zhǎng)的E-修正序列模型對(duì)應(yīng)的α長(zhǎng)的序列〈hwγ〉γ∈α稱為一個(gè)α長(zhǎng)的E-修正序列。在E-修正序列模型的定義中，N′(wγ)?N(wγ)可以保證在E-修正序列中：至一個(gè)極限階段之前穩(wěn)定地被斷定為真的語(yǔ)句一定在該階段的T謂詞的外延中。而N(wγ)??W({w[A]|A?γ,sup(A)+1≥γ})則保證了：至一個(gè)極限階段之前穩(wěn)定地被斷定為假的語(yǔ)句一定不在該階段的T謂詞的外延中；對(duì)于后繼階段，一個(gè)L中語(yǔ)句在該階段的T的外延中，當(dāng)且僅當(dāng)該語(yǔ)句在該階段的前繼階段為真。整體而言，條件2保證了任意一個(gè)E-修正序列均是一個(gè)B-修正序列。

相比B-修正序列，E-修正序列在極限階段增加了一個(gè)額外要求：對(duì)任意L中語(yǔ)句φ,ψ，如果這兩個(gè)語(yǔ)句在經(jīng)典邏輯中等價(jià)，那么在極限階段中對(duì)這兩個(gè)語(yǔ)句的真假斷定必須相同。B-修正序列并不需要滿足這個(gè)要求，所以上文模擬B-修正序列時(shí)需要放寬“□～T”限制。

需注意，在α長(zhǎng)的E-修正序列模型中，當(dāng)γ∈α為極限序數(shù)時(shí)，N(wγ)不一定是濾子，所以無(wú)法保證wγ滿足系統(tǒng)K系統(tǒng)中的定理。

例4(E-修正序列模型ω階段不滿足公理模式C的例子) L為包含常元符a,b的真語(yǔ)言。L的基模型〈D,I〉滿足：I(a)=?Ta，I(b)=Ta?，F(xiàn)考慮語(yǔ)句：(□?Ta∧□Ta)→□(?Ta∧Ta)。

考慮ω+1長(zhǎng)的E-修正序列模型N，其中H(w0)={I(a),I(b)}，N(wω)=?W({w[A]|A?ω,sup(A)=ω})。容易驗(yàn)證，對(duì)任意自然數(shù)i＞0，I(a)∈H(wi)當(dāng)且僅當(dāng)I(a)?H(wi+1)當(dāng)且僅當(dāng)I(b)∈H(wi+1)，進(jìn)而可得N,wω?□?Ta且N,wω?□Ta。另一方面，對(duì)任意自然數(shù)i＞0，?Ta∧Ta?H(wi)，所以N,wω□(?Ta∧Ta)。從而有N,wω/(□?Ta∧□Ta)→□(?Ta∧Ta)。故存在ω階段不滿足公理模式C的E-修正序列模型。

值得注意的是，在E-修正序列模型N的ω階段中，形如(T┍φ┑∧T┍ψ┑)→T┍φ∧ψ┑的語(yǔ)句不一定為真，即在ω階段時(shí)T的外延并不對(duì)合取封閉。

例5(E-修正序列模型ω階段不滿足公理模式M的例子) L為包含常元符a,b的真語(yǔ)言。L的基模型〈D,I〉滿足：I(a)=?Ta，I(b)=Ta?，F(xiàn)考慮公式□(Ta∧?Tb)→(□Ta∧□?Tb)。

考慮ω+1長(zhǎng)的E-修正序列模型N，其中H(w0)={I(a),I(b)}，N(wω)=?W({w[A]|A?ω,sup(A)=ω,0/A}∪{w[A]|A?ω,sup(ω?A)＜ω})。與例4分析類似，可知N,wω□Ta、N,wω?□?Tb、N,wω?□(Ta∧?Tb)。從而有N,wω□(Ta∧?Tb)→(□Ta∧□?Tb)。故存在ω階段不滿足公理模式M的E-修正序列模型。

值得注意的是，在E-修正序列模型N 的ω階段中，形如T┍φ∧ψ┑→(T┍φ┑∧T┍ψ┑)的語(yǔ)句不一定為真，即在ω階段時(shí)T的外延并不對(duì)經(jīng)典邏輯后承封閉。

對(duì)于公理N，由于?在任意可能世界上為真，且對(duì)任意非零序數(shù)β∈α，有W ∈N(wβ)，所以公理N在除初始階段外的任意階段相應(yīng)的可能世界上均為真。

另外一個(gè)需要模擬的重要修正序列類為G-修正序列。在模擬G-修正序列時(shí)，由于G-修正序列在極限階段不一定滿足“對(duì)任意L中語(yǔ)句φ,ψ，如果這兩個(gè)語(yǔ)句在一階邏輯中等價(jià)，那么在極限階段中對(duì)這兩個(gè)語(yǔ)句的真假斷定必須相同”這個(gè)要求。所以與B-修正序列類似，在定義G-修正序列模型時(shí)，需放寬“□～T”限制。

定義20(G-修正序列模型) 稱α長(zhǎng)的鄰域序列模型N=〈W,N,D,V〉+ H為一個(gè)α長(zhǎng)的G-修正序列模型，如果對(duì)任意0＜γ∈α，任意L中語(yǔ)句?有：

定理10 任給非零序數(shù)α，任意α長(zhǎng)的G-修正序列模型均表示一個(gè)α長(zhǎng)的G-修正序列；任給一個(gè)α長(zhǎng)的G-修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)α長(zhǎng)的G-修正序列模型表示它。

證明:證明過(guò)程與定理6的證明類似。 □

3 整體修正序列模型

通過(guò)上文的分析可知，對(duì)于任意的非零序數(shù)α，任給一個(gè)α長(zhǎng)的經(jīng)典修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)鄰域語(yǔ)義模型表示它。類似地，對(duì)于任意α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列，也可以構(gòu)造一個(gè)鄰域語(yǔ)義模型表示它。

定義21(整體模型與整體假設(shè)) 給定一個(gè)真語(yǔ)言L的基模型〈D,I〉，任給非零序數(shù)α。稱模型M=〈W,N?,N+,D,V〉為一個(gè)α長(zhǎng)的整體模型，如果存在基于〈D,I〉的鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉，使得W={wβ|w∈WB,β∈α}，且對(duì)任意序數(shù)γ∈α、任意w∈WB，有：

也稱M為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的α長(zhǎng)的整體模型。

給定α長(zhǎng)的整體模型M=〈W,N?,N+,D,V〉，若H為由W到P(Sent (L))的函數(shù)，則稱H為M上的整體假設(shè)。若模型M′=〈W,N?,N+,D,V′〉，且對(duì)任意u∈W，〈D,V′(u)〉=〈D,V(u)〉+H(u)，則稱把M′記作M+H。

定義22(整體序列模型) 若M為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的α長(zhǎng)的整體模型，H為M上的整體假設(shè)，則稱N=M+H為基于鄰域基模型〈WB,N0,D,VB〉的α長(zhǎng)的整體序列模型，或簡(jiǎn)稱α長(zhǎng)的整體序列模型。

此處N為一個(gè)雙模態(tài)詞的固定論域鄰域模型，故N上真值條件應(yīng)為雙模態(tài)詞的鄰域語(yǔ)義模型的真值條件。其中，鄰域函數(shù)N?對(duì)應(yīng)的模態(tài)詞記作□?，鄰域函數(shù)N+對(duì)應(yīng)的模態(tài)詞記作□+。我們?nèi)园袻增加了模態(tài)詞□?和模態(tài)詞□+所得的語(yǔ)言記作L□。

可知，當(dāng)WB為單元集{w}且N0(w)={WB}時(shí)，定義21中的條件2和條件3將分別等價(jià)于如下兩個(gè)條件：

定義23(整體修正序列模型) 稱一個(gè)基于〈WB,N0,D,VB〉的α長(zhǎng)的整體序列模型N為一個(gè)α長(zhǎng)的整體修正序列模型，如果對(duì)于任意序數(shù)γ∈α、w∈WB及任意L中語(yǔ)句?有：

可知在一個(gè)整體修正序列模型中，當(dāng)WB為單元集{w}且N0(w)={WB}時(shí)，對(duì)于任意序數(shù)γ∈α、w∈WB及任意L中語(yǔ)句?有：N,wγ?□???當(dāng)且僅當(dāng)N,wγ??□+?。這一點(diǎn)恰是上一章中的定義不需要給出兩個(gè)鄰域函數(shù)的原因。

定理11(整體修正序列模型定理) 任給非零序數(shù)α，任意一個(gè)α長(zhǎng)的整體修正序列模型均表示一個(gè)α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列；任給一個(gè)α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)整體修正序列模型表示它。

證明:定理11的證明過(guò)程類似于定理4，第一個(gè)命題中，相應(yīng)需要證明的是〈Hγ〉γ∈α為一個(gè)α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列。后繼階段情形的證明和定理4證法相同，極限階段情形的證明可通過(guò)定義21中的條件3得到。第二個(gè)命題中，相應(yīng)需要證明的是：對(duì)任意γ∈α、w∈WB及L中語(yǔ)句?，若N,wγ□??，則N,wγ?T┍?┑；若N,wγ□+?，則N,wγ?T┍?┑。γ=0時(shí)顯然，后繼階段情形的證明和定理4證法類似，極限階段情形的證明可通過(guò)定義21中的條件3得到。 □

目前為止定義的各種序列模型和各種修正序列模型都要求給出特定的長(zhǎng)度非零序數(shù)α，未能表示全序數(shù)長(zhǎng)的修正序列，故我們需要拓展我們之前的定義，使之能夠表示全序數(shù)長(zhǎng)的修正序列。不同于α長(zhǎng)的序列模型，全序數(shù)長(zhǎng)的“序列模型”需要一個(gè)真類作為“可能世界集”，相應(yīng)的一個(gè)可能世界的鄰域也可能是一個(gè)真類。所以在定義全序數(shù)長(zhǎng)的“序列模型”并定義真值條件時(shí)，我們避免直接沿用固定論域鄰域模型的定義。首先我們給出初始片段的定義。

定義24(初始片段) 給定任意兩個(gè)非零序數(shù)α＜β，并且模型Nα=〈Wα,N?α,N+α,D,Vα〉+Hα為基于〈WB,N0,D,VB〉的α長(zhǎng)的整體序列模型，模型Nβ=〈Wβ,N?β,N+β,D,Vβ〉+Hβ為基于〈WB,N0,D,VB〉的β長(zhǎng)的整體序列模型。稱Nα為Nβ的初始片段，記作NαNβ，如果：對(duì)于任意w∈WB, γ∈α：Hα(wγ)=Hβ(wγ)。

根據(jù)定義可知，若Nα為基于〈WB,N0,D,VB〉的α長(zhǎng)的整體序列模型，Nβ為基于〈WB,N0,D,VB〉的β長(zhǎng)的整體序列模型，且NαNβ，則對(duì)于任意w∈WB,γ∈α，有根據(jù)鄰域語(yǔ)義的真值條件可知，對(duì)于任意w∈WB、γ∈α、L□中公式?及任意指派σ，有Nα,wγσ?當(dāng)且僅當(dāng)Nβ,wγσ?。

定理12 任給非零序數(shù)α，對(duì)任意0＜γ∈α，Nγ為基于〈WB,N0,D,VB〉的γ長(zhǎng)的整體修正序列模型，且對(duì)任意0＜β＜β′∈α，有NβNβ′。則存在基于〈WB,N0,D,VB〉的α長(zhǎng)的整體修正序列模型Nα，使得：對(duì)任意0＜γ∈α，有NγNα。

證明:給定一個(gè)非零序數(shù)α，對(duì)任意0＜γ∈α，Nγ為基于〈WB,N0,D,VB〉的γ長(zhǎng)的整體修正序列模型。根據(jù)定理11，Nγ表示了一個(gè)γ長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列，記為Sγ。對(duì)任意0＜β＜β′∈α，由NβNβ′可得Sβ=Sβ′|β。故存在α長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列Sα，使得對(duì)任意0＜γ∈α，Sγ=Sα|γ。再次根據(jù)定理11，存在一個(gè)α長(zhǎng)的整體修正序列模型Nα表示修正序列Sα，根據(jù)初始片段的定義可知，對(duì)于任意0＜γ∈α，有NγNα。 □

定義25(全序數(shù)長(zhǎng)的整體序列模型/整體修正序列模型) 給定一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的由基于〈WB,N0,D,VB〉的整體序列模型構(gòu)成的序列〈Nγ〉0＜γ∈ON，且對(duì)任意非零序數(shù)α＜β，均有NαNβ。稱為一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的整體序列模型，如果：

若每個(gè)Nγ(0＜γ∈ON)均為整體修正序列模型，則稱NON為全序數(shù)長(zhǎng)的整體修正序列模型。

該定義中的模型的“可能世界集”變成了一個(gè)真類，鄰域函數(shù)也變成了類函數(shù)，所以不能直接沿用固定論域鄰域模型的真值條件定義，但是根據(jù)“對(duì)任意非零序數(shù)α＜β，均有NαNβ”這個(gè)條件，我們可以給出全序數(shù)長(zhǎng)整體序列模型的真值條件如下。

定義26(全序數(shù)長(zhǎng)的整體序列模型的真值條件) 給定全序數(shù)長(zhǎng)的整體序列模型NON，規(guī)定真值條件如下，對(duì)任意序數(shù)β∈ON，任意w∈WB，任意L□中公式?，任意指派σ：

推論2 任意一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的整體修正序列模型，均表示一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列；任給一個(gè)（或一組）全序數(shù)長(zhǎng)的鄰域基模型修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的整體修正序列模型表示它。

推論3 任給一個(gè)（或一組）全序數(shù)長(zhǎng)的經(jīng)典修正序列，可以構(gòu)造一個(gè)全序數(shù)長(zhǎng)的整體修正序列模型表示它。

至此，我們整合了第二部分內(nèi)容中引入鄰域語(yǔ)義研究修正真理論的兩個(gè)不同路徑，得到了整體修正序列模型類。該模型類中的模型可以用于表示任意一個(gè)或一組基于某個(gè)基模型M的經(jīng)典修正序列或鄰域基模型修正序列。

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（責(zé)任編輯：任天鴻）

Neighborhood Semantics and the Revision Theory of Truth

Qiqing Lin
School of Politics&Administration,South China Normal University
linqiqing@foxmail.com
Xiaolong Liang
Institute of Logic and Cognition,Sun Yat-sen University
lianghillon@gmail.com

B81

A

2016-12-20

Gupta and Herzberg proposed the Revision Theory of Truth in 1982.They constructed revision sequences which can be used to analyze the concept of truth and related paradoxes.The Revision Theory of Truth classifies sentences according to their behavior in all revision sequences.The Revision Theory of Truth is unsatisfactory in the classification of some sentences.For example,The Revision Theory of Truth classifies the inverse proposition of Curry’s Paradox as categorical truth.This is considered as counterintuitive by some logicians.We will introduce the Neighborhood Semantics from two Paths to study the Revision Theory of Truth.First,we introduce neighborhood groundmodelsbasingongroundmodelsandconstructneighborhoodgroundmodelrevision sequences.The number of neighborhood ground model revision sequences is larger than that of classical revision sequences.The increased revision sequences can show that some sentence are pathological,such as the inverse proposition of Curry’s Paradox. Second,we introduce neighborhood semantics models such that,for any sentence without modality,the truth value of□? at successor stage can reflect the truth value of ? at the previous stage,and the truth value of□? at limit stage can reflect stability of ? before that stage.Hence,we can define different classes of models to represent different kinds of revision sequences,by putting different constraints on the relation between the truth values of T┍?┑and□?.We will integrate these two paths in the end of this paper. Andwewilldefineuniverserevisionsequencemodelstorepresentneighborhoodground model revision sequences.These two paths will be integrated in the end of this paper. We define universe revision sequence models to represent neighborhood ground model revision sequences.