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        一種四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法

        2017-06-05 14:14:53徐友根劉志文
        關(guān)鍵詞:方法

        王 荔,徐友根,劉志文

        (北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院,北京 100081)

        基礎(chǔ)理論

        一種四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法

        王 荔,徐友根,劉志文

        (北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院,北京 100081)

        本文考慮期望信號導(dǎo)向矢量失配條件下的四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成問題。首先將復(fù)數(shù)域二次約束二次規(guī)劃技術(shù)推廣于四元數(shù)域,以對期望信號四元數(shù)域?qū)蚴噶窟M(jìn)行修正。進(jìn)一步將四元數(shù)域二次約束二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)域問題,從而可以直接利用凸優(yōu)化工具包(CVX)進(jìn)行求解。最后利用修正的信號四元數(shù)域?qū)蚴噶繉崿F(xiàn)四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成。仿真結(jié)果表明,本文所提四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法在導(dǎo)向矢量失配條件下其輸出信干噪比優(yōu)于現(xiàn)有的四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法。

        陣列信號處理;魯棒自適應(yīng)波束形成;四元數(shù);模型失配

        0 引 言

        自適應(yīng)波束形成作為陣列信號處理的主要研究內(nèi)容之一,廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、無線通信、醫(yī)學(xué)影像以及地震探測等眾多領(lǐng)域[1-3]。矢量傳感器構(gòu)陣列由于能夠獲取和利用入射信號的極化信息,完成空-時-極化域聯(lián)合濾波,進(jìn)而提高波束形成器性能,一直以來備受關(guān)注[4-5]。

        多元數(shù)建模方法相比于常規(guī)復(fù)數(shù)方法可以更好地描述和利用矢量傳感器陣列輸出數(shù)據(jù)的多層次和多維度結(jié)構(gòu)信息,近年來已成為矢量傳感器陣列信號處理中的熱點問題之一[6-7]。復(fù)數(shù)域多重信號分類、子空間旋轉(zhuǎn)不變等信號參數(shù)估計方法已被成功推廣于多元數(shù)域。由于隱含數(shù)據(jù)平滑操作,多元數(shù)域方法在抗噪性能和對模型誤差的魯棒性等方面較之復(fù)數(shù)域方法有一定優(yōu)勢[8-11]。此外,四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法最近也受到了眾多關(guān)注,其中,文獻(xiàn)[12]將四元數(shù)應(yīng)用于二分量矢量傳感器陣列自適應(yīng)波束形成中,但其輸出信干噪比性能對實際中經(jīng)常存在的導(dǎo)向矢量失配問題較為敏感;文獻(xiàn)[13]基于兩路干擾及噪聲對消的思想,研究了一種具有聯(lián)合結(jié)構(gòu)且能抑制單個強(qiáng)相干干擾的自適應(yīng)波束形成方法;文獻(xiàn)[14]將復(fù)數(shù)域最壞情況最優(yōu)化技術(shù)推廣至四元數(shù)域,提出了兩種四元數(shù)域最壞情況最優(yōu)化自適應(yīng)波束形成方法,其對模型誤差的魯棒性優(yōu)于常規(guī)四元數(shù)域波束形成方法。

        然而,上述兩種四元數(shù)域最壞情況最優(yōu)化自適應(yīng)波束形成方法均需要模型誤差的先驗信息,在實際應(yīng)用中其實現(xiàn)有一定困難。為此,本文將復(fù)數(shù)域?qū)蚴噶啃拚敯舨ㄊ纬煞椒ㄍ茝V至四元數(shù)域,提出一種性能更好且更易實現(xiàn)的四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法。

        1 問題描述

        1.1 四元數(shù)的相關(guān)定義

        四元數(shù)q可表示為

        q=qr+iqi+jqj+kqk=q1+iq2

        (1)

        四元數(shù)的三種對合(可視為復(fù)數(shù)共軛的推廣)[15]分別定義為:1)q(i)=-iqi=qr+iqi-jqj-kqk;2)q(j)=-jqj=qr-iqi+jqj-kqk;3)q(k)=-kqk=qr-iqi-jqj+kqk,利用四元數(shù)及其對合的定義,可以得到:qr=(q+q*)/2,qi=(q-q(i)*)/2i,qj=(q-q(j)*)/2j,qk=(q-q(k)*)/2k。

        M×N維四元數(shù)矩陣Q可表示為

        Q=Qr+iQi+jQj+kQk

        (2)

        1.2 四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成

        假設(shè)波束形成陣列由N個特性相同的二分量矢量傳感器組成,將其劃分為兩個空間幾何完全相同的子陣,其復(fù)數(shù)域輸出分別具有下述形式:

        (3)

        (4)

        式中,a1,0和a2,0為兩個子陣對應(yīng)于期望信號s0(t)的導(dǎo)向矢量,a1,m和a2,m為兩個子陣對應(yīng)于第m個干擾sm(t)的導(dǎo)向矢量,n1(t)和n2(t)為兩個子陣的噪聲矢量。

        利用x1(t)和x2(t)構(gòu)造下述四元數(shù)矢量:

        x(t)=x1(t)+ix2(t)=a0s0(t)+

        (5)

        式中,am=a1,m+ia2,m為sm(t)的四元數(shù)域?qū)蚴噶?,n(t)=n1(t)+in2(t)為四元數(shù)域噪聲矢量。

        四元數(shù)域波束形成器的輸出可以寫成:

        y(t)=w?x(t)

        (6)

        式中,w為四元數(shù)域波束形成器權(quán)矢量。四元數(shù)域波束形成器的輸出功率為:

        E{|y(t)|2}=E{|w?x(t)|2}=w?Rw

        (7)

        式中,R=E{x(t)x?(t)}為陣列輸出四元數(shù)域協(xié)方差矩陣。

        四元數(shù)域波束形成器權(quán)矢量w可通過下述準(zhǔn)則(QCAPON)確定:

        s.t.w?a0=1

        (8)

        利用拉格朗日乘子方法可得下述QCAPON波束形成器權(quán)矢量:

        (9)

        (10)

        式中,K為采樣快拍數(shù)。

        2 基于導(dǎo)向矢量修正的四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成

        關(guān)于誤差分量e⊥的估計,文獻(xiàn)[16]提出了一種二次約束二次規(guī)劃方法,該方法可以直接推廣至四元數(shù)域,也即

        (11)

        (12)

        e⊥=e⊥, r+ie⊥,i+je⊥,j+ke⊥,k

        (13)

        (14)

        于是有

        (15)

        (16)

        式中

        (17)

        (18)

        (19)

        (20)

        (21)

        (22)

        這樣,

        (23)

        式中,dr,di,dj和dk均為N×1維實數(shù)矢量。

        (24)

        L=Lr+iLi+jLj+kLk

        (25)

        (26)

        由此,式(11)所示的四元數(shù)域約束優(yōu)化問題最終可寫成如下實數(shù)形式:

        s.t.

        (27)

        e⊥=e⊥,A(1:N)+ie⊥,A(N+1:2N)+je⊥,A

        (2N+1:3N)+ke⊥,A(3N+1:4N)

        (28)

        將式(10)和(28)代入式(9)中,最終得到下述基于四元數(shù)域?qū)蚴噶啃拚乃脑獢?shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成(QSVC-BF)權(quán)矢量

        (29)

        將式(29)代入式(6)中,可得四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成器的輸出如下:

        (30)

        3 仿真實驗結(jié)果與討論

        本節(jié)對論文所提的QSVC-BF方法,文獻(xiàn)[12]中的QCAPON方法,以及文獻(xiàn)[14]中的QWCCB1方法和QWCCB2方法進(jìn)行性能比較。采用由10個交叉偶極子天線組成的矢量線陣,交叉偶極子天線間的距離均為信號半個波長。假設(shè)有1個期望信號與2個非相干干擾從遠(yuǎn)場入射至該陣列,噪聲為加性高斯白噪聲。假設(shè)期望信號的俯仰角和方位角分別為5°和60°,極化輔助角和極化相位差分別為45°和30°,干擾1的俯仰角和方位角分別為30°和40°,極化輔助角和極化相位差分別為9°和55°,干擾2的俯仰角和方位角分別為60°和20°,極化輔助角和極化相位差分別為63°和72°。期望信號導(dǎo)向矢量的真實值和標(biāo)稱值之間的誤差矢量為e,假設(shè)其范數(shù)‖e‖在區(qū)間(0, 1]上均勻分布[6]。蒙特卡洛獨立實驗次數(shù)均為200。

        圖1和圖2分別給出了輸入干噪比(INR)固定為20 dB和30 dB時,輸出信干噪比隨輸入信噪比(SNR)的變化圖。仿真實驗中,采樣快拍數(shù)均固定為30。由圖1和圖2所示結(jié)果可以看出,在輸入信噪比較低時,幾種波束形成器性能相近,且均接近輸出信干噪比最優(yōu)值(OPT-SINR);隨著輸入信噪比的增大,QWCCB1方法和QWCCB2方法的輸出信干噪比性能接近但均逐漸低于最優(yōu)值,QCAPON方法其輸出信干噪比性能則急劇下降,本文所提的QSVC-BF方法輸出信干噪比性能整體上優(yōu)于其他幾種四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法。

        圖1 輸出SINR隨輸入SNR變化圖,INR=20 dB

        圖2 輸出SINR隨輸入SNR變化圖,INR=30 dB

        圖3和圖4分別給出了輸入干噪比固定為20 dB和30 dB時,輸出信干噪比隨采樣快拍數(shù)變化的性能曲線。仿真實驗中,輸入信噪比固定為10 dB。由圖3和圖4所示結(jié)果可以看出,隨著采樣快拍數(shù)的增加,幾種自適應(yīng)波束形成方法的輸出信干噪比逐漸變大且趨于穩(wěn)定,QWCCB1和QWCCB2兩種方法的性能相當(dāng),在各個采樣快拍數(shù)下,文中所提的QSVC-BF方法的輸出信干噪比性能都較優(yōu)于QWCCB1方法、QWCCB2方法和QCAPON方法,即使在采樣快拍數(shù)低于50的情況下,QSVC-BF方法也具有較好的輸出信干噪比性能。

        圖3 輸出SINR隨快拍數(shù)變化圖,INR=20 dB

        圖4 輸出SINR隨快拍數(shù)變化圖,INR=30 dB

        4 結(jié) 語

        本文提出了一種四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成方法,通過四元數(shù)域二次約束二次規(guī)劃問題的實數(shù)化,直接利用凸優(yōu)化工具包(CVX)對四元數(shù)域期望信號導(dǎo)向矢量的標(biāo)稱值進(jìn)行修正,以克服由信號相消所導(dǎo)致的四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成器性能下降問題。仿真實驗表明,所提方法的輸出信干噪比性能優(yōu)于現(xiàn)有的幾種典型的四元數(shù)域自適應(yīng)波束形成方法,且在高輸入信噪比和短快拍條件下尤為顯著。

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        A Quaternion-valued Robust Adaptive Beamforming Method

        WANG Li, XU You-gen,LIU Zhi-wen

        (School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

        The problem of quaternion-valued robust adaptive beamforming in the presence of steering vector mismatch is considered in the paper. In the method, the complex-valued quadratically constrained quadratic programming technique is extended to the quaternion domain to enhance the quaternion-valued steering vector of the signal of interest (SOI). The quaternion-valued quadratically constrained quadratic programming problem is then reformulated as a real-valued constrained one which can be directly solved by using the convex optimization toolkit (CVX). The quaternion domain robust adaptive beamforming is finally realized by using the upgraded quaternion-valued SOI steering vector. Simulation results show that the proposed robust beamformer outperforms the existing quaternion domain adaptive beamformers in terms of output signal to interference-plus-noise ratio for the tested case of steering vector mismatch.

        array signal processing; robust adaptive beamforming; quaternion; model mismatch

        10.3969/j.issn.1673-5692.2016.02.006

        2016-11-11

        2017-02-20

        國家自然科學(xué)基金(61490691, 61331019)

        TN971.1

        A

        1673-5692(2017)02-132-05

        王 荔(1995—),女,山西人,碩士研究生,主要研究方向為陣列信號處理及其應(yīng)用;

        E-mail:wangli_nice@126.com

        徐友根(1975—),男,江蘇人,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向為陣列信號處理及其應(yīng)用;

        劉志文(1962—),男,陜西人,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向為陣列信號處理及其應(yīng)用、醫(yī)學(xué)信號與圖像處理等。

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