徐煒,賈雪,嚴(yán)超,劉揚,杜文選,王濤

(安徽理工大學(xué) 測繪學(xué)院,安徽 淮南 232001)

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滑動式與非滑動式GPS精密星歷內(nèi)插方法比較分析

徐煒,賈雪,嚴(yán)超,劉揚,杜文選,王濤

(安徽理工大學(xué) 測繪學(xué)院,安徽 淮南 232001)

本文在GPS衛(wèi)星5 min精密星歷的基礎(chǔ)上,使用滑動式和非滑動式的Lagrange多項式插值法、Chebyshev多項式擬合法內(nèi)插衛(wèi)星的瞬時坐標(biāo),確定了內(nèi)插精度與插值階數(shù)的關(guān)系,并對各種方法的優(yōu)缺點進(jìn)行了比較分析。結(jié)果表明,滑動式內(nèi)插算法能夠抑制插值區(qū)間端點附近的振蕩與跳躍異常,使用較低的插值階數(shù)就可以達(dá)到最優(yōu)的內(nèi)插精度,在內(nèi)插精度與穩(wěn)定性方面都較非滑動式內(nèi)插算法有所提高。

GPS;精密星歷;滑動式算法;非滑動式算法;Lagrange插值;Chebyshev擬合

0 引 言

在利用GPS衛(wèi)星進(jìn)行導(dǎo)航定位時,需要準(zhǔn)確地計算出衛(wèi)星坐標(biāo),使用廣播星歷外推衛(wèi)星瞬時坐標(biāo)時的軌道誤差較大,而根據(jù)IGS提供的精密星歷內(nèi)插衛(wèi)星的瞬時坐標(biāo)則可以達(dá)到較高的精度。

目前,使用精密星歷求取衛(wèi)星坐標(biāo)的方法主要有非滑動式Lagrange多項式插值法、Chebyshev多項式擬合法兩種,但在計算靠近插值區(qū)間兩端點時刻的衛(wèi)星坐標(biāo)時,結(jié)果精度較低[1]。針對非滑動式內(nèi)插算法存在的問題,本文研究了一種基于滑動式的Lagrange插值法、Chebyshev擬合法,并通過實例計算與非滑動式的內(nèi)插算法進(jìn)行了對比,驗證了滑動式內(nèi)插算法的可靠性。

1 插值與擬合算法原理

1.1 Lagrange多項式插值法

設(shè)y=f(xi)是區(qū)間[a,b]上的一個實函數(shù),xi是[a,b]上的n個互異實數(shù),且y=f(xi)在xi處的值為yi=f(xi),那么在區(qū)間[a,b]上的任意一點x的n階Lagrange插值多項式的代數(shù)表達(dá)式為[2]

(1)

式中:xi為插值節(jié)點; 區(qū)間[a,b]為插值區(qū)間。

在進(jìn)行n階拉格朗日多項式內(nèi)插任意時刻的衛(wèi)星位置時,需要選取一個區(qū)間[ta,tb],使得t在區(qū)間內(nèi),并且在選擇的區(qū)間內(nèi)滿足:插值節(jié)點數(shù)≥插值階數(shù)+1[3]。該方法數(shù)學(xué)模型簡單,但在插值節(jié)點數(shù)目變化時卻需要重新構(gòu)建多項式,衛(wèi)星的瞬時坐標(biāo)可以表示為

(2)

1.2 Chebyshev多項式擬合法

假定在時間間隔[t0,t0+Δt]的衛(wèi)星軌道可用n階Chebyshev多項式逼近,其中t0和Δt分別是開始?xì)v元和擬合時間區(qū)間的長度[4]。

先將t∈[t0,t0+Δt]變化成變量τ∈[-1,1],

(3)

則衛(wèi)星坐標(biāo)可以表示為

(4)

式中:n為多項式的階數(shù);Cxi,Cyi,Czi分別為x,y,z方向的Chebyshev多項式系數(shù)。Chebyshev多項式Ti,可以由下式推導(dǎo)出來:

T0(τ)=1,T1(τ)=τ,

T0(τ)=2τTn-1(τ)-Tn-2(τ); |τ|≤1,n≥2.

(5)

當(dāng)插值節(jié)點數(shù)一定時,根據(jù)最小二乘理論,其誤差方程為

V=BC+l，

(6)

式中:B為Chebyshev矩陣;l為殘差向量。其法方程為

BTBC-BTl=0，

(7)

可以解算得到系數(shù)C為

C=(BTB)-1BTl.

(8)

將求解得到的系數(shù)C代入上式,就可以求出擬合區(qū)間內(nèi)任意時刻的衛(wèi)星三維坐標(biāo)[5-6]。

1.3 滑動式內(nèi)插算法

非滑動式Lagrange插值、Chebyshev擬合內(nèi)插算法都是固定一個插值區(qū)間,利用該區(qū)間內(nèi)的已知插值節(jié)點坐標(biāo)來內(nèi)插出區(qū)間內(nèi)部的待插值點坐標(biāo)。該算法的最大缺陷在于,在插值區(qū)間端點附近處的內(nèi)插精度會變差,坐標(biāo)值會出現(xiàn)較大的波動,而滑動式內(nèi)插算法則可以克服這個缺點。

圖1 滑動式內(nèi)插算法原理圖

滑動式內(nèi)插算法就是通過不斷的變換插值區(qū)間,使得待插值點始終位于插值區(qū)間的中心位置,以此來提高插值精度[7-8]。如每次取12個插值節(jié)點,生成11階插值多項式,那么最佳的插值段就位于第6個插值節(jié)點與第7個插值節(jié)點間的中間區(qū)域,只使用第6個插值節(jié)點與第7個插值節(jié)點間的插值點作為計算結(jié)果,將其他節(jié)點處計算的結(jié)果進(jìn)行舍去。并一直保持這個插值區(qū)間的大小不變,每次將插值區(qū)間向后移動等間隔的距離,使得待插值點始終位于插值區(qū)間的中間位置,其原理如圖1所示[9-10]。

2 算例分析

本文采用由JAXA提供的2015年12月28日0時0分0秒至2015年12月29日23時45分0秒采樣間隔為5 min的SP3精密星歷數(shù)據(jù),以PRN20號衛(wèi)星作為實驗對象進(jìn)行插值實驗。插值與擬合的區(qū)間為12月29日0時0分0秒至12月29日3時0分0秒,其余數(shù)據(jù)為滿足滑動式內(nèi)插算法所需要的數(shù)據(jù)。

由于精密星歷的采樣間隔為5 min,為了比較內(nèi)插結(jié)果的精度,選取12月29日0時0分至12月29日每隔10 min間隔的衛(wèi)星位置作為插值節(jié)點(共19個插值節(jié)點),將每隔5 min間隔的衛(wèi)星位置作為已知數(shù)據(jù)進(jìn)行檢核。選擇滑動式與非滑動式的Lagrange插值法、Chebyshev擬合法計算出3 h內(nèi)每隔5 min的衛(wèi)星坐標(biāo),并將計算出的衛(wèi)星坐標(biāo)與精密星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行對比,求出殘差值及RMS值,具體流程如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星坐標(biāo)插值計算流程圖

2.1 非滑動式內(nèi)插算法精度分析

2.1.1 非滑動式Lagrange插值精度分析

在用Lagrange多項式內(nèi)插衛(wèi)星位置時,由于插值階數(shù)受到插值節(jié)點數(shù)的限制,一般n個插值節(jié)點最大能夠達(dá)到n-1階。從12月29日0時0分0秒起開始依次選取6個插值節(jié)點至19個插值節(jié)點,以實現(xiàn)5階～18階的非滑動式Lagrange多項式插值,并分析不同的插值階數(shù)對內(nèi)插精度的影響,非滑動式Lagrange多項式不同階數(shù)時的內(nèi)插值精度如表1所示。

表1 不同階次Lagrange多項式內(nèi)插結(jié)果

為了形象地表現(xiàn)出內(nèi)插精度的變化過程,圖3示出了三維方向上的非滑動式Lagrange多項式內(nèi)插精度的變化曲線。

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圖3 非滑動式Lagrange插值法RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表1和圖3可知,隨著插值階數(shù)的增加,內(nèi)插精度先增加后減小,在階數(shù)為9時的內(nèi)插精度最高,三維坐標(biāo)分量達(dá)到最佳插值精度的階數(shù)也不完全相同;非滑動式Lagrange多項式內(nèi)插時在區(qū)間兩端出現(xiàn)了較大誤差,通過將端點處數(shù)據(jù)剔除后的RMS值與未剔除的RMS值對比可以發(fā)現(xiàn),插值區(qū)間段中間部分的插值精度較為理想,故在實際應(yīng)用中應(yīng)將區(qū)間兩端的插值點踢除,盡量使用中間部分的數(shù)據(jù)。

2.1.2 非滑動式Chebyshev擬合的精度分析

在使用非滑動式Chebyshev擬合法內(nèi)插待定點的衛(wèi)星坐標(biāo)時,應(yīng)滿足擬合節(jié)點數(shù)≥擬合階數(shù)+1,內(nèi)插精度與插值節(jié)點數(shù)以及插值階數(shù)具有密切的關(guān)系。為了說明內(nèi)插精度與插值階數(shù)的關(guān)系,依次選取0:10、0:20、…、3:00等19個已知點作為插值節(jié)點,選擇插值階數(shù)為8、9、…、18,內(nèi)插出5 min間隔的衛(wèi)星坐標(biāo),并與5 min間隔的精密星歷提供的坐標(biāo)對比,得出殘差值與RMS值,計算結(jié)果如表2、圖4所示。

表2 不同階次Chebyshev內(nèi)插結(jié)果

圖4 非滑動式Chebyshev多項式RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表3、圖4可知,隨著插值階數(shù)不斷的變化,內(nèi)插精度也隨之變化。8～13階時的內(nèi)插精度逐漸提高,13～18階時的內(nèi)插精度又逐漸變差,與非滑動式Lagrange插值法內(nèi)插精度隨階數(shù)的變化趨勢基本一致,但非滑動式Chebyshev擬合法的內(nèi)插精度要優(yōu)于非滑動式Lagrange插值法的內(nèi)插精度;在11～15階時的三維坐標(biāo)分量內(nèi)插精度都在1 mm以內(nèi),優(yōu)于精密星歷的坐標(biāo)誤差,完全能夠滿足精密單點定位的要求;同時發(fā)現(xiàn)三維方向達(dá)到最佳內(nèi)插精度時的插值階數(shù)并不相同,在實際應(yīng)用中可以對三維坐標(biāo)分量分別選取不同的插值階數(shù),已到達(dá)期望的內(nèi)插精度。

2.2 滑動式內(nèi)插算法精度分析

2.2.1 滑動式Lagrange插值精度分析

選取0:10、0:20、…、3:00這些點作為插值節(jié)點,使用滑動式Lagrange插值法內(nèi)插出3小時內(nèi)每個5 min間隔的插值點衛(wèi)星坐標(biāo)?；瑒邮絃agrange插值需要保證在每隔插值區(qū)間的前后都要有相同的插值節(jié)點,如在使用11階Lagrange多項式內(nèi)插0:00-0:10時間段內(nèi)的衛(wèi)星坐標(biāo)時,向左選取28日22:00-23:00的6個插值節(jié)點,向右選取29日0:10-1:00的6個插值節(jié)點。對于插值節(jié)點處的衛(wèi)星坐標(biāo)不進(jìn)行插值,使用精密星歷提供的數(shù)據(jù),計算出插值點處衛(wèi)星坐標(biāo)與精密星歷所提供衛(wèi)星坐標(biāo)的殘差值與RMS值,計算結(jié)果如表3、圖5所示。

表3 不同階次滑動式拉格朗日內(nèi)插結(jié)果

圖5 滑動式Lagrange多項式RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表3、圖5可以看出,隨著插值階數(shù)的增加,內(nèi)插精度不斷提高。在5階以下時,滑動式Lagrange插值法內(nèi)插結(jié)果有較大誤差,最大的RMS值達(dá)到1 m左右。當(dāng)插值階數(shù)達(dá)到7時,RMS值已經(jīng)能夠達(dá)到毫米級;當(dāng)插值階數(shù)在9～15時,三維坐標(biāo)分量的RMS值基本穩(wěn)定在毫米量級?；瑒邮絃agrange的內(nèi)插結(jié)果優(yōu)于非滑動式Lagrange的內(nèi)插結(jié)果,高次插值時也沒有出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”。此外,由于增加插值階數(shù)會相應(yīng)的增加計算量,因此建議在實際使用中在滿足內(nèi)插精度的情況下盡量選擇較低的插值階數(shù)。

2.2.2 滑動式Chebyshev擬合的精度分析

選取0:00-3:00內(nèi)10 min倍數(shù)的時間點作為插值節(jié)點,使用滑動式Chebyshev插值法內(nèi)插出3小時內(nèi)每個5 min間隔的插值點衛(wèi)星坐標(biāo),并計算出插值點處的殘差值與RMS值,計算結(jié)果如表4、圖6所示。

表4 不同階次滑動式Chebyshev內(nèi)插結(jié)果

圖6 滑動式Chebyshev多項式RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表4、圖6可以看出,5～9階之間的RMS值隨著插值階數(shù)的增加而不斷增加,9～15階時的RMS值趨于穩(wěn)定,約在1 mm以內(nèi)?；瑒邮紺hebyshev擬合法比滑動式Lagrange插值法的內(nèi)插精度要高,兩種方法的RMS值隨插值階數(shù)的變化趨勢完全一致?；瑒邮紺hebyshev法與非滑動式Chebyshev法內(nèi)插精度相當(dāng),而達(dá)到相同內(nèi)插精度時所用的插值階數(shù)更小,不會出現(xiàn)隨插值階數(shù)的增加內(nèi)插精度變差的情況。

2.3 滑動式與非滑動式方法內(nèi)插精度對比分析

為了對滑動式與非滑動式內(nèi)插算法的內(nèi)插性能進(jìn)行比較,選取滑動式與非滑動式Lagrange插值法、Chebyshev擬合法RMS值最小時的階數(shù)作為插值階數(shù),計算出待插值點的衛(wèi)星坐標(biāo)及與精密星歷坐標(biāo)的殘差值。非滑動式內(nèi)插算法的殘差分布如圖7所示,滑動式內(nèi)插算法的殘差分布如圖8所示。

圖7 非滑動式內(nèi)插方法殘差圖(a)9階非滑動式拉格朗日插值法殘差分布圖(b)13階非滑動式Chebyshev擬合法殘差分布圖

圖8 滑動式內(nèi)插方法殘差圖(a)9階滑動式拉格朗日插值法殘差分布圖(b)13階滑動式Chebyshev擬合法殘差分布圖

從圖7、圖8可知,非滑動式拉格朗日插值算法在末端產(chǎn)生了較大的誤差,衛(wèi)星坐標(biāo)殘差產(chǎn)生了較大跳躍,而滑動式拉格朗日插值算法的殘差分布則相對穩(wěn)定;滑動式拉格朗日插值算法在靠近插值區(qū)間的端點雖然也有些波動但相對于殘差值的總體變化而言,波動的幅度并不大,已經(jīng)能夠滿足導(dǎo)航定位的要求;滑動式Chebyshev多項式擬合算法與非滑動式Chebyshev多項式擬合算法內(nèi)插的殘差值基本相同,滑動式的算法殘差分布更穩(wěn)定一些;滑動式Chebyshev多項式擬合算法較滑動式拉格朗日插值算法的計算結(jié)果精度稍高,波動也更小;滑動式算法精比非滑動式算法的內(nèi)插精度要高,因此,建議在實際的應(yīng)該中優(yōu)先使用滑動式內(nèi)插算法,避免使用高階非滑動式拉格朗日算法。

3 結(jié)束語

1) 滑動式內(nèi)插算法與非滑動式內(nèi)插算法相比,使用較小的插值階數(shù)就可以達(dá)到最優(yōu)的插值精度,計算效率更高,能有效的抑制插值區(qū)間端點處的振蕩和跳躍現(xiàn)象。

2) 使用滑動式與非滑動式內(nèi)插算法計算待插值點坐標(biāo)時,在一定的階數(shù)內(nèi),內(nèi)插精度隨著插值階數(shù)的增加而逐漸提高,但當(dāng)插值階數(shù)達(dá)到一定數(shù)值時,隨著插值階數(shù)的增加,滑動式內(nèi)插精度逐漸趨于穩(wěn)定,非滑動式內(nèi)插精度出現(xiàn)了下降趨勢。

3) 衛(wèi)星的三維坐標(biāo)分量在取同一插值階數(shù)時的內(nèi)插精度不同,達(dá)到最佳插值精度時所取的插值階數(shù)也并不相同,在內(nèi)插衛(wèi)星坐標(biāo)時可以對三個坐標(biāo)分量選取不同的插值階數(shù),以達(dá)到最佳的插值精度。

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The Method of Comparative Analysis Sliding and Non Sliding GPS Precise Ephemeris Interpolation

XU Wei,JIA Xue,YAN Chao,LIU Yang,DU Wenxuan,WANG Tao

(SchoolofGeodesyandGeomatics,AnhuiUniversityofScienceandTechnology,Huainan232001,China)

Based on the 5-minute precision ephemeris of GPS satellites, this paper uses Lagrange polynomial interpolation with the type of sliding and non-sliding and Chebyshev polynomial fitting method to calculate the instantaneous coordinates of the satellites. The relationship between the precision of interpolation and interpolation order is determined, then the advantages and disadvantages of various methods are compared and analyzed. The results show that the interpolation algorithm with the type of sliding can suppress the oscillation and jumping anomaly near the endpoints in the Interpolation interval and making use of lower interpolation order can achieve optimal interpolation accuracy, in addition, both interpolation accuracy and stability are improved compared to the algorithm of non-sliding interpolation.

GPS; precise ephemeris; sliding algorithm; non sliding algorithm; Lagrange interpolation; Chebyshev fitting

10.13442/j.gnss.1008-9268.2017.02.004

2016-12-26

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:41474026); 淮南礦業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司項目(編號:HNKY-JTJS(2013)-28); 安徽省國土資源廳科技項目(編號:2011-K-22;2011-K-18);安徽理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(編號：2017CX2056)

P228.4

A

1008-9268(2017)02-0015-06

徐煒 (1992-),男,安徽蕪湖人,碩士生,主要研究方向為GNSS導(dǎo)航與數(shù)據(jù)處理。

賈雪 (1990-),女,河南周口人,碩士生,主要研究方向為大地測量學(xué)與測量工程。

嚴(yán)超 (1993-),男,安徽滁州人,碩士生,主要研究方向為 GNSS 導(dǎo)航與數(shù)據(jù)處理。

劉揚 (1991-),男,山東萊蕪人,碩士生,主要研究研究方向為 GNSS 數(shù)據(jù)處理。

杜文選 (1992-),男,安徽宿州人,碩士生,主要研究方向為 GNSS 導(dǎo)航與定位。

王濤 (1992-),男,安徽六安人,碩士生,主要研究方向為 GNSS 導(dǎo)航與數(shù)據(jù)處理。

聯(lián)系人: 徐煒E-mail:1157896096@qq.com