方舟++張海艦++楊延飛

摘 要：多成分系泊系統(tǒng)的設(shè)計研究涉及到力學(xué)、非線性方程組和優(yōu)化理論。該文在對系泊系統(tǒng)進(jìn)行受力和力矩分析的基礎(chǔ)上，考慮可能存在“臥鏈”的臨界情況，給出描述系泊系統(tǒng)各部分狀態(tài)的非線性方程組，并用MATLAB軟件進(jìn)行求解，最終得到系泊系統(tǒng)中鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、浮標(biāo)的吃水深度和游動區(qū)域。

關(guān)鍵詞：非線性方程組 優(yōu)化理論 力矩 臥鏈

中圖分類號：O312.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）03（a）-0025-02

1 數(shù)據(jù)的獲取與相應(yīng)的假設(shè)

該文中關(guān)于系泊系統(tǒng)各組成成分的數(shù)據(jù)均來自于2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模題A題[1]。為了方便進(jìn)行求解，故提出以下5條假設(shè)：（1）錨、重物球、電焊錨鏈所受浮力不計。（2）水流速沿水深無變化。（3）不考慮浮標(biāo)傾斜變化。（4）錨鏈不發(fā)生彈性形變。（5）鋼管與鋼管之間可自由活動。

2 問題分析

多成分系泊系統(tǒng)的設(shè)計是一個較為復(fù)雜的現(xiàn)實問題，設(shè)計中不僅要考慮到浮標(biāo)的游動區(qū)域，還要考慮到系泊系統(tǒng)中各項成分在海水中的具體姿態(tài)，以便人為對系泊系統(tǒng)各成分進(jìn)行有效的控制。題設(shè)要求根據(jù)所提供系泊系統(tǒng)的各項參數(shù)，在海水靜止的情況下，分別計算出海面的風(fēng)速為12 m/s和24 m/s時系泊系統(tǒng)中各成分的關(guān)鍵參數(shù)。

那么就需要對系泊系統(tǒng)中的浮標(biāo)、每節(jié)鋼管、鋼桶、錨鏈等部分進(jìn)行受力分析，以及對系泊系統(tǒng)整體進(jìn)行受力分析，建立關(guān)于系泊系統(tǒng)的受力分析數(shù)學(xué)模型。對所得到的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析求解，進(jìn)而得到在不同風(fēng)速條件下系泊系統(tǒng)所需求得的各項參數(shù)。

3 系泊系統(tǒng)中各剛體成分的受力分析

為了研究整個系泊系統(tǒng)中浮標(biāo)、鋼管、鋼桶—重物球系統(tǒng)等剛體在風(fēng)速以及海水速度條件下的各參數(shù)的變化規(guī)律，采用物理學(xué)中關(guān)于剛體的受力分析方法，將浮標(biāo)、鋼管、鋼桶—重物球系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的剛體受力分析，進(jìn)而掌握系泊系統(tǒng)中各剛體在海水中具體的狀態(tài)和參數(shù)，以便于對接下來建立相應(yīng)模型進(jìn)行具體的求解。圖1為系泊系統(tǒng)各剛體成分受力分析圖。

假定海水靜止，海面無風(fēng)浪，各剛體的最終運動狀態(tài)應(yīng)為靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)圖1中的受力分析，則可列出各剛體靜止時的受力平衡方程如下。其中，Gb表示浮標(biāo)的重力、Gg表示鋼管的重力、Gt表示設(shè)備和鋼桶的總重力、表示近海風(fēng)荷載、Ffu表示浮標(biāo)受到的浮力、Fgfu表示鋼管在海水中受到的浮力、表示鋼桶在海水中受到的浮力、Fgks表示第k根鋼管受到第k-1根鋼管的豎直分力、Fgkp表示第k根鋼管受到第k-1根鋼管的水平分力、θk表示第k根鋼管受到第k+1根鋼管力與豎直方向的夾角。

3.1 對浮標(biāo)的受力分析

水平方向：

即近海風(fēng)載荷對浮標(biāo)在水平方向上的作用力Ffe與第一節(jié)鋼管對浮標(biāo)在水平方向上的作用力Fg1p大小相等方向相反。

豎直方向：

即水對浮標(biāo)向上的浮力FfU與浮標(biāo)本身的重力Gb及第一節(jié)鋼管對浮標(biāo)在豎直方向上的作用力Fg1S之和大小相等方向相反。

3.2 對第k根鋼管的受力分析

水平方向：

即第k+1根鋼管對第k根鋼管在水平方向上的作用力與第k-1根鋼管對第k根鋼管在水平方向上的作用力大小相等方向相反。

垂直方向：

即第k+1根鋼管對第k根鋼管在豎直方向上的作用力與鋼管自身的重力之和等于第k-1根鋼管對第k根鋼管在豎直方向上的作用力與海水對鋼管的浮力之和。

力矩方程：

3.3 對鋼桶—重物球系統(tǒng)的受力分析

水平方向：.

即電焊錨鏈對鋼桶在水平方向上的作用力與第四根鋼管對鋼桶在水平方向上的作用力大小相等方向相反。

垂直方向：

即電焊錨鏈對鋼桶在豎直方向上的作用力與鋼球的重力、鋼桶自身的重力之和等于第四根鋼管對鋼桶在豎直方向上的作用力與海水對鋼桶的浮力之和。

力矩方程：

4 模型建立與求解

令β為錨鏈在錨點與海床的夾角。由于經(jīng)典的懸鏈線方程[2]僅在β=0°時適用，故需對β=0°時系泊系統(tǒng)進(jìn)行臨界分析。而系統(tǒng)在豎直方向上受力情況為：

其中，wm表示錨鏈單位長度的重力，Gs表示錨鏈的重量。而在臨界條件下，水中系統(tǒng)在豎直方向投影等于水深，即：

其中，lg表示鋼管的長度，lt表示鋼桶的長度，H表示錨鏈在豎直方向上投影額長度，h表示臨界吃水的深度，θ1…θ4表示各節(jié)鋼管與豎直方向上的夾角，θ5表示鋼桶與豎直方向上的夾角?？傻茫?/p>

由（3）、（4）、（5）、（6）式得在臨界水深的條件下臨界風(fēng)速為：

而題設(shè)風(fēng)速均小于臨界風(fēng)速，此時假設(shè)圖2線段為臥鏈長度，剩余錨鏈長度記為。含“臥鏈”的懸鏈線如圖2所示。

依據(jù)（1）、（2）式，運用MATLAB軟件求得系統(tǒng)各項參數(shù)為：=24.52 m/s。

當(dāng)風(fēng)速為12 m/s時，第1至第4節(jié)鋼管的傾斜角度分別為0.974°、0.980°、0.985°、0.991°，鋼桶的傾斜角度為1.004°，浮標(biāo)的吃水深度為0.7348 m，浮標(biāo)的游動區(qū)域為14.2195 m。

當(dāng)風(fēng)速為24 m/s時，第1至第4節(jié)鋼管的傾斜角度分別為3.736°、3.759°、3.782°、3.804°，鋼桶的傾斜角度為3.844°，浮標(biāo)的吃水深度為0.7489m，浮標(biāo)的游動區(qū)域為17.0978 m。

參考文獻(xiàn)

[1] 2016年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/6d026d84bd785435f92e3079b4a87a2b.html.

[2] 朱忠顯，尹勇，楊曉，等.多成分懸鏈線錨泊系統(tǒng)的靜力特性分析[J].大連海事大學(xué)學(xué)報，2015，41（4）：1-7.