魏清泉，夏建偉

(1.山東省聊城市第二中學(xué)，山東 聊城 252000；2.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252000)

離散多時(shí)滯系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定性分析-擴(kuò)展反凸組合法

魏清泉1，2，夏建偉2

(1.山東省聊城市第二中學(xué)，山東 聊城 252000；2.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252000)

研究了一類帶有多區(qū)間時(shí)變時(shí)滯不確定離散系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性問(wèn)題，其中不確定參數(shù)滿足線性分式結(jié)構(gòu)。首先， 將Reciprocally convex方法推廣到離散系統(tǒng)，得出一個(gè)新的有界引理；并基于該引理，得到具有更小保守性的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件；最后，給出一些數(shù)值仿真實(shí)例證明所提方法的有效性。

不確定離散系統(tǒng)； 魯棒漸近穩(wěn)定性； 多時(shí)滯系統(tǒng)；凸組合；時(shí)變時(shí)滯

時(shí)滯廣泛存在于眾多實(shí)際控制系統(tǒng)， 也是引起系統(tǒng)失穩(wěn)、振蕩及性能差的重要原因之一，近幾十年中， 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問(wèn)題得到了大量學(xué)者的關(guān)注[1-4]。 根據(jù)是否考慮時(shí)滯之間的關(guān)系， 時(shí)滯穩(wěn)定條件可分為兩大類:時(shí)滯無(wú)關(guān)穩(wěn)定條件和時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件。 前者對(duì)于時(shí)滯大小沒(méi)有要求， 后者考慮了時(shí)滯大小對(duì)穩(wěn)定性的影響， 一般來(lái)講， 時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件比時(shí)滯無(wú)關(guān)穩(wěn)定條件具有更小的保守性。 因此， 尋找保守性小且易于驗(yàn)證的時(shí)滯相關(guān)條件， 成為近年來(lái)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析理論研究的一個(gè)非?；钴S的分支， 涌現(xiàn)出諸多有效的方法,如積分不等式法[5]、時(shí)滯分割法[6]、凸組合法[7]、自由權(quán)矩陣法[8]和Wirtinger積分不等式法[9]等。

同時(shí)，由于離散系統(tǒng)在工程過(guò)程監(jiān)控、故障診斷等工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用， 使得對(duì)離散系統(tǒng)的分析與綜合研究具有很強(qiáng)的實(shí)際意義，許多連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)論也相應(yīng)的推廣到離散系統(tǒng)，離散時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究得到大量關(guān)注，[10-14]。 但現(xiàn)有文獻(xiàn)中，多時(shí)滯離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題的研究較少。近年來(lái)，僅有文獻(xiàn)[15-17]對(duì)幾類帶有多時(shí)滯離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定和鎮(zhèn)定性等問(wèn)題進(jìn)行了研究，但處理時(shí)滯積分交叉項(xiàng)所用方法均為詹森不等式和自由權(quán)矩陣方法，這導(dǎo)致結(jié)果具有較大保守性。對(duì)帶有多時(shí)滯的離散系統(tǒng)，獲得保守性更小的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性結(jié)果仍有很大的研究空間。

本文研究了一類帶有多區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的離散系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性問(wèn)題， 通過(guò)擴(kuò)展的Reciprocally convex方法， 得到一個(gè)針對(duì)離散時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析更有效的積分不等式引理。在新的引理基礎(chǔ)上，針對(duì)帶有多時(shí)滯離散系統(tǒng)的兩種不同參數(shù)不確定情況，給出了新的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件。最后，給出幾個(gè)數(shù)值仿真實(shí)例，說(shuō)明本文所得結(jié)果較已有相關(guān)結(jié)果具有更小的保守性。

1 系統(tǒng)描述和預(yù)備知識(shí)

考慮下面帶有多區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的不確定離散系統(tǒng):

(1)

x(k)=φ(k),k=-h,-h+1,…,0;

(2)

其中：x∈Rn是狀態(tài)變量；實(shí)數(shù)hi(k)是時(shí)變延遲滿足0≤h1i≤hi(k)≤h2i，i=1,2,…,m，h1i,h2i是非負(fù)整數(shù)，且h=max{h21,h22,…,h2m}；φ(k)是系統(tǒng)(1)～(2)在初始條件下的值；Ai(k)是時(shí)變矩陣，并具有如下形式的時(shí)變不確定性：

Ai(k)=Ai+ΔAi(k)，

(3)

且不確定性ΔAi(k)具有如下線性分式結(jié)構(gòu)：

ΔAi(k)=LAΔ(k)EAi；

(4)

Δ(k)=[I-F(k)J]-1F(k)；

(5)

I-JJΤ>0。

(6)

其中，J,LA,EAi是已知常數(shù)矩陣，未知矩陣F(k)是勒貝格可測(cè)因子，并且滿足

FΤ(k)F(k)≤I。

(7)

注1：如果J=0，假設(shè)Δ(k)=F(k)滿足FT(k)F(k)≤I，則不確定性ΔAi(k)將變成范數(shù)有界形式：

ΔAi(k)=LAF(k)EAi。

(8)

引入下面引理：

引理1[18]對(duì)于任意常數(shù)矩陣H∈Rm×m,H=HΤ>0，整數(shù)l1,l2滿足l1

(9)

引理2[20]給定矩陣M,S,N,且M=MΤ，若存在實(shí)數(shù)δ>0，有矩陣不等式

(10)

成立，那么對(duì)于任意滿足條件(5)～(7)的Δ(k)，都有M+SΔ(k)N+NΤΔ(k)SΤ<0。

(11)

(12)

(13)

證明：運(yùn)用引理1，有

(14)

(15)

(16)

(17)

其中Ωi,di定義于(13)式，證畢。

注2：反凸組合法作為一種有效降低結(jié)果保守性的工具，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到研究各類時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題[1,4]，但文獻(xiàn)[1,4]中的方法僅僅適用于連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)。本文將Reciprocally convex方法推廣到離散的情況，這將幫助得到多區(qū)間時(shí)變時(shí)滯離散系統(tǒng)的新的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件，且具有更小的保守性。

2 主要結(jié)果

為簡(jiǎn)便，定義變量：

χ(k) =[xΤ(k)xΤ(k-h11)xΤ(k-h1(k))xΤ(k-h21) …xΤ(k-h1m)xΤ(k-hm(k)

xΤ(k-h2m)yΤ(k)]Τ，

(18)

可以得到系統(tǒng)具有線性分式形式不確定性的魯棒漸近穩(wěn)定條件，即定理1。

(19)

則系統(tǒng)(1)～(2)是魯棒漸近穩(wěn)定的。其中

(20)

證明 一方面，根據(jù)引理2.2，由(19)式，可得：

(21)

另一方面，選取如下李雅普諾夫泛函：

(22)

其中：

假設(shè)y(k)=x(k+1)-x(k)。定義ΔV(k)=V(k+1)-V(k)。則：

(24)

根據(jù)引理1，有：

(25)

(26)

同時(shí)，注意到：

(27)

式(27)可改寫為：

(28)

由式(24)～(28)可得：

ΔV(k)≤χΤ(k)Ξχ(k)。

(29)

當(dāng)不確定性滿足(8)范數(shù)有界形式時(shí)，有下面定理：

(30)

則系統(tǒng)(1)～(2)是魯棒漸近穩(wěn)定的。其中

(31)

其中Ωi定義于(13)。

證明 一方面，對(duì)(30)式運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，則有

(32)

另一方面，類似定理2.1證明，可得結(jié)論。

在本文中，為了與已有結(jié)果進(jìn)行比較，在系統(tǒng)(1)～(2)中，令m=1，得到下面系統(tǒng)：

x(k+1)=A0(k)x(k)+A1(k)x(k-h1(k)),

(33)

x(k)=φ(k),k=-h2,-h2+1,…,0。

(34)

那么分別根據(jù)定理1和定理2，易得下面推論1和推論2。

(35)

則系統(tǒng)(33)～(34)是魯棒漸近穩(wěn)定的。其中

Λ22=-R11-Z-S,Λ23=Z-U,Λ24=U,Λ25=0,Λ33=-Q-2Z+U+UΤ,Λ34=-U+Z,

(36)

則系統(tǒng)(33)～(34)是魯棒漸近穩(wěn)定的。其中：

推論1和推論2可由以上兩個(gè)定理推得，證明過(guò)程在此不再贅述。

3 數(shù)值實(shí)例

例1 根據(jù)定理1，考慮系統(tǒng)(1)～(2)，取m=2和下面系統(tǒng)參數(shù)：

表1 不同的h12所對(duì)應(yīng)的h22的上界值

通過(guò)求解LMI(19)，取定h1(k)、h2(k)的下界，令h11=1,h21=2,對(duì)于不同的h12，可得h22的上界與之對(duì)應(yīng)，見表1。

例2 根據(jù)定理2，考慮系統(tǒng)(1)～(2)，取m=2和下面系統(tǒng)參數(shù)：

取不同的h12所對(duì)應(yīng)的的h22上界值，見表2。

表2 不同的h12所對(duì)應(yīng)的h22的上界值

例3 根據(jù)推論2，考慮系統(tǒng)(33)～(34)，取文獻(xiàn)[19]定理2 的系統(tǒng)參數(shù)：

方法h1,h2[][6,12][10,15][20,25][30,35]推論2α0.22560.17280.11300.1008[19]α0.13210.11210.09370.0920[18]α0.11460.10230.0886—

注3 由表3可知，本文所用的方法比文獻(xiàn)[18-19]允許更高的擾動(dòng)，因而驗(yàn)證了本文方法所得結(jié)果具有更小的保守性。

4 結(jié)論

研究了一類多區(qū)間時(shí)變時(shí)滯不確定離散系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性問(wèn)題，將Reciprocallyconvex方法推廣到離散系統(tǒng)，得到一個(gè)新的積分不等式引理，根據(jù)不同的不確定性形式，得到具有更小保守性的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件。最后，數(shù)值仿真實(shí)例說(shuō)明了方法的有效性。

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(責(zé)任編輯：傅 游)

Robust Asymptotical Stability Criteria for Discrete-time System with Multiple Interval Time-varying Delays Based on Extended Reciprocal Convex Approach

WEI Qingqun1，2, XIA Jianwei2

(1. No. 2 Senior Middle School of Liaocheng, Liaocheng, Shandong 252000, China; 2. College of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252000, China)

The paper studies the problem of robust asymptotical stability for a class of uncertain discrete-time system with multiple interval time-varying delays, in which the uncertain parameters are in linear fractional form. Firstly, a new integral bound lemma was derived by extending the reciprocal convex approach to discrete system. Then, the novel delay-dependent stability criteria with less conservatism was obtained based on the lemma. Finally, numerical examples were given to show the effectiveness of the proposed methods.

uncertain discrete-time system; robust asymptotical stability; multiple delays; reciprocal convex; time-varying delay

2016-10-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61573177)

魏清泉(1974—)，男，副教授，主要從事時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方面的研究工作．E-mail：qingquanwei@163.com

O231.3

A

1672-3767(2017)03-0096-08