黃喜嬌 1，李景榮 2

(1 安陽學院，河南 安陽，455000；2 河南科技大學附屬高級中學)

帶交叉擴散項的捕食模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性分析

黃喜嬌 1，李景榮 2

(1 安陽學院，河南 安陽，455000；2 河南科技大學附屬高級中學)

討論了一類具有交叉擴散項的Holling-Tanner捕食-食餌生態(tài)模型的正穩(wěn)態(tài)解的存在性。利用最大值原理給出了此模型正解的先驗估計，進一步利用特征值和單特征值的局部分歧理論，以物種v的增長率b作為分歧參數(shù)，證明了系統(tǒng)在半平凡解附近出現(xiàn)分歧。

交叉擴散項；Holling-Tanner捕食-食餌模型；先驗估計；分歧解

研究了一類具有擴散和交叉擴散項的模型：

(1)

其中u,v分別代表捕食和食餌者的密度; Ω是RN(N≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域; ?v表示單位外法向量的方向?qū)?shù);邊界條件表示它們生活在同一個封閉的環(huán)境，參數(shù)a,b 是 u,v的固有增長率; γ表示捕食者依賴食餌者的程度； m是食餌者的飽和值。 d1,d2為交叉擴散系數(shù)，并且對應(yīng)的 d1描述食餌者避開大群捕食者來避免侵害的趨向，對應(yīng)的 d2描述食餌者聚在一起抵制來自捕食者的侵害的趨向，上述的參數(shù) d1,d2是非負數(shù)，其他都是正的。

對于一些捕食模型,國內(nèi)外已有許多研究，并且取得了許多有意義的成果，諸如捕食問題正穩(wěn)態(tài)解的存在性、穩(wěn)定性和局部分歧以及捕食模型解的漸進性研究[1～9]。在這些文獻中，多數(shù)討論的是不帶交叉擴散項的模型，也即是(1)模型中 d1,d2=0時的情形。如PengR等[8]研究了相應(yīng)的不帶交叉擴散項模型平衡態(tài)非常數(shù)正解的存在與不存在性，PengR等[9]討論了正解的一些性質(zhì)，筆者在此基礎(chǔ)上討論(1)的平衡態(tài)模型

(2)

(3)

因為a>0，顯然問題(3)有唯一一個正解，記為θa，因此模型(2)有一個半平凡解，記為(ω*, v*) ，則(u*, v*)=(θa, 0)。

本次研究用 λ1(q)表示下面問題的主要特征值。

(4)

1 模型(2)解的先驗估計

假設(shè)在模型(2)中d1, d2≠0,為了討論的方便，令ω=(1+d1v)u, χ=(1+d2u)v， 那么可得

(5)

顯然(u,v)>0與(ω,χ)>0是一一對應(yīng)的，那么模型(2)又可寫為下面形式

(6)

其中u=u(ω,χ), v=v(ω,χ)是由(5)給出的關(guān)于ω,x的函數(shù)，易知(6)也有一個半平凡解記為(ω*, χ*)，則(ω*, χ*)=(θa,0)。

為了給出模型(2)正解的估計，先介紹引理1。

定理1 假設(shè) (ω, χ)是模型(6)的正解， (u,v)是模型(2)的正解，那么

0

0

u(x0)≤a,v(x0)≤a(m+a)

因此

0

那么

又 v也是正解，所以

0

2 模型(2)正解的存在性

在此以 b作為分歧參數(shù)，其它參數(shù)固定，討論模型(2)在半平凡解(θa,0)附近的正解。對系統(tǒng)

(7)

為了討論模型(2)在半平凡解(θa,0)的某鄰域存在正解，先介紹引理2。

引理2 L1的所有特征值均是負的，其中L1=Δ+a-2θa。

定理2 因a>λ1，模型(2)在半平凡解(θa,0)的某鄰域內(nèi)存在正解。

由于模型(6)與模型(2)是等價的，下面證明模型(6)在半平凡解(θa,0)的某鄰域內(nèi)存在正解，從而得出模型(2)在半平凡解(θa,0)的某鄰域內(nèi)存在正解。

(8)

(9)

定義映射F:X×R→Y則(8)式的左端為

(10)

所以可知F(0,0,b)=0，從(9)和(10)知F在(0,0,b) 的導(dǎo)Fre'chet導(dǎo)數(shù)是

所以有

所以 (u(s),v(s),b(s))是模型(2)的解，其中 u(s),v(s)是由(5)給出的關(guān)于 w(s), χ(s)的函數(shù)。易見，當 0

3 結(jié) 論

本次研究了一類具有交叉擴散項的Holling-Tanner捕食-食餌生態(tài)模型。主要討論了此模型的正解。利用最大值原理給出了此模型正解的先驗估計，進一步利用特征值和單特征值的局部分歧理論，討論了模型正解的存在性。

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(責任編輯：朱寶昌)

Existence of Positive Steady-state Solution for a Prey-Predator Model with Cross-Diffusion

HUANG Xijiao1, LI Jingrong2

(1 Anyang University, Anyang Henan,455000; 2 Senior High School Affiliated To Henan University of Science And Technology; China)

The existence of positive steady-state solution for a prey-predator model with cross-diffusion was discussed in this paper．The prior estimate to the positive solutions of the model was given by means of maximum principle. Furthermore, treating the increase ratebas the bifurcation parameter, the bifurcation from the semi-trivial solutions was obtained according to the local bifurcation theory with eigenvalues.

cross-diffusion； Holling-Tanner prey-predator model；prior estimate； bifurcation solution

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2017.01.006

河南省高等學校重點科研資助項目(項目編號：17A110015)。

2016-10-12; 修改稿收到日期: 2017-03-02

O175.26

A

1672-7983(2017)01-0029-05

黃喜嬌(1980-)，女，碩士，講師。主要研究方向：微分方程。