張 娟，武利猛，申玉發(fā)，馬聰聰

( 河北科技師范學(xué)院 a 財(cái)務(wù)處，b 數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院,河北 秦皇島，066004)

時(shí)標(biāo)上二階動(dòng)力方程邊值問題的正解

張 娟a，武利猛b，申玉發(fā)b，馬聰聰b

( 河北科技師范學(xué)院 a 財(cái)務(wù)處，b 數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院,河北 秦皇島，066004)

在現(xiàn)有時(shí)標(biāo)理論的基礎(chǔ)上，借助于錐中twin不動(dòng)點(diǎn)定理，對(duì)一類二階動(dòng)力方程邊值問題解的存在性進(jìn)行了探討，得到了至少存在2個(gè)正解的判別準(zhǔn)則，同時(shí)給出實(shí)例驗(yàn)證了主要結(jié)果。

時(shí)標(biāo)；動(dòng)力方程；邊值問題；正解；twin不動(dòng)點(diǎn)定理

時(shí)標(biāo)上的動(dòng)力方程邊值問題在科學(xué)工程和應(yīng)用技術(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用，從而成為時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程的一個(gè)重要分支。在時(shí)標(biāo)理論的研究過(guò)程中，許多學(xué)者對(duì)時(shí)標(biāo)上利用不動(dòng)點(diǎn)定理解決動(dòng)力方程邊值問題正解的存在性產(chǎn)生了很大的興趣，在文獻(xiàn)[1～9]中作者分別考慮了時(shí)標(biāo)上不同類型動(dòng)力方程邊值問題解的存在性。

2007年，王培光等[5]考慮了時(shí)標(biāo)上二階動(dòng)力方程三點(diǎn)邊值問題

(1)

至少存在2個(gè)正解的條件，其中β≥0,γ>0, η∈(0,T), 0<α<β/γ, d=β-αβη-αγ>0，其中T表示時(shí)標(biāo)，下同。

關(guān)于時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程邊值問題的研究已非常豐富，受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，筆者研究以下邊值問題

(2)

其中β≥0,γ>0,η∈(0,T), 0<α<1, d=αβη+(1-α)(βT-γ)<0。

筆者利用錐中twin不動(dòng)點(diǎn)定理得到關(guān)于邊值問題(2)至少存在2個(gè)正解的判別準(zhǔn)則。始終假設(shè)以下條件成立：

(H1) a:[0,T]→[0,∞)是ld-連續(xù)的，且a(t)在[0,T]的任意子集上不恒為0。

(H2) f:[0,∞)→[0,∞)是ld-連續(xù)的，且f(u)在正測(cè)度鏈[0,T]上的任意子集上不為0。

1 預(yù)備知識(shí)

有關(guān)時(shí)標(biāo)上的基礎(chǔ)知識(shí)可參看文獻(xiàn)[3]。為了簡(jiǎn)化原問題的計(jì)算，考慮如下二階動(dòng)力方程邊值問題

(3)

βu(T)-γuΔ(T)=0, u(0)=au(η)

(4)

其中h(t)∈Cld(T,R)。

引理1 如果d≠0，那么邊值問題(3)，(4)有唯一解

(5)

證明 對(duì)式(3)從0到t進(jìn)行積分，得到

(6)

再對(duì)式(6)從0到t進(jìn)行積分，得到

(7)

令t=T代入式(6)，再另t=η,T代入式(7)，有

(8)

(9)

(10)

將式(8)，(9)，(10)代入式(4)，得到

由上式，得到

(11)

(12)

其中d=αβη+(1-α)(βT-γ)。將式(10)，(11)，(12)代入式(7)，整理可得到式(5)。

引理2 令1-α>0和d<0，那么邊值問題(3)，(4)的唯一解u(t)滿足u(t)≥0, t∈[0,T]。

從而知uΔ(t)>0, u(t)是遞增的，故只需要證明u(0)≥0。由d<0, 1-α>0可得

(B1) γ(Fx)>c, x∈?P(γ,c)；

(B2)θ(Fx)

(B3) P(α,a)≠φ且α(Fx)>a, x∈?P(α,a)。

2 邊值問題的正解存在性

令Banach空間E=Cld[0,T]且范數(shù)‖u‖=supt∈[0,T]|u(t)|。定義錐P?E，且P={u∈E|u在[0,T]中是凹的，遞減非負(fù)}。

定義全連續(xù)積分算子A:P→E，且

(13)

則邊值問題(2)至少有2個(gè)正解u1,u2，使得：

證明 設(shè)η

ω(Au)(t) =(Au)(η)

ρ(Au)(t) =(Au)(η)

3 舉 例

考慮時(shí)標(biāo)上邊值問題

(14)

4 結(jié)論與討論

時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程已引起很多學(xué)者們的關(guān)注，在很多方面產(chǎn)生了優(yōu)秀的成果，如解的振動(dòng)性、周期解、解的存在性等。本次研究在現(xiàn)有時(shí)標(biāo)理論的基礎(chǔ)上，借助于錐中twin不動(dòng)點(diǎn)定理，討論了一類二階動(dòng)力方程邊值問題的正解，得到了至少存在2個(gè)正解的判別準(zhǔn)則，所得結(jié)果在一定程度上完善了已有文章的結(jié)論，豐富了時(shí)標(biāo)理論。高階動(dòng)力方程邊值問題解的存在性將是今后研究的主要方向。

[1] Anderson D R.Eigenvalue Internals for a Two-point Boundary Value Problem on a Measure Chain[J].J Comput Appl Math,2002,141:57-64.

[2] 孫紅蕊,李萬(wàn)同.測(cè)度鏈上非線性m-點(diǎn)邊值問題的正解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),2006,49(2):369-380.

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[4] 盧秀雙,常小軍.運(yùn)用同倫連續(xù)法求解二階時(shí)標(biāo)邊值問題[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2010,48(6):949-950.

[5] 王培光,王穎.時(shí)間尺度上二階動(dòng)力方程三點(diǎn)邊值問題解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),2007,50(3):701-706.

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[8] 劉愛蓮,朱思銘.時(shí)標(biāo)上矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(6):1 056-1 067.

[9] 武利猛,張娟,申玉發(fā),等.時(shí)標(biāo)上二階動(dòng)力方程m點(diǎn)邊值問題的正解[J].河北科技師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015,29(2):20-26.

(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Positive Solutions of Boundary Value Problem for Second Order Dynamic Equations on Time Scales

ZHANG Juana, WU Limengb, SHEN Yufab, MA Congcongb

(a. Department of Finance, b. School of Mathematics and Information Technology; Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004; China)

In this paper, a class of second order dynamic equations on time scales was discussed by means of a twin fixed point theorem in cone on the basis of the present time scales theory. A criterion for the existence of at least two positive solutions for the dynamic equations on time scales was established. Meanwhile, an example was showed to verify the main results.

time scales; dynamic equations; boundary value problem; positive solution; twin fixed point theorem

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2017.01.005

2016-12-15; 修改稿收到日期: 2017-01-10

O175.8

A

1672-7983(2017)01-0024-05

張娟(1982-)，女，助教，碩士。主要研究方向：微分方程。