曲祥君，朱 凱，唐 迪，李 青

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563002）

關(guān)于固結(jié)彈性薄層空間軸對(duì)稱接觸問題精確解的探討（Ⅰ）

曲祥君，朱 凱，唐 迪，李 青

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563002）

基于Papkovich-Neuber勢(shì)函數(shù)研究了固結(jié)薄層的軸對(duì)稱靜壓接觸問題。通過Fourier積分變換得到薄層接觸應(yīng)力、位移的Fourier形式。利用邊界條件，采用積分變換手段探討了該接觸問題的精確解，并最終得到第一類奇異積分方程。

彈性薄層；Fourier積分變換；軸對(duì)稱接觸

彈性薄層固結(jié)構(gòu)件的層合結(jié)構(gòu)常見于各大行業(yè)領(lǐng)域中，如暖通管道與保溫耐腐層的結(jié)合體。此種結(jié)構(gòu)在應(yīng)用時(shí)常與其他構(gòu)件接觸，從而產(chǎn)生多種接觸問題。固結(jié)薄層體的空間軸對(duì)稱接觸問題，是其中最基本、最重要的一種，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)研究。Johnson[1]創(chuàng)立了著名的Johnson假設(shè)，并以該假設(shè)為基礎(chǔ)研究了固結(jié)薄層體的靜態(tài)擠壓接觸問題，得到了精確的解析解。該假設(shè)后來成為薄層體解析分析、數(shù)值分析的重要奠基石，但該假設(shè)的結(jié)果無法應(yīng)用于薄層體層內(nèi)應(yīng)力場、位移場的分析研究。Jaffer[2]以Johnson假設(shè)為基礎(chǔ)，研究了可壓縮彈性薄層體受豎向靜態(tài)擠壓接觸時(shí)的接觸應(yīng)力分布。Barber[3]采用不同的方法研究了靜態(tài)擠壓接觸問題的接觸應(yīng)力分布情況。Ning等[4]也以Johnson假設(shè)為基礎(chǔ)，并利用仿真分析得出了與理論值高度吻合的接觸應(yīng)力分布形式。Jaffer[5]以Popov[6]和Alexandrov[7]的研究成果為基礎(chǔ)，利用修正Legendre多項(xiàng)式對(duì)接觸應(yīng)力、位移分量開展了相應(yīng)的研究。Mattthewson[8]從平均應(yīng)力、平均應(yīng)變的角度對(duì)固結(jié)彈性薄層體的靜態(tài)擠壓接觸問題進(jìn)行了全新的研究，得到了相應(yīng)的精確解。朱凱[9]采用解析分析的方法，利用簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求出了固結(jié)彈性薄層空間軸對(duì)稱問題的解析解。此外，還有許多學(xué)者[10-14]對(duì)該問題進(jìn)行了大量研究，所有這些研究為薄層體結(jié)構(gòu)的制備及工業(yè)應(yīng)用提供了理論指導(dǎo)，并推動(dòng)了接觸力學(xué)的發(fā)展。

本文以朱凱研究的模型為基礎(chǔ)，旨在尋找一種針對(duì)此類問題的精確的半解析解。作者采用一系列積分變化手段，探討固結(jié)彈性薄層空間軸對(duì)稱接觸問題的精確解，最終將該問題成功轉(zhuǎn)化為第一類奇異積分方程，該方程可以利用數(shù)值手段進(jìn)行求解，并得到接觸應(yīng)力的精確表達(dá)式。

1 問題的建立

考慮有厚度為 的彈性薄層固結(jié)剛性基底，如圖1所示。半徑為 的剛性圓球在外力 的作用下與薄層發(fā)生空間軸對(duì)稱接觸，接觸半徑為a，薄層產(chǎn)生深度為d的凹陷，圓球的最大壓入深度為d。過球心作橫截面，建立笛卡爾坐標(biāo)系進(jìn)行輔助求解，其中相對(duì)應(yīng)的位移分量為

圖1 剛性基底上固結(jié)彈性薄層與剛性球狀壓頭的法向接觸

2 邊界條件

由圖1可知，剛性圓球與薄層之間的接觸區(qū)域?yàn)榍蚬跔睿佑|半徑為a。假定剛性圓球與薄層之間的摩擦系數(shù)為零，同時(shí)由圖1可知，只有接觸區(qū)域內(nèi)有應(yīng)力分布，故可得如下的邊界條件：

3 問題的求解

在平面應(yīng)變問題幾何方程、彈性方程的基礎(chǔ)上，利用Fourier積分變換可求得的Fourier形式

由式（21）、（23）可建立接觸應(yīng)力與豎向位移的關(guān)系式：

由式（32）可知，本文中的軸對(duì)稱接觸問題轉(zhuǎn)化成為第一類奇異積分方程的求解。

4 討論及結(jié)論

本文通過積分變換手段，對(duì)固結(jié)彈性薄層空間軸對(duì)稱接觸問題進(jìn)行了探討，并最終將問題轉(zhuǎn)化為便于數(shù)值求解的第一類奇異積分方程。該方程可以運(yùn)用Gauss-chebyshev積分法進(jìn)行離散，然后采取Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)作為Gauss節(jié)點(diǎn)對(duì)接觸應(yīng)力進(jìn)行數(shù)值求解，最終得到精確的結(jié)果。相應(yīng)的數(shù)值分析及結(jié)果討論將在第Ⅱ部分工作中呈現(xiàn)。

[1]Johnson KL.Contact mechanics[M].Cambridge:Cambridge university press,1987.

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[4]Ning X,Lovell M,Slaughter WS.Asymptotic solutions for axisymmetric contact of a thin transversely isotropic elastic layer[J].Wear,2006,260(7):693-698.

[5]Jaffar MJ.A numerical solution for axisymmetric contact problems involving rigid indenters on elastic layers[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1988,36(4):401-416.

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[7]Aleksandrov VM.Asymptotic solution of the contact problem for a thin elastic layer[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics,1969,33(1):49-63.

[8]Matthewson M J.Axi-symmetric contact on thin compliant coatings[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1981,29(2):89-113.

[9]朱凱,張旭,馬清.固結(jié)彈性薄層的空間軸對(duì)稱接觸問題[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào),2016,18(1):107-110.

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[13]Matthewson MJ.Axi-symmetric contact on thin compliant coatings[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1981,29(2):89-113.

[14]Popov VL.Contact mechanics and friction[M].Berlin:Springer Berlin Heidelberg,2010.

[15]Gladwell G M L.Contact problems in the classical theory of elasticity[M].Berlin:Springer Science&Business Media, 1980.

[16]Sneddon N I.Fourier transforms[M].New York:Dover Publications Inc,1995.

（責(zé)任編輯：朱 彬）

Axisymmetric Contact Problem of the Bonded Elastic Thin Layer (Ⅰ)

QU Xiang-Jun,ZHU Kai,TANG Di,LI Qing
（College of Engineering and Technology,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China）

The axisymmetric contact problem for the elastic thin layer bonded to rigid foundation is concerned on the basis of the Papkovich-Neuber potential function,using the Fourier transform to get the stress and the displacement expressions of the elastic thin layer. Considering the boundary conditions,the solution for the contact pressure is obtained by Fourier transforms.

Elastic thin layer;Fourier transform;Axisymmetric contact

O343.3

A

1009-3583（2017）-0104-03

2016-11-04

曲祥君，男，貴州遵義人，遵義師范學(xué)院工學(xué)院助理實(shí)驗(yàn)師。研究方向：滾動(dòng)軸承、界面處理。