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        多角度研究帶電小球在水平磁場(chǎng)中的下落軌跡

        2017-05-31 15:22:59胡曉強(qiáng)
        理科考試研究·高中 2017年3期

        摘 要:對(duì)于帶電小球(考慮重力)在水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的下落,高中學(xué)生普遍不清晰其運(yùn)動(dòng)軌跡,特別是對(duì)帶電小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在認(rèn)識(shí)上的誤區(qū),本文從定性、半定量、定量等多方面進(jìn)行研究論證,以解決學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑.

        關(guān)鍵詞:帶電小球;勻強(qiáng)磁場(chǎng);下落軌跡;多角度研究

        作者簡(jiǎn)介:胡曉強(qiáng)(1982-),男,大學(xué)本科,學(xué)士學(xué)位,中學(xué)高級(jí)教師,主要從事高中物理教學(xué)研究工作,承擔(dān)物理競(jìng)賽教學(xué)及自主招生輔導(dǎo)工作.

        題目 如圖1所示,一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q(q>0)的小球,在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中由靜止下落,問小球的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何,是否可能會(huì)出現(xiàn)小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的情況?

        筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),有相當(dāng)多的學(xué)生認(rèn)為在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中下落時(shí),由于帶電小球受到洛倫茲力的作用而逐漸向右偏轉(zhuǎn),最終洛倫茲力與小球重力平衡,從而向右做勻速直線運(yùn)動(dòng),整個(gè)過程有如圖2所示的運(yùn)動(dòng)軌跡;另有一部分學(xué)生雖然意識(shí)到帶電小球最終不是做勻速直線運(yùn)動(dòng),但小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)卻無法求解確定.

        怎樣有效的利用現(xiàn)有的高中物理知識(shí)來解決學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑,筆者試從定性、半定量、定量等多角度進(jìn)行研究論證.

        解析1 如圖3,設(shè)小球下落運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),速度為水平方向,則在B點(diǎn)之前的極短一個(gè)時(shí)刻(對(duì)應(yīng)圖中A點(diǎn)),設(shè)A點(diǎn)速度vA與水平方向成Δθ角度(Δθ→0).

        在A點(diǎn),速度vA有豎直向下的分量vAy,而接下來瞬間(對(duì)應(yīng)B點(diǎn))速度達(dá)到水平時(shí)無此豎直方向速度的分量,即小球在這個(gè)過程由于受到豎直向上的合外力而在豎直方向上做減速運(yùn)動(dòng),因此有

        qvABcosΔθ>mg(1)

        ∵A至B過程,只有重力對(duì)小球做正功

        ∴vA

        則由(1)(2)必定有qvBB>mg

        故當(dāng)帶電小球運(yùn)動(dòng)到水平方向時(shí),向上的洛倫茲力大于重力,小球仍會(huì)向上偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而不是保持水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng).

        解析2 如圖4,帶電小球在運(yùn)動(dòng)過程中的任意時(shí)刻,設(shè)其水平方向的分速度為vx,豎直方向的分速度為vy,所以此時(shí)帶電小球在水平方向的加速度ax=Fxm=qvyBm

        ∴Δvx=axΔt=qvyBm·Δt

        ∴兩邊求和有∑Δvx=qBm∑vyΔt

        又∵∑Δvx=vx,∑vyΔt=y

        ∴由以上兩式得vx=qBm·y

        當(dāng)帶電小球運(yùn)動(dòng)到速度水平時(shí),其速度v=vx

        ∴此時(shí)小球在豎直方向上的位移y=mvqB

        則小球在從出發(fā)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)B過程中,只有重力做功(洛倫茲力不做功),由動(dòng)能定理:

        mgy=12mv2 得B點(diǎn)速度v=2mgqB

        則此時(shí)帶電小球所受洛倫茲力f=qvB=q·2mgqB·B=2mg>mg

        ∴小球會(huì)繼續(xù)往上偏轉(zhuǎn)而不是保持水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng).

        當(dāng)然,以上僅是定性地說明小球最終不是做水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng),那其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)能否進(jìn)一步確定呢?

        解析3 如圖5,將速度分解為水平向左的速度v1和水平向右的速度v2,因?yàn)樾∏虺跏紶顟B(tài)初速度v0=0(靜止),則有v1=v2

        令qv1B=mg 即v1=mgqB

        則小球的運(yùn)動(dòng)等效為水平向右以速度v1做勻速直線運(yùn)動(dòng),同時(shí)在豎直平面內(nèi)做速度大小為v2、半徑為R=mv2qB=m2gq2B2的勻速圓周運(yùn)動(dòng),由數(shù)學(xué)知識(shí)定義可知,其運(yùn)動(dòng)軌跡為擺線.

        對(duì)于帶電小球精確的運(yùn)動(dòng)軌跡求解,還需借助高等數(shù)學(xué)的知識(shí)進(jìn)行論證.

        解析4 以帶電小球的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,建立如圖6所示坐標(biāo)系,根據(jù)牛頓第二定律,可知小球的運(yùn)動(dòng)微分方程:

        md2xd2t=qBdydt①

        md2yd2t=mg-qBdxdt ②

        初始條件:

        t=0,x0=0,y0=0,dxdtx=0y=0=0,dydtx=0y=0=0

        令ω=qBm則有:

        dxdt=ωy③

        dydt=gt-ωx④

        d2xdt2=gωt-ω2x⑤

        d2ydt2=g-ω2y⑥

        根據(jù)微分方程d2ydt2+k2y=f(x)(其中k>0)通解:

        y=acoskx+βsinkx+1k∫xx0f(t)sin(kx-t)dt

        解方程⑤⑥得:

        x=ω2g(ωt-sinωt) ⑦

        y=ω2g(1-cosωt)⑧

        因此,小球的軌跡是xOy平面內(nèi)的擺線(滾輪線).

        由③⑦⑧式得:

        dydt2=2gy-ω2y2 ⑨

        令⑨式中dydt=0,求得y的最大值ym=2gω2,此時(shí)d2xdt2m=0,即為小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的值.

        1.根據(jù)③式得dxdtm=2gω;

        2.根據(jù)⑥式得d2ydt2m=-g;

        3.令⑥式中d2ydt2=0,則y=12ym=gω2;

        4.根據(jù)④式,小球從O點(diǎn)到最低點(diǎn)的時(shí)間為tm=2ω;

        5.根據(jù)⑤式,xm=gtmω=2gω2.

        根據(jù)以上1、2、3點(diǎn)的結(jié)果,從力學(xué)角度來看,盡管小球在最低點(diǎn)時(shí)dydtm=0,dxdtm=2gω≠0,但在該點(diǎn)d2ydt2m=-g≠0,也就是說小球在最低點(diǎn)受到豎直向上的洛倫茲力是重力的兩倍,小球在最低點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)不可能沿x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)而是會(huì)向上偏轉(zhuǎn).

        結(jié)束語(yǔ):通過以上定性、半定量、定量等多角度的研究,讓不同程度的學(xué)生都能在各自認(rèn)知水平上對(duì)帶電小球(考慮重力)在水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的下落軌跡有了更進(jìn)一步的理解,解決了學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑.同時(shí)在解析過程中涉及了運(yùn)動(dòng)的合成與分解、微元法、能量守恒等高中階段常用的物理方法,又結(jié)合了數(shù)學(xué)中幾何知識(shí)、先微分再積分的思想方法,多樣化的解題思路,也拓展了學(xué)生的視野,符合“全面提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)”新課改理念.

        參考文獻(xiàn):

        [1]課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理選修3-2.北京:人民教育出版社,2010:29.

        [2]王勝利.微元法在新課程標(biāo)準(zhǔn)教材中的體現(xiàn).物理教師,2010(4):14-16.

        [3]周曉東.帶電小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一例.山東大學(xué)學(xué)報(bào),2000(7):137-138.

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