張鑫　許峰

摘要摘要：針對用傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解計算衛(wèi)星軌道過程中的開普勒超越方程時，面臨的對梯度計算敏感和初始點要求過高等問題，提出了一種基于多生境遺傳算法的衛(wèi)星軌道計算方法，并據(jù)此計算了多種衛(wèi)星的星下點軌跡。數(shù)值實驗表明，上述算法較傳統(tǒng)優(yōu)化算法有較強的普適性和全局收斂性。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：衛(wèi)星軌道；星下點軌跡；開普勒方程；多生境遺傳算法

DOIDOI：10.11907/rjdk.171002

中圖分類號：TP312

文獻標識碼：A文章編號文章編號：16727800（2017）005002704

0引言

隨著空間科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人造地球衛(wèi)星已廣泛應(yīng)用于氣象、通信、測繪、導(dǎo)航、偵察等諸多領(lǐng)域。目前，在軌的各類衛(wèi)星已多達數(shù)千顆，其中包括許多裝有合成孔徑雷達和高性能光學(xué)照相機的偵察衛(wèi)星。有些偵察衛(wèi)星不僅具有很高的分辨率，而且能實現(xiàn)全天候?qū)Φ貍刹?。這就要求在進行重要武器裝備、部隊轉(zhuǎn)移或大型國防工程施工時，掌握境外偵察衛(wèi)星的運行規(guī)律，適時躲避衛(wèi)星偵察，保衛(wèi)國家安全。

避空偵察的關(guān)鍵在于衛(wèi)星運行軌道計算，進而獲取衛(wèi)星星下點軌跡。計算衛(wèi)星運行軌道時需要求解開普勒方程，由于此方程為超越方程，所以需要采用數(shù)值方法求解。以往，多采用基于梯度的經(jīng)典算法如牛頓法求解開普勒方程，而此類算法明顯存在的兩大缺陷：一是算法對梯度計算的精確度要求較高，當梯度計算誤差較大時，解的誤差偏大，即算法的數(shù)值穩(wěn)定性較差；二是算法對迭代初始值的要求較高，當初始值與理論解相差較遠時，算法可能不收斂。

近年來，隨著以遺傳算法為代表的智能優(yōu)化算法研究的深入，智能優(yōu)化算法已越來越多地應(yīng)用于航天和航空器的設(shè)計與軌道計算，并取得了許多成果。吳美平[1]將遺傳算法應(yīng)用于載人飛船返回軌道設(shè)計；王吉力[2]應(yīng)用遺傳算法對登月飛行器軟著陸軌道進行了優(yōu)化計算；羅亞中[3]將一種混合遺傳算法應(yīng)用于運載火箭上升軌道的設(shè)計；陳剛等[45]系統(tǒng)研究了遺傳算法在航天器優(yōu)化中的應(yīng)用；劉秀平[6]將差分進化算法應(yīng)用于衛(wèi)星軌道計算方法。

本文針對衛(wèi)星軌道計算過程中的開普勒方程，提出了一種基于多生境遺傳算法的求解方法，并根據(jù)數(shù)值實驗對模型和算法進行了分析。

1衛(wèi)星軌道模型

1.1衛(wèi)星軌道參數(shù)

衛(wèi)星軌道參數(shù)是用來描述衛(wèi)星在太空中運行的形狀、位置和取向的各種參數(shù)，也叫衛(wèi)星的軌道根數(shù)。根據(jù)開普勒定律，人造地球衛(wèi)星在空間的瞬時位置可以由6個開普勒軌道根數(shù)確定，衛(wèi)星在空間的運行軌道及其描述如圖1所示。

其中，i，a，e，Ω，ω，θ為軌道六大參數(shù)，其含義如下[7]：（1） 軌道傾角i：衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面之間的夾角，決定平面的空間位置。（2） 半長軸a：確定軌道大小的參數(shù)，即軌道的半徑。（3） 偏心率e：確定軌道形狀的參數(shù)。當e=0時，曲線為圓；當01時為雙曲線。（4） 升交點赤經(jīng)Ω：確定平面在空間位置的參數(shù)，沿著赤道方向，春分點至升交點（空間飛行器由南半球至北半球穿過赤道平面的點）之間的角度。（5） 真近點角θ：沿衛(wèi)星運動方向，從近地點度量至衛(wèi)星某時刻所在位置之間的角度，會隨著時間的變化而變化。（6） 地點幅角ω：沿著衛(wèi)星運動的方向，從軌道升交點度量至近心點的角度，也就是節(jié)線與近地點矢徑延長線之間的夾角。

1.2衛(wèi)星軌道計算模型

根據(jù)開普勒定律，可以建立下列衛(wèi)星軌道計算模型：

（1）根據(jù)真近點角M和偏心率e，通過解開普勒方程E=M+esinE，計算偏近點角E。

（2）利用公式r=a（cosE-e）P+a1-e2sinEQ計算衛(wèi)星的位置坐標，其中：

P=cosΩcosw-sinΩsinwcosisinΩcosw+cosΩsinwcosisinwsini，Q=-cosΩsinw-sinΩcoswcosi-sinΩsinw+cosΩcoswcosicoswsini。（3）通過地面觀測站觀測到的數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星相對于地球的觀測向量K：

K=rcos（β）cosπ2-φ，rcos（β）sinπ2-φ，rsin（β）

其中，β表示觀測站觀測到衛(wèi)星的仰角，φ表示觀測站觀測到衛(wèi)星的方位角。（4）根據(jù)觀測站的經(jīng)緯度計算觀測站在大地坐標系中的坐標：H=Rcos（α）cos（γ），cos（α）sin（γ），sin（α）。（5）根據(jù)下列方法將衛(wèi)星相對于地球的觀測向量K和觀測站在大地坐標系中的坐標H轉(zhuǎn)換到空間坐標系：x=l1X+l2Y+l3Z，y=m1X+m2Y+m3Z，z=n1X+n2Y+n3Z. 其中，li，mi，ni為新坐標軸的方向余弦。（6）根據(jù)轉(zhuǎn)化后的衛(wèi)星觀測向量K和觀測站坐標H計算衛(wèi)星在空間坐標中的位置：r=H+K。（7）按照下述方法計算經(jīng)緯度：latitude=π2-arccos[0，0，1]·rr，longitude=arccos[1，0]·rr。

2超越方程的多生境遺傳算法求解

在衛(wèi)星軌道的計算過程中，需要求解開普勒方程。開普勒方程屬超越方程，沒有解析解，只有通過數(shù)值方法求取數(shù)值解。以往，人們通常采用傳統(tǒng)的經(jīng)典的數(shù)值方法求解[6]，如牛頓迭代法。這類算法均的優(yōu)點是計算精度高，收斂速度快。但此類算法也有明顯的兩個缺陷：一是算法過分依賴于導(dǎo)數(shù)，對函數(shù)的光滑性要求較高；二是算法僅為局部收斂，對遠離精確解的初始點不一定收斂。

自20世紀60年代以來，模擬退火、遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法、協(xié)同進化算法等一批智能算法層出不窮。隨著研究的深入，智能優(yōu)化的研究成果已逐漸被應(yīng)用于各個領(lǐng)域?？紤]到遺傳算法對目標函數(shù)要求不高和全局收斂性較好的特點，遺傳算法和差分進化算法已被用于求解電磁領(lǐng)域和航天航空領(lǐng)域的復(fù)超越方程。本文提出一種基于多生境遺傳算法[9]的超越方程解法，其算法步驟說明如下：（1） 編碼，采用二進制編碼。（2） 種群初始化，取初始種群規(guī)模為100。（3） 適應(yīng)度函數(shù)，求解的超越方程為F（x1，x2，…，xk）=0，則取適應(yīng)度函數(shù)為：

fitness=11+F（x1，x2，…，xk）

顯然，適應(yīng)度函數(shù)的最大值為1，此時表明求得了方程的精確解。

（4） 遺傳算子。考慮到基本遺傳算法的全局收斂性較好而局部搜索能力相對較差，易陷于局部極小點，本文采用多生境遺傳算法的各種遺傳算子。

3數(shù)值實驗

以2016年全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽D題為背景對求解超越方程的多生境遺傳算法進行數(shù)值實驗和算法分析。

3.1問題概述與分析

根據(jù)地面觀測站在若干天內(nèi)觀測到的Q型及L1、L2型衛(wèi)星的過頂情況，預(yù)測此后幾天內(nèi)衛(wèi)星被觀測到的情況及過頂情況，并給出未來兩天內(nèi)確保國防工程安全施工的時段。軌道示意圖分別如圖2、圖3所示。

顯然，解決此類問題的關(guān)鍵是星下點軌跡計算。本文計算星下點軌跡的思路是：首先由各類衛(wèi)星的參數(shù)得出相應(yīng)的開普勒方程；然后用多生境遺傳算法求解開普勒方程得出近點角；最后根據(jù)衛(wèi)星軌道模型求出經(jīng)緯度，從而得出衛(wèi)星的星下點軌跡。

3.2計算結(jié)果

經(jīng)計算可得衛(wèi)星軌道、星下點軌跡圖。

從圖4和圖5中最小的圈為危險區(qū)域，該區(qū)域為衛(wèi)星的過頂區(qū)域；外面的大圈表示地面觀測站可以觀測到軌道上的衛(wèi)星的區(qū)域。從圖中可以得出過頂區(qū)域和可觀測區(qū)域的經(jīng)緯度。

3.3算法性能分析

為了評測求解開普勒方程的多生境遺傳算法的全局和局部收斂性，本文分別用牛頓法（Newton）、基本遺傳算法（SGA）和多生境遺傳算法（MNGA）求解同一組開普勒方程。表2給出了衛(wèi)星軌道類型、參數(shù)、精確近點角及各算法求出的近點角的近似值。考慮到遺傳算法的隨機性，近似值為10次計算的平均值。圖6和圖7分別給出了基本遺傳算法和多生境遺傳算法的進化曲線。

由表2和圖5、圖6可以看出，基本遺傳算法和多生境遺傳算法均具有較好的全局收斂性，但多生境遺傳算法的

局部收斂性優(yōu)于基本遺傳算法，所以多生境遺傳算法的求解結(jié)果精度高于基本遺傳算法。表2顯示，傳統(tǒng)的Newton迭代法計算結(jié)果的精度并不比多生境遺傳算法的差，

但這是在Newton迭代法收斂的前提下得出的結(jié)論。事實上，在對上述目標進行測試時，若初始值離精確值較遠時，Newton迭代法并不總是收斂。

4結(jié)語

本文針對經(jīng)典優(yōu)化算法求解計算衛(wèi)星軌道過程中的開普勒超越方程時對初始點要求過高的弊端，提出了一種基于多生境遺傳算法的衛(wèi)星軌道計算方法，并據(jù)此計算了多種衛(wèi)星的星下點軌跡。數(shù)值實驗表明，上述算法較傳統(tǒng)優(yōu)化算法有較強的普適性和全局收斂性，且與基本遺傳算法相比，在一定程度上提高了計算精度。

需要指出的是，衛(wèi)星軌道計算問題中因素眾多，較為復(fù)雜，結(jié)合地理信息系統(tǒng)解決此類問題是目前大家公認的思路。本文僅就模型求解方法作出改進，以期為相關(guān)研究提供借鑒。

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責任編輯（責任編輯：陳福時）