張昆

摘 要：本文基于Black-Scholes定價(jià)模型對上證50ETF期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行實(shí)證研究，用控制變量法分析影響期權(quán)價(jià)格的五個(gè)因素（標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率、期限），通過R軟件實(shí)現(xiàn)對上海證券交易所掛牌交易的上證ETF期權(quán)的實(shí)證檢驗(yàn)，將利用Black-Scholes模型計(jì)算出來的期權(quán)理論價(jià)格與實(shí)際收盤價(jià)進(jìn)行對比，分析實(shí)際期權(quán)價(jià)格與測算價(jià)格差異產(chǎn)生的原因。

關(guān)鍵詞：上證50ETF期權(quán) Black-Scholes定價(jià)模型 實(shí)證檢驗(yàn)

中圖分類號：F724.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-0298（2017）09（a）-169-03

1 Black-Scholes定價(jià)模型

1.1 無套利定價(jià)原理

Black-Scholes定價(jià)模型的理論基礎(chǔ)是無套利定價(jià)原理，即如果市場上存在著兩個(gè)資產(chǎn)，將它們持有至到期可以獲得相同的收益，那么此刻他們的價(jià)格應(yīng)該相等，若不相等，投資者會(huì)進(jìn)行套利，做多低估資產(chǎn)的同時(shí)做空高估資產(chǎn)，使兩個(gè)資產(chǎn)的價(jià)格又趨于平衡。

基于無套利定價(jià)原理可以構(gòu)建一個(gè)股票和借款的適當(dāng)組合，使得無論股價(jià)如何變化，該投資組合的收益都與期權(quán)相同，那么構(gòu)建投資組合的成本即為該期權(quán)的價(jià)值。

令Cu=Su-X=H×Su-B×（1+r）；Cd=0=H×Sd-B×（1+r）

可得：套期保值比率H=期權(quán)價(jià)值變化/股價(jià)變化=（Cu-Cd）/（Su-Sd）

借款額=（H×Sd-Cd）/（1+r）

因此可得出期權(quán)價(jià)值=購買股票支出-借款數(shù)額=H×S0-B

1.2 Black-Scholes定價(jià)模型及參數(shù)估計(jì)

推導(dǎo)出的模型為

2 上證50ETF期權(quán)

2.1 上證50指數(shù)

上證50指數(shù)是從上海證券市場中挑選出最具代表性、規(guī)模達(dá)、流動(dòng)性好的50只藍(lán)籌股作為樣本股，采用科學(xué)合理的方法構(gòu)建出一個(gè)反映各行業(yè)龍頭企業(yè)的整體情況的一個(gè)指數(shù)。

2.2 交易型開放式指數(shù)基金ETF

交易型開放式指數(shù)基金，通常又被稱為交易所交易基金，是一種在交易所上市交易的、基金份額可變的開放式基金。ETF基金是一種特殊的基金形式，結(jié)合了封閉式基金和開放式基金的特點(diǎn)。ETF基金的投資者可以像封閉式基金一樣直接在二級市場上互相直接買賣ETF份額，同時(shí)可以像開放式基金一樣直接向基金公司申請購買或者贖回基金份額，區(qū)別于一般開放式基金的是，申購贖回是在一籃子股票與基金份額之間進(jìn)行交換。

2.3 上證50ETF

上證50ETF是華夏基金公司于2004年12月30日推出的一支股票型基金，是境內(nèi)首只交易型開放式指數(shù)基金。華夏上證50ETF從2004年12月30日成立以來，已取得228.44%的收益。從風(fēng)險(xiǎn)控制角度看，該基金風(fēng)險(xiǎn)較小。其近年表現(xiàn)如圖1所示。

2.4 上證50ETF期權(quán)

我國資本市場規(guī)模已經(jīng)躍居全球第二，但是產(chǎn)品結(jié)構(gòu)單一的問題仍然十分突出，而我國首個(gè)場內(nèi)期權(quán)——上證50ETF期權(quán)的推出標(biāo)志著我國期權(quán)時(shí)代的來臨。2015年，50ETF期權(quán)日均合約成交面值為26.99億元，日均權(quán)利金成交額1.08億元，日均成交合約10.63萬張，日均持倉（未平倉合約數(shù)量）27.17萬張?？傮w上看，50ETF期權(quán)市場交易運(yùn)行平穩(wěn)，投資者參與較為理性，未出現(xiàn)爆炒、過度投機(jī)等現(xiàn)象。

目前，上海證券交易所為上證50ETF期權(quán)合約制定了統(tǒng)一的規(guī)格，合約條款包括行權(quán)方式、行權(quán)價(jià)格、交易時(shí)間、委托類型等。

3 基于BS模型的對價(jià)格的實(shí)證研究

本文將主要利用Black-Scholes定價(jià)模型及R軟件實(shí)現(xiàn)對上海證券交易所掛牌交易的上證ETF期權(quán)的實(shí)證檢驗(yàn)，將利用BlackScholes模型計(jì)算出來的期權(quán)理論價(jià)格與實(shí)際收盤價(jià)進(jìn)行對比，分析兩者差異產(chǎn)生的原因。

3.1 上證50ETF期權(quán)影響因素分析

Black-Scholes定價(jià)模型中包含了影響期權(quán)價(jià)格的五個(gè)因素（標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率、期限），它們都對期權(quán)價(jià)格具有重要的影響，下面保持其中四個(gè)因素不變，觀察另一個(gè)變量對期權(quán)價(jià)格的影響方向及程度。

（1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格：上證50ETF的變動(dòng)是上證50ETF期權(quán)價(jià)格變化的主要因素，選取執(zhí)行價(jià)格2.2元、到期日為10月26日為期2個(gè)月的認(rèn)購期權(quán)，無風(fēng)險(xiǎn)利率選定一年期定期存款，波動(dòng)率選用上證50ETF2015年的歷史波動(dòng)率，得到該份期權(quán)合約的價(jià)格與標(biāo)的ETF的價(jià)格走勢圖，見圖2。

從圖2可以看出該份認(rèn)購期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)上證ETF的變化一致，50ETF價(jià)格上漲期權(quán)價(jià)格上漲，反之，期權(quán)價(jià)格下跌。

（2）執(zhí)行價(jià)格：上證50ETF期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格設(shè)置了5個(gè)檔位，一個(gè)是依據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格推出的平值期權(quán)，再按照合約條款規(guī)定的行權(quán)價(jià)格間隔分別設(shè)置兩個(gè)實(shí)值期權(quán)和兩個(gè)虛值期權(quán)。本文選取執(zhí)行價(jià)格分別為2.1、2.15、2.2、2.25、2.3、2.35、2.4元，到期日為10月26日為期2個(gè)月的認(rèn)購期權(quán)，無風(fēng)險(xiǎn)利率選定一年期定期存款，波動(dòng)率選用上證50ETF2015年的歷史波動(dòng)率，繪制出認(rèn)購期權(quán)執(zhí)行價(jià)格與期權(quán)價(jià)格的價(jià)格走勢圖，如圖3所示。

由圖3可以看出，隨著執(zhí)行價(jià)格的上升，認(rèn)購期權(quán)的價(jià)格下跌，由此可以印證，認(rèn)購期權(quán)價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格呈反向變化。

（4）波動(dòng)率：本文采用的波動(dòng)率是上證50ETF2015年的歷史波動(dòng)率，波動(dòng)率分為歷史波動(dòng)率和隱含波動(dòng)率，由于隱含波動(dòng)率是用實(shí)際交易中的期權(quán)價(jià)格反求，不再具有價(jià)格發(fā)現(xiàn)和預(yù)測的功能，因此并未采用。在整個(gè)實(shí)證過程中保持波動(dòng)率不變，在期權(quán)估值過程中，價(jià)格的變動(dòng)性是最重要的因素，而標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率代表了價(jià)格的變動(dòng)性，如果一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)很小，那么它的期權(quán)相對應(yīng)的價(jià)值也會(huì)較小。

（5）期限：如果期權(quán)承擔(dān)套期保值的功能，期權(quán)到期的時(shí)間越長，那么套保的時(shí)間也就越長，期權(quán)具有的套保的價(jià)值就越高，相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格也就越高。選取到期日為10月26日為期2個(gè)月的認(rèn)購期權(quán)，無風(fēng)險(xiǎn)利率選定一年期定期存款，波動(dòng)率選用上證50ETF2015年的歷史波動(dòng)率，繪制出認(rèn)購期權(quán)到期日與期權(quán)價(jià)格的價(jià)格走勢圖，如圖4所示。

3.3 認(rèn)購期權(quán)實(shí)證檢驗(yàn)

本文選取了到期日為2016年10月26日的一份認(rèn)購期權(quán)合約進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，該期權(quán)合約的執(zhí)行價(jià)格為2.2元，無風(fēng)險(xiǎn)利率選用一年期定期存款利率1.75%，波動(dòng)率采用前文測算的0.02515，如圖5所示。

此處的差異率=（真實(shí)期權(quán)價(jià)格—模擬計(jì)算價(jià)格）/真實(shí)期權(quán)價(jià)格，該認(rèn)購期權(quán)合約實(shí)證檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)際價(jià)格與模擬價(jià)格平均差異率為17.43%，差異率較小，說明Black-Scholes定價(jià)模型能夠較好的反映我國上證50ETF認(rèn)購期權(quán)價(jià)格。

3.4 認(rèn)沽期權(quán)實(shí)證檢驗(yàn)

本文選取了到期日為2016年10月26日的一份認(rèn)沽期權(quán)合約進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，該期權(quán)合約的執(zhí)行價(jià)格為2.4元，無風(fēng)險(xiǎn)利率選用一年期定期存款利率1.75%，波動(dòng)率采用前文測算的0.02515，如圖6所示。

此處的差異率=（真實(shí)期權(quán)價(jià)格—模擬計(jì)算價(jià)格）/真實(shí)期權(quán)價(jià)格，該認(rèn)沽期權(quán)合約實(shí)證檢驗(yàn)的結(jié)果表明，實(shí)際價(jià)格與模擬價(jià)格平均差異率為9.41%，差異率很小，說明Black-Scholes定價(jià)模型能夠較好的反映我國上證50ETF認(rèn)沽期權(quán)價(jià)格。

4 差異分析及結(jié)論

本文通過對比實(shí)際期權(quán)價(jià)格和模擬期權(quán)價(jià)格發(fā)現(xiàn)，兩者總體上變化趨勢一致，誤差大致在10%左右。這種差異是可以接受的，因?yàn)槔碚撋系腂lack-Scholes定價(jià)模型有著嚴(yán)格的限制條件，包括所有證券交易連續(xù)發(fā)生，股價(jià)隨機(jī)游走和不存在交易成本，這些嚴(yán)苛的條件在實(shí)際交易中無法達(dá)到，自然也就導(dǎo)致了理論與實(shí)際的差異，通過逐步放松限制條件、擴(kuò)展現(xiàn)有模型能夠在一定程度上縮小差異。

除了模型的假設(shè)條件不能得到很好的滿足外，模型中使用的參數(shù)也是導(dǎo)致差異產(chǎn)生的一個(gè)很重要的因素。影響期權(quán)價(jià)格的五大因素中執(zhí)行價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率、到期日期在本文中假設(shè)不變，這與實(shí)際情況比較符合，標(biāo)的資產(chǎn)上證50ETF的價(jià)格在實(shí)際交易中是可觀測的變量，不存在誤差，因此波動(dòng)率是導(dǎo)致差異的最大原因。

波動(dòng)率對期權(quán)價(jià)格的影響之大毋庸置疑，甚至有學(xué)者指出，投資者做期權(quán)實(shí)質(zhì)上就是在做波動(dòng)率。模擬測算的期權(quán)價(jià)格就是將五個(gè)參數(shù)輸入模型得到價(jià)格，其中與實(shí)際有差異的就是波動(dòng)率δ，輸入的波動(dòng)率與實(shí)際的差異就導(dǎo)致了期權(quán)價(jià)格的最終差異。真實(shí)的差異率是通過將除波動(dòng)率以外的參數(shù)與期權(quán)實(shí)際價(jià)格輸入模型，從而反求，它是一個(gè)變動(dòng)的量，而不是定量。期權(quán)價(jià)格反映投資者對未來的預(yù)期，假設(shè)投資者認(rèn)為作為標(biāo)的資產(chǎn)的ETF被高估，這將導(dǎo)致認(rèn)購期權(quán)的購買減少，從而使得隱含波動(dòng)率小于標(biāo)的。反之，投資者認(rèn)為標(biāo)的ETF被低估，購買認(rèn)購期權(quán)增加，從而使得隱含波動(dòng)率大于標(biāo)的。隱含波動(dòng)率與標(biāo)的資產(chǎn)的歷史波動(dòng)率的差異導(dǎo)致了實(shí)際交易中的期權(quán)價(jià)格與通過模型計(jì)算出來的模擬價(jià)格有所差異。

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